初一数学
本讲主要内容
第五章三角形 5~6
5.探索三角形全等的条件
6.作三角形
二.学习指导
5.探索三角形全等的条件
我们知道两个三角形能够重合,则这两个三角形是全等的三角形. 全等三角形的对应边相等,对应角相等 .
换言之,两个三角形也只有对应边相等,对应角相等 ,才能重合.我们可以这样说,两个三角形全等的条件是三个角对应相等,三条边对应相等.当我们判断两个三角形是否全等时,是不是一定要研究这六个条件呢?是否缺一不可呢?我们知道, 三角形的内角和等于 180°,那么三角形中, 只要知道两个角,就可得到第三个角,故全等的条件中可以减少一个角.这说明三角形全等的六个条件是可以减少一部分的.
我们下面就来研究哪些条件可以减少.
(1我们用三条线段,如长分别为 4cm , 5 cm, 6 cm的三条线段,可以画出一个三角形.再画一个,我们可以看出,两次画的三角形是全等的.这样我们可以得到结论:
三边对应相等的两个三角形全等 .
这个结论可以简写为“ 边边边”或者“ SSS ” .
由这个结论可知,只要一个三角形的三边的长度确定了, 这个三角形的形状和大小就完全确定了.这个性质叫做三角形的稳定性 .
三角形的稳定性在生活中有很多应用的例子,如电线杆上的横担,就用两个斜撑加固(如图 .
如果已知一个三角形的三个角,画出的三角形就不一定全等.因为这样的两个三角形的形状是相同的,但大小不一定相等.
(2我们知道一个三角形的两个角和一条边,来画一个三角形.这里有两种情况,先考虑这边是两个角所夹的边.这样可以画出三角形,并且,如果再画一个,定与前一个全等.这样我们可以得到结论:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 . 这个结论可以简写为“ 角边角”或者“ ASA ” .
再来考虑一边是其中一个角的对边的情况,由于三角形的内角和等于 180°,第三个角也对应相等,即问题变成了上一种情况,于是我们可以得到结论:
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 . 这个结论可以简写为“ 角角边”或者“ AAS ” .
(3如果我们知道两条边和一个角,来画三角形.这也有两种情况,一是条件中的角是两边的夹角.这样可以画出三角形,并且,如果再画一个,定与前一个全等.这样我们可以得到结论:
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 . 这个结论可以简写为“ 边角边”或者“ SAS ” . 但是, 如果条件中的角是一条边的对角, 情况就不一样了. 这样可以画出两个不全等的三角形,
如图.
AB =A 1B 1, AC =A 1C 1,∠ B =∠ B 1, 但△ ABC 与△ A 1B 1C 1不全等.即
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 6.作三角形
我们已经学会用尺规作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角,边和角是三角形的基本
B
1
B 11
元素,那么我们就能用尺规作一个三角形和已知三角形全等.
例如,
已知:线段 a , c ,∠ α.
求作:△ ABC ,使 BC = a, AB =c ,∠ ABC =∠ α. 作法:
1. 作一条线段 BC = a;
2. 以 B 为顶点, BC 为一边作∠ DBC =∠ α;
3. 在射线 BD 上截取线段 BA = c;
4. 连结 AC .
△ ABC 就是所求作的三角形. (如下图
三.例题评析例 1如图, AC 、 BD 相交于 O , AB =CD , AC =BD ,请说明∠ A =∠ D
分析:要说明可以先说明它们
所在的三角形△ ABC 和△ DCB 全等.
解:连结 BC ,在△ ABC 和△ DCB 中,
因为 AB =DC , AC =DB , BC =CB , 所以△ ABC ≌△ DCB (SSS
.
所以∠ A =∠ D (全等三角形的对应角相等 .
说明:要说明也可先说明△ ABO 和△ DCO 全等.但本题中要说明这两个三角形全等的条件不够.
例 2如图, AB ∥ CD , AD ∥ BC ,请说明 AB =CD .
解:连结 BD ,因为 AB ∥ CD ,所以∠ ABD =∠ CDB ;
因为 AD ∥ BC ,所以∠ ADB =∠ CBD , 又 BD =DB ,所以△ ABD ≌△ CDB (ASA .
所以 AB =CD (全等三角形的对应边相等 .
说明:这两个例题都是利用全等三角形来说明线段相等或角相等,都要在已知的图形中寻找或构造全等三角形. 例 3 如图,在△ ABC 中, M 在 BC 上,
D 在 AM 上, AB =AC , DB =DC ,请说明 MB =MC .
分析:要说明 MB =MC ,可以说明△ ABM ≌△ ACM ,
但条件不够,于是要利用已有的条件来推出需要的条件.
解:在△ ABD 和△ ACD 中,
因为 AB =AC , DB =DC , AD =AD , 所以△ ABD ≌△ ACD (SSS .
4312
所以∠ DAB =∠ DAC (全等三角形的对应角相等 .
在△ ABM 和△ ACM 中,因为 AB =AC ,∠ MAB =∠ MAC , AM =AM , 所以△ABM ≌△ ACM (SAS .
所以 MB =MC (全等三角形对应边相等 . 例 4 已知:线段 a ,∠ α,∠ β.
求作:△ ABC ,使 BC = a,∠ B =∠ α,∠ C =∠ β. 作法:
1.作线段 BC = a;
2.以 B 为顶点, BC 为一边作∠ CBD =∠ α;
3.以 C 为顶点, CB 为一边作∠ BCE =∠ β, CE 与 BD 交于点 A . △ ABC 就是所求的三角形.
四.习题 1. (1三个内角分别对应相等的两个三角形是否全等? (2三条边分别对应相等的两个三角形是否全等?
(3有两边及这两边的夹角对应相等的两个三角形是否全等? (4有两角及这两角的夹边对应相等的两个三角形是否全等? (5有两边及一角对应相等的两个三角形是否全等? (6有两角及一边对应相等的两个三角形是否全等? 2.什么是三角形的稳定性?
3.如图, AB =AD , BC =CD ,那么△ ABC 和△ ADC 全等吗?为什么?
4.如图, AB =CD , BC =AD ,那么∠ A =∠ C 吗?为什么?
4.
5.如图, A 、 B 在 CD 上, AD =BC , AE =BF , EC =DF ,那么是否有 DF ∥ EC ?为什么?
6.如图,∠ E =∠ C , AB=AD,∠ 1=∠ 2,那么,△ ABC 和△ ADE 全等吗?为什么?
B C B 321B
D B
5. 6.
7.如图, AB =AC , AD =AE ,那么△ ABD 和△ ACE 全等吗?为什么?
8.如图, AB ∥ CD , AB =CD ,那么△ ABC 和△ CDA 全等吗?为什么?
9.如图, D 为 BC 的中点, AD ⊥ BC ,那么 AB 与 AC 相等吗?为什么?
10.如图,已知 C 是 AB 的中点, CD =CE ,还需加上什么条件,就可以得到△ BCD 和△ ACE 全等?
11.已知:线段 a ,∠ α.求作: (1△ ABC ,使∠ A =∠ α, AB =a , AC =2a .
(2△ ABC ,使∠ A =∠ α,
AB =a ,∠ B =2∠ α.
12.已知:线段 a 和 c
和 c . 13.已知:线段 a ,∠ α. 求作:一个直角三角形,
使它的一个锐角等于∠ α,一条直角边等于 a .
E
五.参考答案
1. (1不一定; (2全等; (3全等; (4全等; (5全等; (6不一定.
2.一个三角形的三边确定后,这个三角形的形状、大小就确定了.
3.全等.理由是 SSS .
4.相等.连结 BD ,用“SSS ”可得△ ABD ≌△ CDB .
5.由条件可得△ AEC ≌△ BDF ,则∠ C =∠ D ,即得.
6.∠ 1=∠ 2,∠ 1+∠ DAC =∠ 2+∠ DAC ,可用 AAS ,△ ABC 和△ ADE 全等.
7.∠ A 是公共角, AB =AC , AD =AE ,△ ABD ≌△ ACE (SAS .
8.由平行得内错角相等,可得
9.∠ ADB =∠ ADC =直角,△ ADB ≌△ ADC (SAS ,则 AB =AC .
10. CD =CE (SSS 或∠ ACE =∠ BCD 或∠ ACD =∠ BCE (SAS .
11.作法略.
12.作法略.
13.作法略.注意有两种情况,已知线段是已知锐角的对边或是已知锐角的邻边.。