2008年数学物理方法期末试卷
一、求解下列各题（10分*4=40分）
1． 长为l 的均匀杆，其侧表面绝热，沿杆长方向有温差，杆的一段温度为零，另一端有热量流入，其热流密度为t 2sin 。

设开始时杆内温度沿杆长方向呈2
x 分布，写出该杆的热传导问题的定解问题。

2． 利用达朗贝尔公式求解一维无界波动问题 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=>+∞<<-∞=-==2||)0,(040
0t t t xx tt u x u t x u u 并画出t=2时的波形。

3． 定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤==∞<<==<<<<=+====)0(
0,sin )0( 0 ,)0 ,0( ,000a x u x B u y u ay u b y a x u u b y y a x x yy xx ，若要使边界条件齐次化，，求其辅助函数，并写出相应的定解问题
4． 计算积分⎰-+=1
11)()(dx x P x xP I l l
二、（本题15分）用分离变量法求解定解问题
⎪⎩⎪⎨⎧+===><<=-===x
x u u u t x u a u t x x x xx t 3sin 4sin 20 ,0)0,0( 0002ππ
三、（本题15分）设有一单位球壳，其球壳的电位分布12cos |1+==θr u ，求球内、外的电位分布
四、（本题15分）计算和证明下列各题
1．)(0ax J dx
d 2．C x x xJ x x xJ xdx x J +-=⎰
cos )(sin )(sin )(100
五、（本题15分）圆柱形空腔内电磁振荡满足如下定解问题
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===<<<<=+=∆===0
00),(0,00),(0),(0l z z z z a u u z u l z a z u z u ρρρρλρ 其中2)(c ω
λ=，为光速为电磁震荡，
c ω。

（1） 若令)()(),(z Z R z u ρρ=，写出分离变量后关于)()(z Z R 和ρ满足的方程；
（2） 关于)()(z Z R 和ρ的本征值问题，写出本征值和本征函数；
（3） 证明该电磁振荡的固有频率为
,3,2,1;,2,1,0 ,)()(220==+=m n l
n a x c m mn πω 其中0m x 为零阶Bessel 函数的零点。

参考公式
（1） 柱坐标中Laplace 算符的表达式
（2） Legendre 多项式
（3） Legendre 多项式的递推公式
（4） Legendre 多项式的正交关系
（5） 整数阶Bessel 函数
（6） Bessel 函数的递推关系。