【高中数学】《函数的切线问题》微专题第一讲 函数切线及其应用1．导数的几何意义:函数)(x f 在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率．注：（()tan k f x α'==）2．在点00(,)A x y 处的切线方程：()000()()y f x f x x x '-=-抓住关键：000()()y f x k f x =⎧⎨'=⎩；3．过点11(,)A x y 的切线方程：设切点为00(,)P x y ，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：∵过点11(,)A x y ，∴10010()()y y f x x x '-=-然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线，三次函数多解）考点1 切线及斜率问题【例1.1】已知函数()f x 是偶函数，定义域为()()00-∞⋃+∞，，，且0x >时， ()1x x f x e-=，则曲线()y f x =在点()()11f --，处的切线方程为 ． 析】()()()21','1,10,xx f x f f e e-=∴==∴曲线y ， 是偶函数， ∴曲线()y f x =在点((1,f --相切，则切点的横坐标为( )A ．1B ．－1C ．2D ．e －1[解析] 设切点为(x 0，e 2x 0－1)，∵f ′(x )＝2e 2x －1，∴2e 2x 0－1＝e 2x 0－1＋ex 0，化简得2x 0－1＝e2－2x 0.令y ＝2x －1－e 2－2x ，则y ′＝2＋2e 2－2x >0.∵x ＝1时，y ＝0，∴x 0＝1.故选A.[答案] A【例1.3】设点P 是曲线335y x =+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的范围是（ ）A ．203π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．2023πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，， C ．223ππ⎛⎤⎥⎝⎦，D ．233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，233x -，为第一象限角）．设函数f ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x解析：选D 法一：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立， 即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立， ∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .法二：易知f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ＝x [x 2＋(a －1)x ＋a ]，因为f (x )为奇函数，所以函数g (x )＝x 2＋(a －1)x ＋a 为偶函数，所以a －1＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .故选D.【练习2】若P 是函数()()()1ln 1f x x x =++图象上的动点，点()1,1A --，则直线AP 斜率的取值范围为（ ） A ．[)1,+∞ B ．[]0,1C ．(1,e e -⎤⎦D ．(1,e -⎤-∞⎦【解析】由题意可得： ()()'ln 11f x x =++ ，结合函数的定义域可知，函数在区间11,1e ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间11,e⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且1111f e e⎛⎫-+=->- ⎪⎝⎭，绘制函数图象如图所示，当直线与函数图象相切时直线的斜率取得最小值，设切点坐标为()()()000,1ln 1x x x ++ ，该点的斜率为()0ln 11k x =++ ，切线方程为： ()()()()00001ln 1ln 11y x x x x x ⎡⎤-++=++-⎣⎦，切线过点()1,1-- ，则： ()()()()000011ln 1ln 111x x x x ⎡⎤--++=++--⎣⎦ ，解得:00x = ，切线的斜率()0ln 111k x =++= ，综上可得：则直线AP 斜率的取值范围为[)1,+∞．00点P (x 0，f (x 0))的坐标为________．[解析] ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，由题意得f ′(x 0)·(－1)＝－1，即f ′(x 0)＝1，∴ln x 0＋1＝1，ln x 0＝0，∴x 0＝1，∴f (x 0)＝0，即P (1,0)．[答案] (1,0) 【练习4】设P 是函数()1y x x =+图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是 ．【解析】由题意知313131tan 23222222y x x x xx x θ=+∴=+≥⋅=' [)30,,2ππθπθ⎡⎫∈∴∈⎪⎢⎣⎭． 考点2 切线条数问题【例2】过点(),A m m 与曲线()ln f x x x =相切的直线有且只有两条，则m 的取值范围是（ ）A ．()e -∞，B ．()+e ∞，C ．10e ⎛⎫⎪⎝⎭，D ．()1+∞，【练习】设函数233)(x x x f -=，若过点),2(n 可作三条直线与曲线)(x f y =相切，则实数n 的取值范围是（ ）A ．)4,5(--B ．)0,5(-C ．)0,4(-D ．]3,5(--【解析】法一：()323f x x x =-,则()236f x x x '=-，设切点为()32000,3x x x -,则()200036f x x x '=-．∴过切点处的切线方程为()()32200000336y x x x x x x -+=--，把点()2n ，代入得： ()()322000003362n x x x x x -+=--．整理得：3200029120x x x n -++=．若过点()2n ，可作三条直线与曲线()y f x =相切,则方程3200029120x x x n -++=有三个不同根（左图）令()322912g x x x x =-+，则()()()261812612g x x x x x '=-+=--，∴当()()12+x ∈-∞⋃∞，，时,()0g x '>；当()12x ∈，时,()0g x '<， ∴()g x 的单调增区间为()1-∞，和()2+∞，；单调减区间为()12，． ∴当1x =时,()g x 有极大值为()15g =；当2x =时,()g x 有极小值为()24g =．由45n <-<，得54n -<<-． ∴实数n 的取值范围是()54--，．故选A ．法二：()323f x x x =-关于点()1,2-中心对称，()()23613f x x x f ''=-⇒=-，在对称中心的切线方程为31,25y x x y =-+==-时，，()24f =-，故当点()2,n 位于区域Ⅰ，有三条切线时，54n -<<-．（如右图）考点3 零点、交点、极值点问题【例3.1】已知函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0∞－，B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,1D ．(0,)+∞【解析】函数()()ln f x x x ax =-，则()1'ln ln 21f x x ax x a x ax x⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭，令()'ln 210f x x ax =-+=得ln 21x ax =-，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，等价于()'ln 21f x x ax =-+有两个零点，等价于函数ln y x =与21y ax =-的图象有两个交点，在同一坐标系中作出它们的图象（如图），当12a =时，直线21y ax =-与ln y x = 的图象相切，由图可知，当102a <<时， ln y x =与21y ax =-的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭，故选B ．例3.1图 例3.2图【例3.2】设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点，则实数a 的取值范围（ ）A ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．222,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ 【解析】令()()0g x f x ax =-=，可得()f x ax =．在坐标系内画出函数()ln f x x =的图象（如图1所示）．当1x >时， ()ln f x x =．由ln y x =得1y x'=．设过原点的直线y ax =与函数y xln =的图象切于点()00,ln A x x ，则有0001lnx ax a x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得0 1x ea e =⎧⎪⎨⎪⎩=．所以当直线y ax =与函数ln y x =的图象切时1a e =．又当直线y ax =经过点()2B ,2e 时，有22a e =⋅，解得22a e =．结合图象可得当直线y ax =与函数()ln f x x =的图象有3个交点时，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭．即函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点时，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭．故选D ． 0x >()lg 0f x a x x=--≤a A ．()(lg lg lg e e ⎤-∞-⎦， B ．(]1-∞，C ．()1lg lg lg e e ⎡⎤-⎣⎦，D ．()lg lg lg e e ⎡⎤-+∞⎣⎦，【解析】原问题即lg x x a ≥-+在区间()0,+∞上恒成立，考查临界情况， 即函数()lg g x x =与()h x x a =-+相切时的情形，如图， 很明显切点横坐标位于区间()0,1内，此时，()()1lg ,'ln10g x x g x x =-=，由()'1g x =-可得：1lg ln10x e =-=-，则切点坐标为：()()lg ,lg lg e e --，切线方程为： ()lg lg lg y e x e +=+，令0x =可得纵截距为： ()lg lg lg e e -， 结合如图所示的函数图象可得则a 的取值范围是()(lg lg lg e e ⎤-∞-⎦，．故选A ．考点4 参数范围问题【例4】已知函数()ln f x x x x =+，若k Z ∈，且()()2k x f x -<对任意的2x >恒成立，则k 的最大值为（ ）(参考数据：ln20.6931,ln3 1.0986==) A ．3B ．4C ．5D ．6【练习】已知,a b 为正实数，直线yx a =-与曲线()ln y x b =+相切，则2a b+的取值范围为 ．考点5 距离问题和平行切线问题【例5.1】设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线()ln 2y x =上，则PQ 最小值为（ ）A ．1ln2- B)1ln 2- C ．1ln2+D )1ln 2+【例5.2】直线y m =分别与曲线()21y x =+，与ln y x x =+交于点,A B ，则AB的最小值为（ ） A B ．2 C ．3D ．32【练习1】已知函数()()02x f x f e x '=-+，点P 为曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线l 上的一点，点Q 在曲线x y e =上，则PQ 的最小值为 ．【解析】由()()02x f x f e ''=-+，令0x =可得()01f '=，所以()2x f x e x =-+，所以切线的斜率()01k f '==，又()01f =-，故切线方程为10x y --=．由题意可知与直线10x y --=平行【练习2】函数()21x f x e x x =+++与()g x 的图象关于直线230x y --=对称，P Q 、分别是函数()()f x g x 、图象上的动点，则PQ 的最小值为（ ）ABC D ．【解析】由题意得当P 点处切线平行直线230x y --=，Q 为P 关于直线230x y --=对称取最小值．()f x e '=12+=⇒考点6 两点间距离平方问题【例6】已知实数a b 、满足225ln 0a a b c R --=∈，，则()()22a c b c -++的最小值为（ ）A ．12BC ．2D ．92225ln 0x x y --=，即()225ln 0y x x x =->，以x 代换c，可得点()x x -，，满足0y x +=．因此【练习】已知()()()22ln S x a x a a R =-+-∈，则S 的最小值为（ ） AB ．12C D ．2【解析】设()()ln A x x B a a ，，，，则问题化为求平面上两动点()()ln A x x B a a ，，，之间距离的第二讲函数公切线问题与是否有公切线，决定它们公切线条数的是由函数凹凸性和共单调区间交点。