图①
D
A E
C B F
l
图②
A
B
E
F C l
D 七年级下册数学期末考试几何大题证明必考题精选
类型一、正方形中三角形全等与线段长度之间的关系
例1、如图①，直线l 过正方形ABCD 的顶点B ，A 、C 两顶点在直线l 同侧，过点A 、
C 分别作AE ⊥直线l 、CF ⊥直线l ． (1)试说明：EF ＝AE ＋CF ；
(2)如图②，当A 、C 两顶点在直线l 两侧时，其它条件不变，猜想EF 、AE 、CF 满足什么数量关系(直接写出答案，不必说明理由)．
练习： 如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC =90°．
(1)过点A 任意一条直线l (l 不与BC 相交)，并作B D ⊥l ，C E ⊥l ，垂足分别为D 、
E ．度量BD 、CE 、DE ，你发现它们之间有什么关系?试对这种关系说明理由； (2)过点A 任意作一条直线l (l 与BC 相交)，并作B D ⊥l ，C E ⊥l ，垂足分别为D 、
E ．度量BD 、CE 、DE ，你发现经们之间有什么关系?试对这种关系说明理由．
例2、已知正方形的四条边都相等，四个角都是90º。

如图，正方形ABCD 和正方形AEFG 有一个公共点A ，点G 、E 分别在线段AD 、AB 上。

（1）如图1， 连结DF 、BF ，说明：DF ＝BF ；
（2）若将正方形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转，连结DG ，在旋转的过
程中，你能否找到一条长度与线
段DG 的长始终相等的线段？并以
图2为例说明理由。

A E
B 图1
D C
G F
A B
D C G
F
E 图2
练习：如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，B 、C 、G 三点在一条直线上，且边长分别为2和3，在BG 上截取GP ＝2，连结AP 、PF. （1）观察猜想AP 与PF 之间的大小关系，并说明理由.
（2）图中是否存在通过旋转、平移、反射等变换能够互相重合的两个三角形？若存在，
请说明变换过程；若不存在，请说明理由.
（3）若把这个图形沿着PA 、PF 剪成三块，请你把它们拼成一个大正方形，在原图上
（1）BD 与CE 相等吗？请说明理由．
（2）你能求出BD 与
CE 的夹角∠BFC 的度数吗？
（3）若将已知条件改为：四边形ABCD 与四边形AEFG 都是正方形，
例3、正方形四边条边都相等，四个角都是90．如图，已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，BC 在直线MN 上，点E 是直线MN 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ．
（1）如图1，当点E 在线段BC 上（不与点B 、C 重合）时： ①判断△ADG 与△ABE 是否全等，并说明理由；
②过点F 作FH ⊥MN ，垂足为点H ，观察并猜测线段BE 与线段CH 的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当点E 在射线CN 上（不与点C 重合）时： ①判断△ADG 与△ABE 是否全等，不需说明理由；
F B
②过点F 作FH ⊥MN ，垂足为点H ，已知GD ＝4，求△CFH 的面积．
练习：如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个点(点G 与C 、D 不重合)，以
CG 为一边作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．
（1）如图1，说明BG= DE 的理由
（2）将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图2．请你猜想①BG= DE 是否仍然成立？②BG 与DE 位置关系？并选取图2验证你的猜想．
类型二、探究题
例1、如图，已知等边△A B C 和点P ，设点P 到△A B C 三边A B 、A C 、B C （或其延长
线）
的距离分别为h 1、h 2、h 3，△A B C 的高为h ．
在图（1）中，点P 是边B C 的中点，此时h 3=0，可得结论：h h h h =++321． 在图（2）--（5）中，点P 分别在线段M C 上、M C 延长线上、△A B C 内、△A B C
图 2F
G D A 图 1
F D A
外．
（1）请探究：图（2）--（5）中， h 1、h 2、h 3、h 之间的关系；（直接写出结论）
（2）证明图（2）所得结论； （3）证明图（4）所得结论． （4）（附加题2分）在图（6）中，若四边形R B C S 是等腰梯形，∠B =∠C =60o ， R S =n ，B C =m ，
点P 在梯形内，且点P 到四边B R 、R S 、S C 、C B 的距离分别是h 1、h 2、h 3、h 4，桥形的高为h ，则h 1、h 2、h 3、h 4、h 之间的关系为： ；图（4）与图（6）中的等式有何关系？
练习：1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为底边上任意一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，BD ⊥AC.
（1）求证：PE+PF=BD ；
（2）若点P 是底边BC 的延长线上一点，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请画出图形，并探究它们的关系.
2、如图，已知△ABC 三边长相等，和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC （或其延长线）的距离分别为h 1、h 2、h 3，△ABC 的高为h ．在图（1）中， 点P 是边BC 的
中点，由S △ABP+S △ACP=S △ABC 得，h BC h AC h AB ⋅=⋅+
⋅2
1
2121
21可得h h h =+21
A B C D E
P A B C D
E P M
(3) A B C D E
P M (2) A B C D E
M (P ) (1) A B C D E P M
(5)
C B A
P
D
E
F
C B E 又因为h 3=0，所以：h h h h =++321．
图（2）~（5）中，点P 分别在线段MC 上、MC 延长线上、△ABC 内、△ABC 外．
（1）请探究：图（2）~（5）中，
h 1、h 2、h 3、h 之间的关系；
⑵ ⑶ ⑷ ⑸ （2）说明图（2）所得结论为什么是正确的；
例2、已知△ABC 是等边三角形，将一块含30角的直角三角板DEF 如图1放置，当点E 与点B 重合时，点A 恰好落在三角板的斜边DF 上. （1）AC=CF 吗? 为什么?
（2）让三角板在BC 上向右平行移动，在三角板平行移动的过程中，(如图2)是否存在与线段EB 始终相等的线段（设AB ，AC 与三角板斜边的交点分别为G ，H ）？如果存在，请指出这条线段，并证明；如果不存在，请说明理由.
(B)
C
E F
图1
A
B
C D
E
P A
B
C
D
E
P
M
(3)
A
B
C
D
E P M (2)
A
B
C
D
E
M (P ) (1)
练习：1、如图1，一等腰直角三角尺GEF （∠EGF=90°,∠GEF=∠GFE=45°,GE=GF ）的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．
（1）如图2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 相等吗？并说明理由；
（2）若三角尺GEF 旋转到如图3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由．
2、已知：△ABC 为等边三角形，M 是BC 延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A ，且60º角的顶点E 在BC 上滑动，（点E 不与点B 、C 重合），斜边∠ACM 的平分线CF 交于点F
（1）如图（1）当点B 在BC 边得中点位置时（6分） ○
1猜想AE 与BF 满足的数量关系是 。

○
2连结点E 与ＡＢ边得中点Ｎ，猜想ＢＥ和ＣＦ满足的数量关系是 ○
3请证明你的上述猜想（４分） （２）如图（２）当点Ｅ在ＢＣ边得任意位置时： 此时ＡＥ和ＢＦ有怎样的数量关系，并说明你的理由？
图2
图3
图
1
A ( G )
B ( E ) E
图（2）
图（1）。