2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2015年广东，文1，5分】若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则M N =（ ）（A ）{}0,1- （B ）{}0 （C ）{}1 （D ）{}1,1- 【答案】C 【解析】{}1MN =，故选C ．（2）【2015年广东，文2】已知i 是虚数单位，则复数()21i +=（ ）（A ）-2 （B ）2 （C ）2i - （D ）2i 【答案】D【解析】22(1i)12i i 2i +=++=，故选D ． （3）【2015年广东，文3，5分】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）（A ）2sin y x x =+ （B ）2cos y x x =- （C ）122x x y =+ （D ）sin 2y x x =+【答案】A【解析】()()()222sin sin sin x x x x x x -+-=-≠±+，所以非奇非偶，对于B ，函数定义域为R ，关于原点对称．()22cos()cos x x x x ---=-，故为偶函数；对于C ，函数定义域为R ，关于原点对称，因为1()2222x x xxf x -=+=+，所以()22()x x f x f x --=+=，故为偶函数；D 中函数的定义域为R ，关于原点对称，且sin 2()(sin 2)x x x x -+-=-+，故为奇函数，故选A ． （4）【2015年广东，文4，5分】若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为（ ）（A ）10 （B ）8 （C ）5 （D ）2 【答案】C 【解析】在平面直角坐标系中画图，作出可行域，可得该可行域是由()2,2-，()4,4-， ()4,1-组成的三角形．由于该区域是封闭的，可以通过分别代这三个个边界点进行检验，易知当4x =，1y =-时，2z x y =+取得最大值5．本题也可以通过平移直线23y x =-，当直线233zy x =-+经过()4,1-时，截距达到最大，即z 取得最大值5，故选C ．（5）【2015年广东，文5，5分】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =cos A =，且b c <，则b =（ ）（A（B ）2 （C） （D ）3 【答案】B【解析】由余弦定理得：222a b c =+2cos bc A -，所以24122b b =+-⋅，即2680b b -+=，解得2b =或4b =．因为b c <，所以2b =，故选B ．（6）【2015年广东，文6，5分】若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）（A ）l 至少与1l ，2l 中的一条相交 （B ）l 与1l ，2l 都相交 （C ）l 至多与1l ，2l 中的一条相交 （D ）l 与1l ，2l 都不相交 【答案】A【解析】以正方体为模型，易知l 至少与1l ，2l 中的一条相交，故选A ． （7）【2015年广东，文7，5分】已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）（A ）0.4 （B ）0.6 （C ）0.8 （D ）1 【答案】B【解析】采用列举法，记5件产品中分别为,,,,a b c d e ，其中,d e 为分别对应2件次品，从5件产品中任取2件有基本事件,,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce de 共10个，恰有一件次品的含有基本事件,,,,ad ae bd cd ce 共6个，故恰有一件次品的概率概率为60.610=，故选B ．（8）【2015年广东，文8，5分】已知椭圆222125x y m+=()0m >的左焦点为()14,0F -，则m =（ ）（A ）9 （B ）4 （C ）3 （D ）2 【答案】C【解析】由题意得4c =，222516m c -==，故29m =．因为0m >，故3m =，故选C ． （9）【2015年广东，文9，5分】在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，()1,2AB =-，()2,1AD =，则AD AC ⋅=（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】D【解析】由平行四边形法则，得(1,2)(2,1)(3,1)AC AB AD =+=-+=-，所以231(1)5AD AC ⋅=⨯+⨯-=，故选D ． （10）【2015年广东，文10，5分】若集合(){},,,04,04,04,,,E p q r s p s q s r s p q r s =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){},,,04,04,,,F t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且，用()c a r d X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=（ ）（A ）50 （B ）100 （C ）150 （D ）200 【答案】D【解析】对于E ，当4s =，,,p q r 可以从0,1,2,3这四个数任取一个，因而有44464⨯⨯=；当3s =，,,p q r 可以从0,1,2这三个数任取一个，因而有33327⨯⨯=；当2s =，,,p q r 可以从0,1这两个数任取一个，因而有2228⨯⨯=；当1s =，0p =，0q =，0r =，只有一种，故 ()642781100card E =++++=；对于F ，先处理前面两个(),t u ，当4u =，t 可以从0,1,2,3这四个数任取一个，有4种；当3u =，t 可以从0,1,2这3个数任取3个；当2u =，t 可以从0,1，这四个数任取2个；当1u =，0t =只有一种，故前面两个(),t u 的可能结果有4+3+2+1=10种，同理可得后面(),v w 有10种，故()1010100card F =⨯=．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11~13） （11）【2015年广东，文11，5分】不等式2340x x --+>的解集为 ． 【答案】()4,1-【解析】由2340x x --+>得2340x x +-<，即()4(1)0x x +-<，所以41x -<<，即2340x x --+>的解集为()4,1-．（12）【2015年广东，文12，5分】已知样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =，则样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的均值为 ． 【答案】11【解析】由题意有121()5n x x x n ++⋅⋅⋅+=，所以125n x x x n ++⋅⋅⋅+=，所以()()()121(212121n x x x n ⎡⎤++++⋅⋅⋅++=⎣⎦ ()1211(2221111n x x x n n n n ⎡⎤++⋅⋅⋅++=⋅=⎣⎦．（13）【2015年广东，文13，5分】若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中5a =+5c =-则b = ． 【答案】1【解析】因为正数a ，b ，c 成等比数列，所以21b ac ==，所以1b =． （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） （14）【2015年广东，文14，5分】（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C的参数方程为2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ． 【答案】()2,4-【解析】由()cos sin 2ρθθ+=-得2x y +=-，由2x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩得2228x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以28y x =(0)x ≥，联立228x y y x +=-⎧⎨=⎩ 解得24x y =⎧⎨=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为为()2,4-．（15）【2015年广东，文15，5分】（几何证明选讲选做题）如图，AB 为圆O 的直径，E 为AB的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线EC 的垂线，垂足为D ．若4A B =，CE =AD = ． 【答案】8【解析】因为CE 是圆O 的切线方程，所以2EC EB EA =⋅,所以(()24EB EB =⋅+，解得2EB =或6EB =-（舍去）．连接OC ，则OC DE ⊥，由AD DE ⊥，得//AD CO ，所以CO OEAD AE=， 所以22242AD +=+，故3AD =． 三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （16）【2015年广东，文16，12分】已知tan 2α=．（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求2sin 2sin sin cos cos21ααααα+--的值．解：（1）因为tan 2α=，所以tan tan214tan()34121tan tan 4παπαπα+++===---． （2）2sin 2sin sin cos cos21ααααα+--222sin cos sin sin cos (2cos 1)1αααααα==+---222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+- 22tan 41tan tan 2422ααα===+-+-． （17）【2015年广东，文17，12分】某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在 [)220,240的用户中应抽取多少户？解：（1）由题意得：()0.0020.00250.0050.00950.0110.0125*201x ++++++=，解得0.0075x =． （2）由频率分布直方图可知众数为2202402302+=，设中位数为x ，则有 ()0.002*200.0095*200.011*20220*0.01250.5x+++-=，解得224x =， 所以月平均用电量的中位数为224．（3）月平均用电量为[)220,240的频率为0.0125*200.25=，月平均用电量为[)240,260的频率为0.0075*200.15=，月平均用电量为[)260,280的频率为0.005*200.1=，月平均用电量为[]280,300的 频率为0.0025*20=，设月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取n 户,则0.25110.250.150.10.05n =+++，解得5n =所以用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在 [)220,240的用户中应抽取5户． （18）【2015年广东，文18，14分】如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4PD PC ==，6AB =，3BC =． （1）证明：//BC 平面PDA ； （2）证明：BC PD ⊥；（3）求点C 到平面PDA 的距离． 解：（1）因为四边形ABCD 为矩形，所以//BC AD ．因为BC ⊄平面PDA ， （2）取CD 的中点为O ，连接PO ，因为PD PC =，所以PO DC ⊥．又平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC平面ABCD DC =，PO ⊂平面PDC ，所以PO ⊥平面ABCD ，因为BC ⊂平面ABCD ，所以BC PO ⊥． 又BC CD ⊥CD PO O =，所以BC ⊥平面PDC ，因为PD ⊂平面PDC ，所以BC PD ⊥． （3）因为PO ⊥平面ABCD ，即P 到平面ADC 的距离为PO，PO ==因为BC PD ⊥，//AD BC ，所以AD PD ⊥，所以1134622PDA S AD DP ∆=⋅=⨯⨯=，设点C 到平面RDA 的距离为h ，由C PDA P ADC V V --=得16326ADC PDA S PO h S ∆∆⋅⋅⋅==， 即C 到平面RDA（19）【2015年广东，文19，14分】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+． （1）求4a 的值；（2）证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（3）求数列{}n a 的通项公式．解：（1）当2n =时，4231458S S S S +=+，所以()1234124()5a a a a a a +++++=12318()a a a a +++，即4231748a a a =-+=．（2）因为211458(2)n n n n S S S S n ++-+=+≥，所以211144450(2)n n n n n S S S S S n +++---+-=≥所以()()()2111144550(2)n n n n n n S S S S S S n ++++--+-++-=≥，所以211450(2)n n n n a a a a n +++-++=≥， 即21440(2)n n n a a a n ++-+=≥，所以211(2)()4n n n a a a n ++=-≥*当1n =时，321515,444a a a =-=，所以32114a a a =-，满足()*式，所以211(1)4n n n a a a n ++=-≥所以211111222n n n n a a a a +++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=，公比为12的等比数列．（3）由（2）得1111111222n n n n a a --+⎛⎫⎛⎫-=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，两边同乘以12n +，可得11224n n n n a a ++-=，所以{}2n n a 是以122a =，公差为4的等差数列．所以()221442n n a n n =+-⋅=-， 所以1422122n nn n n a ---==．（20）【2015年广东，文20，14分】已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ． （1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解：（1）由题意知：圆1C 方程为：22(3)4x y -+=，∴圆1C 的圆心坐标为()3,0． （2）由图可知，令()11,M x y，1|||OM C M =22211||||||OC OM C M =+，2222211113(3)x y x y ∴=++-+，221139()24x y ∴-+=， ∵直线L 与圆1C 交于A 、B 两点，∴直线L 与圆1C 的距离：02d ≤< 22110(3)4x y ∴≤-+<，2211930(3)()442x x ∴≤-+--<，1533x ∴<≤ ∴轨迹C 的方程为：22395()(,3]243x y x -+=∈．（3）∵直线L ：(4)y k x =-与曲线2239()24x y -+=仅有1个交点， 联立方程：22(4)5(,3]393()24y k x x x y =-⎧⎪∈⎨-+=⎪⎩， 得：2222(1)(83)160k x k x k +-++=，在区间5(,3]3有且仅有1个解．当2222=(83)64+1=k k k ∆+-（）0时，43k =±，此时，125(,3]53x =∈，仅有一个交点，符合题意．当0∆≠时，令2222()(1)(83)16g x k x k x k =+-++，则有：5()(3)0g g ≤解得：[k ∈，∴k 的取值范围为：[k ∈或43k =±．（21）【2015年广东，文21，14分】设a 为实数，函数()()()21f x x a x a a a =-+---．（1）若()01f ≤，求a 的取值范围； （2）讨论()f x 的单调性；（3）当2a ≥时，讨论()4f x x+在区间()0,+∞内的零点个数． 解：（1）22(0)f a a a a a a =+-+=+，因为()01f ≤，所以1a a +≤．当0a ≤时，01≤，显然成立；当0a >，则有21a ≤，所以12a ≤．所以102a <≤．综上所述，a 的取值范围12a ≤．（2）()2221,()(21)2,x a x x af x x a x a x a⎧--≥⎪=⎨-++<⎪⎩，对于()2121u x a x =--，其对称轴为21122a x a a -==-<，开口向上， 所以()f x 在(,)a +∞单增；对于()21212u x a x a =-++，其对称轴为21122a x a a +==+>，开口向上，所以()f x 在(,)a -∞单减．综上，()f x 在(,)a +∞单增，在(,)a -∞单减．（3）由（2）得()f x 在(,)a +∞单增，在(0,)a 单减，所以2min ()()f x f a a a ==-．（i ）当2a =时，min ()(2)2f x f ==-，223,2()54,2x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩，令()40f x x +=，即()4()0f x x x =->．因为()f x 在(0,2)单减，所以()(2)2f x f >=-，而4y x=-在(0,2)单增，(2)2y f <=-，所以()y f x =与4y x=-在(0,2)无交点．当2x ≥时，24()3f x x x x=-=-，即32340x x -+=，所以322240x x x --+=，所以()22(1)0x x -+=，因为2x ≥，所以2x =，即当2a =时，()4f x x+有一个零点2x =．（ii ）当2a >时，2min ()()f x f a a a ==-，当(0,)x a ∈时，(0)24f a =>，2()f a a a =-，而4y x =-在(0,)x a ∈单增，当x a =时，4y a =-．下面比较2()f a a a =-与4a -的大小因为32224(4)(2)(2)()0a a a a a a a a a a-----++---==<，所以24()f a a a a=-<-．结合图像不难得当2a >，()y f x =与4y x=-有两个交点．综上，当2a =时，()4f x x +有一个零点2x =；当2a >，()y f x =与4y x=-有两个零点．。