一、选择1．如图，已知：在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 边上任意一点，DF ⊥AC 于点F ，E 在AB 边上，ED ⊥BC 于D ，∠AED=155°，则∠EDF 等于（ ） A ．50° B ．65° C ．70° D ．75°2．下列判断错误的是（ ）　A.一条线段有无数条垂线；B.过线段AB 中点有且只有一条直线与线段AB 垂直；C.两直线相交所成的四个角中，若有一个角为90°，则这两条直线互相垂直；D.若两条直线相交，则它们互相垂直.3．下列判断正确的是（ ）A.从直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到已知直线的距离；B.过直线外一点画已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离；C.画出已知直线外一点到已知直线的距离；D.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短.二、压轴题 1.（11分）如图12-1，点O 是线段AD 上的一点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC .（1）求∠AEB 的大小；（2）如图12-2，△OAB 固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD 绕着点O 旋转（△OAB 和△OCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.O 图12-1DOA图12-22．(本题9分)如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，P 为线段AD 上的一个动点，PE ⊥AD 交直线BC 于点E.⑴若∠B=35°，∠ACB=85°,求∠E 的度数；⑵当P 点在线段AD 上运动时，猜想∠E 与∠B 、∠ACB 的数量关系.写出结论无需证明.3如图1，△ABC 的边BC 直线上，AC ⊥BC ，且AC=BC ；△EFP 的边FP 也在直线 上，边EF 与边AC 重合，l l PED C B A且EF=FP．(1)在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；l(2)将△EFP沿直线向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；l(3)将△EFP沿直线向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ．你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．4．(本题8分)如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，且直线CD经过∠BCA的内部，点E，F在射线CD上，α已知CA=CB且∠BEC=∠CFA=∠．α(1)如图1，若∠BCA=90°，∠=90°，问EF=BE－AF，成立吗?说明理由．α(2)将(1)中的已知条件改成∠BCA=60°，∠=120°(如图2)，问EF=BE－AF仍成立吗?说明理由．α(3)若0°<∠BCA<90°，请你添加一个关于∠与∠BCA关系的条件，使结论EF=BE－AF仍然成立．你添加的条件是．(直接写出结论)图①DA EC B Fllͼ3ͼ2ͼ1E5．(本题6分) 如图①，直线l 过正方形ABCD 的顶点B ，A 、C 两顶点在直线l 同侧，过点A 、C 分别作AE ⊥直线l 、CF ⊥直线l ．(1)试说明：EF ＝AE ＋CF ；(2)如图②，当A 、C 两顶点在直线两侧时，其它条件不变，猜想EF 、AE 、CF 满足什么数量关系(直接写出答案，l 不必说明理由)．6、P 点是ABC 和外角ACE 的角平分线的交点，;如图3，若P 点是外角CBF 和BCE 的角平分线的交点.分别∠∠∠∠指出每个图中∠BPC 和∠A 的关系,并选择其中一个加以证明.7、(本题12分)如图，C 是线段AB 上一点，分别以AC 、CB 为边作等边三角形ACD 和CBE ，连结AE 、BD ，AE 交DC 、DB 分别为F 点、H 点，BD 交CE 于G 点，连结FG.求证:① ∠ FAC =∠ HDC ;② ∠ HFG =∠ HAC;③ ∠ BHA = 120 °.H FG E DCBA8、如图，在△ABC 中，∠A ＝ ．∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2； ……；∠A 2008BC 与∠A 2008CD 的平分线相交于点A 2009，得∠A 2009 ．则∠A 2009＝．9．观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由．（每小题2分，观察得出结论与说明理由各占1分．）（1）如图①，△ABC 中，P 为边BC 上一点，试观察比较BP + PC 与AB + AC 的大小，并说明理由．BACD第7题图A 1A 2图①（2）将（1）中点P 移至△ABC 内，得图②，试观察比较△BPC 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由．CB A P图②（3）将（2）中点P 变为两个点P 1、P 2得图③，试观察比较四边形BP 1P 2C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由．图③C B A P 1P 2（4）将（3）中的点P 1、P 2移至△ABC 外，并使点P 1、P 2与点A 在边BC 的异侧，且∠P 1BC ＜∠ABC ，∠P 2CB ＜∠ACB ，得图④，试观察比较四边形BP 1P 2C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由．CBAP 12图④（5）若将（3）中的四边形BP 1P 2C 的顶点B 、C 移至△ABC 内，得四边形B 1P 1P 2C 1，如图⑤，试观察比较四边形B 1P 1P 2C 1的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由．CBAP 1P 2B 1C 1图⑤10、．（1）BP + PC ＜AB + AC ，理由：三角形两边之和大于第三边，或两点之间线段最短．（2）△BPC 的周长＜△ABC 的周长．理由：如图，延长BP 交AC 于M ，在△ABM 中，BP + PM ＜AB + AM ，在△PMC 中，PC ＜PM + MC ，两式相加得BP + PC ＜AB + AC ，于是得：△BPC 的周长＜△ABC的周长．C（3）四边形BP 1P 2C 的周长＜△ABC 的周长．理由：如图，分别延长BP 1、CP 2交于M ，由（2）知，BM + CM ＜AB + AC ，又P 1P 2＜P 1M + P 2M ，可得，BP 1 + P 1P 2+ P 2C ＜BM + CM ＜AB + AC ，可得结论．或：作直线P 1P 2分别交AB 、AC 于M 、N （如图），△BMP 1中，BP 1＜BM + MP 1，△AMN 中，MP 1 + P 1P 2 + P 2M ＜AM + AN ，△P 2NC 中，P 2C ＜P 2N + NC ，三式相加得：BP 1 + P 1P 2 + P 2C ＜AB + AC ，可得结论．C BA P 1P 2MCBA P 1P 2NM（4）四边形BP 1P 2C 的周长＜△ABC 的周长．理由如下：将四边形BP 1P 2C 沿直线BC 翻折，使点P 1、P 2落在△ABC 内，转化为（3）情形，即可．（ 5）比较四边形B 1P 1P 2C 1的周长＜△ABC 的周长．理由如下：如图，分别作如图所示的延长线交△ABC 的边于M 、N 、K 、H ，在△BNM 中，NB 1 + B 1P 1 + P 1M ＜BM + BN ，又显然有，B 1C 1 + C 1K ＜NB 1 +NC + CK ，及C 1P 2 +P 2H ＜C 1K +AK +AH ，及P 1P 2＜P 2H + MH + P 1M ，将以上各式相加，得B 1P 1 + P 1P 2 + P 2C + B 1C 1＜AB + BC + AC ，于是得结论．CBAP 1P 2B 1C 1H KNM11．（本题12分）如图，已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC （或其延长线）的距离分别为h 1、h 2、h 3，△ABC 的高为h ．在图（1）中，点P 是边BC 的中点，此时h 3=0，可得结论：．h h h h =++321在图（2）--（5）中，点P 分别在线段MC 上、MC 延长线上、△ABC 内、△ABC 外．（1）请探究：图（2）--（5）中， h 1、h 2、h 3、h 之间的关系；（直接写出结论）（2）证明图（2）所得结论；（3）证明图（4）所得结论．（4）（附加题2分）在图（6）中，若四边形RBCS 是等腰梯形，∠B =∠C =60o ， RS =n ，BC =m ，，且点P到四边BR 、RS 、SC、CB 的距离分别是h 1、h 2、h 3、h 4，桥形的高为h ，则h 1、h 2、h 3、h 4、h 之间的关系为：；图（4）与图（6）中的等式有何关系？12、已知：如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，∠BAC=∠DAE ，，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点．A BCD E P ABCDEPM (3)P M (2)ABCD E M (P )(1)ABCDE P M (5)（1）当点BE CD ；（2）将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180 ，其他条件不变，得到图②所示的图形．请判断AM=AN 是否成立？并说明你的理由；(3)在旋转的过程中，设直线BE 与CD 相交于点P ，当90°<∠BAC<180°时，请直接写出∠CPB 与∠MAN 之间的数量关系.13．如图，△ABC 与△ADE 都是等边三角形，连结BD 、CE 交点记为点F ．（1）BD 与CE 相等吗？请说明理由．（2）你能求出BD 与CE 的夹角∠BFC 的度数吗？（3）若将已知条件改为：四边形ABCD 与四边形AEFG 都是正方形，连结BE 、DG 交点记为点M （如图）．请直接写出线段BE 和DG 之间的关系？C E ND A BM图①CA EM B DN图②第27题图F14．正方形四边条边都相等，四个角都是．如图，已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，BC 在直线MN 上，90 点E 是直线MN 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ．（1）如图1，当点E 在线段BC 上（不与点B 、C 重合）时：①判断△ADG 与△ABE 是否全等，并说明理由；②过点F 作FH ⊥MN ，垂足为点H ，观察并猜测线段BE 与线段CH 的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当点E 在射线CN 上（不与点C 重合）时：①判断△ADG 与△ABE 是否全等，不需说明理由；②过点F 作FH ⊥MN ，垂足为点H ，已知GD ＝4，求△CFH 的面积．15.如图1，一等腰直角三角尺GEF （∠EGF=90°,∠GEF=∠GFE=45°,GE=GF ）的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．（1）如图2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 相等吗？并说明理由；（2）若三角尺GEF 旋转到如图3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由．图2图1图2E GF16如图，在R △ABC 中，∠ACB=450，∠BAC=900，AB=AC ，点D 是AB 的中点，AF ⊥CD 于H 交BC t 于F ，BE ∥AC 交AF 的延长线于E ，求证：BC垂直且平分DE.17、如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为底边上任意一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，BD ⊥AC.（1）求证：PE+PF=BD ；（2）若点P 是底边BC 的延长线上一点，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请画出图形，并探究它们的关系.图3AGEFM N CB AP DEA B C D M12345618. （5分）已知：如图，，AM ，CM 分别平分∠BAD 和∠BCD︒︒=∠=∠40,34D B (1)求的大小:M ∠(2)当为任意角时,探索与间的数量关系,D B ∠∠,M ∠D B ∠∠,并对你的结论加以证明。