第六章 线性空间和欧式空间§1 线性空间及其同构一 线性空间的定义设V 是一个非空集合，K 是一个数域，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V 中任意两个元素α和β，在V 中都有唯一的一个元素γ与他们对应，成为α与β的和，记为βαγ+=。

在数域K 与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域K 中任一数k 与V 中任一元素α，在V 中都有唯一的一个元素δ与他们对应，称为k 与α的数量乘积，记为αδk =，如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V 称为数域K 上的线性空间。

加法满足下面四条规则：1）αββα+=+；交换律2）)()(γβαγβα++=++；结合律3）在V 中有一个元素0，对于V 中任一元素α都有αα=+0（具有这个性质的元素0称为V 的零元素）； 存在零元4）对于V 中每一个元素α，都有V 中的元素，使得0=+βα（β称为α的负元素）.存在负元数量乘法满足下面两条规则：5）αα=1； 存在1元6）αα)()(kl l k =. 数的结合律数量乘法与加法满足下面两条规则：7）αααl k l k +=+)(； 数的分配律8）βαβαk k k +=+)(. 元的分配律在以上规则中，l k ,表示数域中的任意数；γβα,,等表示集合V 中任意元素。

例1． 元素属于数域K 的n m ⨯矩阵，按矩阵的加法和矩阵的与数的数量乘法，构成数域K 上的一个线性空间，记为,()m n M K 。

例2． 全体实函数（连续实函数），按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间。

例3． n 维向量空间n K 是线性空间。

例4． 向量空间的线性映射的集合(,)m n K Hom K K 是线性空间。

二．简单性质1．零元素是唯一的。

2．负元素唯一。

3．00=α，00=k ，αα-=-)1(。

4．若0=αk ，则0=k 或者0=α。

三.同构映射定义：设,V V '是数域K 上的线性空间. (,)K A Hom V V '∈是一个线性映射.如果A 是一一映射，则称A 是线性空间的同构映射，简称同构。

线性空间V 与'V 称为同构的线性空间。

定理 数域P 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是他们有相同的维数。

同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射。

§2 线性子空间的和与直和子空间的和：设12,W W 是线性空间V 的子空间，则集合121122{}W W W αααα=+∈∈|或也是一个线性子空间，称为12,W W 的和，记为12W W +.两个线性子空间的和12W W +是包含这两个线性子空间的最小子空间.满足交换律、结合律设1,,s ααL 与1,,t ββL 是V 的两个向量组.则1111(,,)(,,)(,,,,,)s t s t L L L ααββααββ+=L L L L线性子空间中的线性无关向量组都能被扩充成这个子空间的一个基。

定理：（维数公式）如果12,W W 是线性空间V 的两个子空间，那么1dim()W + 2dim()W =12dim()W W ++ 12dim()W W ⋂由此可知，和的维数要比维数的和来得小。

推广到有限个线性子空间的和空间维数⇒同构线性空间分类⇐维数推论：如果n 维线性空间V 中两个子空间21,V V 的维数之和大于n ，那么21,V V 必含有非零的公共向量。

直和：设12,W W 是线性空间V 的子空间，如果12W W +中的每个向量α都能被唯一地表示成21ααα+= 1122,W W αα∈∈.则称12W W +为直和，记为12W W ⊕。

设12,W W 是线性空间V 的子空间，则下列结论互相等价：设W 是线性空间V 的一个子空间，那么一定存在V 的一个线性子空间U ，使得V W U =⊕满足上述条件的线性子空间U 称为W 的补子空间.推广到有限多个线性子空间也可以定义它们的直和§3 欧式空间定义 设V 是实数域R 上的有限维线性空间,在V 上定义了一个二元实函数，称为内积,记作),(βα,满足以下四条公理:1)对称性 ),(),(αββα=;2)关于标量乘法线性性质 ),(),(βαβαk k =;3) 关于向量加法的线性性质),(),(),(γβγαγβα+=+;4)正定性0),(≥αα,当且仅当0=α时, 0),(=αα这里γβα,,是V 任意的向量,k 是任意实数,这样的线性空间V 称为欧几里得空间.例1 在线性空间nR 中,对于向量 .dim dim )dim(3;0,,1211111m m j i m j j i m W W W W W W m i W W ++=++=⋂=++∑≠≤≤ΛΛΛΛ）（有）对（是直和；）（12121212(1)(2)0;(3)dim()dim dim .W W W W W W W W +⋂=+=+是直和；12m W W W V L 设，，，是的线性子空间，则下列结论相互等价：),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ΛΛ==βα,定义内积.),(2211n n b a b a b a +++=Λβα (1)则内积(1)适合定义中的条件，这样n R 就成为一个欧几里得空间.3=n 时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式.例2 在n R 里, 对于向量),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ΛΛ==βα,定义内积.2),(2211n n b na b a b a +++=Λβα则内积(1)适合定义中的条件，这样n R 就也成为一个欧几里得空间.对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里得空间.例3 在闭区间],[b a 上的所有实连续函数所成的空间),(b a C 中,对于函数)(),(x g x f 定义内积⎰=ba dx x g x f x g x f )()())(),((. (2) 对于内积(2)，),(b a C 构成一个欧几里得空间.同样地，线性空间n x R x R ][],[对于内积(2)也构成欧几里得空间.例4 令H 是一切平方和收敛的实数列+∞<=∑∞=1221),,,,(n n n x x x x Λξ所成的集合,则H 是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间.定义 非负实数),(αα称为向量α的长度，记为α.显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质：αα||k k = (3)这里V R k ∈∈α,.长度为1的向量叫做单位向量.如果,0≠α由(3)式，向量αα1就是一个单位向量.用向量α的长度去除向量α，通常称为把α单位化.(Cauchy-Buniakowski 不等式)对任意的向量,,αβ有|(,)|||||,αβαβ≤而且等号成立当且仅当,,αβ线性相关.(保证向量夹角定义的合理性)定义 非零向量βα,的夹角><βα,规定为πβαβαβαβα≤≤>=<,0,),(arccos ,根据柯西-布涅柯夫斯基不等式，有三角形不等式βαβα+≤+.定义 如果向量βα,的内积为零，即0),(=βα那么βα,称为正交或互相垂直，记为βα⊥. 两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为2π.只有零向量才与自己正交. 勾股定理：当βα,正交时， .222βαβα+=+推广：如果向量两m ααα,,,21Λ两两正交，那么 22221221m m αααααα+++=+++ΛΛ.(),(,)ij nn ij i j A a a ηη==称为基n εεε,,,21Λ的度量矩阵.度量矩阵完全确定了内积.(,)TX AY αβ= 标准欧式空间(其内积关于自然基的度量矩阵是n 阶单位阵)定义 欧氏空间V 的一组非零的向量,如果它们两两正交，就称为一个正交向量组.由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组.在n 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过n 个.正交向量组一定是线性无关的。

若正交向量组中的向量都是单位向量，则称为规范正交组。

定义 在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为规范正交基组.对一组正交基进行单位化就得到一组规范正交基.欧式空间的线性子空间必存在规范正交基。

在规范正交基下，向量的内积可以通过坐标简单地表示出来，1122(,).T n n x y x y x y X Y αβ=+++=L这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广.把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些书和文献中称为格拉姆-施密特（Schimidt ）正交化方法. (P314)定义 欧氏空间V 与V '称为同构的,如果存在线性空间的同构(,)R A Hom V V '∈，保持内积，即 ((),())(,)A A αβαβ'=,对任意的,V αβ∈成立，这样的映射A 称为V 到V '的同构映射.同构的欧氏空间必有相同的维数.每个n 维的欧氏空间都与nR 同构. 同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性与传递性.由每个n 维欧氏空间都与nR 同构知，任意两个n 维欧氏空间都同构. 定理 两个有限维欧氏空间同构⇔它们的维数相等.这个定理说明，从抽象的观点看，欧氏空间的结构完全被它们的维数决定.§4 欧式空间中的正交补空间与正交投影S 是欧式空间V 的一个子集，如果V 中向量α与S 中每个向量都正交，则称α与S 正交，记做S α⊥.S V ,V ,,{|(,)0}.S S S S V S ααββ⊥⊥=∈=∈定义设是欧几里得空间的一个非空子集中与正交的所有向量组成的集合称为的正交补记作即对所有的正交投影的定义，正交投影的求法(P321-323)V W W ⊥=⊕,则其中每个向量α都能唯一的表示成1212,,W W ααααα⊥=+∈∈ 1W α∈是α在W 上的正交投影的充要条件是1W αα⊥-∈.令1:W P V W Vαα→⊆a 则W P 为V 在W 上的正交投影.在W 中取一个规范正交基1,,m ηηL ，则α在W 上的正交投影为1()(,)mW i i i P ααηη==∑. 正交投影的求法: （1） 用施密特正交化方法求出W 的规范正交基，再用1()(,)mW i ii P ααηη==∑ （2） 设1i W αη=∈∑，则21W ααα⊥=-∈,2(,)0i αη=解齐次线性方程组（3） 把(2)写成矩阵形式，解决T A AX AY =，()W P AX α=V 中任意向量α在子空间W 上的最佳逼近元存在且唯一，就是α在W 上的正交投影()W P α.最小二乘法（偏差总和最小——>偏差平方和最小）（P327-328）最小二乘法问题：线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=-+++=-+++0,0,022112222212111212111n s ns n n s s s s b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 可能无解.即任何一组数s x x x ,,,21Λ都可能使.S V S V ⊥命题设是欧几里空间的任意一个非空子集，则是的一个线性子空间.W V V W W ⊥=⊕定理设是欧几里得空间的一个线性子空间，则11,||||,.W V V W W W ααααααββ∈∈-≤-∈定理设是欧几里得空间的子空间，对于是在上的正交投影的充分必要条件为对所有的.||||,.W V V W W W αδβαδαβδα∈-≤-定义设是欧几里得空间的一个子空间，是中的向量如果中存在一个向量使得对所有的有那么称为在上的最佳逼近元∑=-+++n i i s is i i b x a x a x a122211)(Λ (1)不等于零.我们设法找00201,,,s x x x Λ使（1）最小，这样的00201,,,s x x x Λ称为方程组的最小二乘解.这种问题就叫最小二乘法问题.下面利用欧氏空间的概念来表达最小二乘法，并给出最小二乘解所满足的代数条件..,,,112112121212222111211AX x a x a x a Y x x x X b b b B a a a a a a a a a A s j j nj s j j j s j j j s n ns n n s s =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===M M M ΛM M M ΛΛ (2) 用距离的概念，（1）就是2B Y -最小二乘法就是找00201,,,s x x x Λ使Y 与B 的距离最短.但从（2），知道向量Y 就是 .21222122121111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ns s s s n n a a a x a a a x a a a x Y M ΛM M 把A 的各列向量分别记成s ααα,,,21Λ.由它们生成的子空间为),,,(21s L αααΛ=.Y 就是),,,(21s L αααΛ=中的向量.于是最小二乘法问题可叙述成：找X 使（1）最小，就是在),,,(21s L αααΛ=中找一向量Y ，使得B 到它的距离比到子空间),,,(21s L αααΛ=中其它向量的距离都短.应用前面所讲的结论，设s s x x x AX Y ααα+++==Λ2211是所求的向量，则AX B Y B C -=-=必须垂直于子空间),,,(21s L αααΛ=.为此只须而且必须0),(),(),(21====s C C C αααΛ回忆矩阵乘法规则，上述一串等式可以写成矩阵相乘的式子，即120,0,,0.T T T s C C C ααα===L而12,,,T T T s αααL 按行正好排成矩阵T A ，上述一串等式合起来就是()0T A B AX -=或T T A AX A B =这就是最小二乘解所满足的代数方程，它是一个线性方程组，系数矩阵是T A A ，常数项是T A B .这种线性方程组总是有解的.§5 正交变换与正交矩阵定义 欧氏空间V 的线性变换A 叫做一个正交变换,如果它保持向量的内积不变，即对任意的，都有V ∈βα,,都有(A α,A β)=),(βα.正交变换可以从几个不同方面公平加以刻画.正交群(,)O n R设A 是n 维欧氏空间的一个正交变换，则有以下结论：（1） 如果n εεε,,,21Λ是规范正交基，那么A 1ε, A 2ε,…, A n ε也是规范正交基；（2） A 保持向量的长度不变，即对于V ∈α,（A α，A α）=（α，α）;（3） A 在任一组规范正交基下的矩阵是正交矩阵TA A E =.（4） 正交变换的乘积与正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵.1123410T T A n A A A AA E A -==推论设是一个阶实数矩阵，那么下列条件是等价的：（）是正交矩阵；（）；（）；（）的每个列的元素的平方和等于，不同列的对应元素之积和等于，即：510.A （）的每个行的元素的平方和等于，不同行的对应元素之积和等于如果A 是正交矩阵，那么由T AA E =可知12=A 或者1±=A .因此，正交变换的行列式等于+1或-1.行列式等于+1的正交矩阵通常称为旋转，或者称为第一类的,特殊正交群(,)SO n R ；行列式等于-1的正交变换称为第二类的.。