初一数学
本讲主要内容
第五章三角形 5~6
5．探索三角形全等的条件 6．作三角形
二．学习指导
5．探索三角形全等的条件
我们知道两个三角形能够重合，则这两个三角形是全等的三角形．全等三角形的对应边相等，对应角相等．
换言之，两个三角形也只有对应边相等，对应角相等，才能重合．我们可以这样说，两个三角形全等的条件是三个角对应相等，三条边对应相等．当我们判断两个三角形是否全等时，是不是一定要研究这六个条件呢？是否缺一不可呢？我们知道，三角形的内角和等于180°，那么三角形中，只要知道两个角，就可得到第三个角，故全等的条件中可以减少一个角．这说明三角形全等的六个条件是可以减少一部分的．我们下面就来研究哪些条件可以减少．
（1）我们用三条线段，如长分别为4cm，5 cm，6 cm的三条线段，可以画出一个三角形．再画一个，我们可以看出，两次画的三角形是全等的．这样我们可以得到结论：
三边对应相等的两个三角形全等．
这个结论可以简写为“边边边”或者“SSS”．
由这个结论可知，只要一个三角形的三边的长度确定了，
这个三角形的形状和大小就完全确定了．这个性质叫做
三角形的稳定性．
三角形的稳定性在生活中有很多应用的例子，如电线杆
上的横担，就用两个斜撑加固（如图）．
如果已知一个三角形的三个角，画出的三角形就不一定全等．因为这样的两个三角形的形状是相同的，但大小不一定相等．
（2）我们知道一个三角形的两个角和一条边，来画一个三角形．这里有两种情况，先考虑这边是两个角所夹的边．这样可以画出三角形，并且，如果再画一个，定与前一个全等．这样我们可以得到结论：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．
这个结论可以简写为“角边角”或者“ASA”．
再来考虑一边是其中一个角的对边的情况，由于三角形的内角和等
于180°，第三个角也对应相等，即问题变成了上一种情况，于是我们可以得到结论：
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．
这个结论可以简写为“角角边”或者“AAS”．
（3）如果我们知道两条边和一个角，来画三角形．这也有两种情况，一是条件中的角是两边的夹角．这样可以画出三角形，并且，如果再画一个，定与前一个全等．这样我们可以得到结论：
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．
这个结论可以简写为“边角边”或者“SAS”．
但是，如果条件中的角是一条边的对角，情况就不一样了．这样可
以画出两个不全等的三角形，如图．
AB=A1B1，AC=A1C1，∠B=∠B1，
但△ABC与△A1B1C1不全等．即
两边及其中一边的对角对应相等
的两个三角形不一定全等．
6．作三角形
我们已经学会用尺规作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，边和角是三角形的基本元素，那么我们就能用尺规作一个三角形和已知三角形全等．
例如，
已知：线段a，c，∠α．
求作：△ABC，使BC= a，AB=c，∠ABC=∠α．
作法：
1．作一条线段BC= a；
2．以B为顶点，BC为一边作∠DBC=∠α；
3．在射线BD上截取线段BA= c；
4．连结AC．
△ABC就是所求作的三角形．
（如下图）
三．例题评析
例1如图，AC、BD相交于O，AB=CD，AC=BD，请说明∠A=∠D．分析：要说明可以先说明它们
所在的三角形△ABC和△DCB全等．
解：连结BC，在△ABC和△DCB中，
因为AB=DC，AC=DB，BC=CB，
所以△ABC≌△DCB（SSS）．
所以∠A=∠D（全等三角形的对应角相等）．
说明：要说明也可先说明△ABO和△DCO全等．但本题中要说明这两个三角形全等的条件不够．
例2如图，AB∥CD，AD∥BC，请说明AB=CD．
解：连结BD，因为AB∥CD，所以∠ABD=∠CDB；
因为AD∥BC，所以∠ADB=∠CBD，
又BD=DB，所以△ABD≌△CDB（ASA）．
所以AB=CD（全等三角形的对应边相等）．
说明：这两个例题都是利用全等三角形来说明线段相等或角相等，
都要在已知的图形中寻找或构造全等三角形．
例3 如图，在△ABC中，M在BC上，
D在AM上，AB=AC，DB=DC，请说明MB=MC．
分析：要说明MB=MC，可以说明△ABM≌△ACM，
但条件不够，于是要利用已有的条件来推出需要的条件．解：在△ABD和△ACD中，
因为AB=AC，DB=DC，AD=AD，
所以△ABD≌△ACD（SSS）．
所以∠DAB=∠DAC（全等三角形的对应角相等）．
在△ABM和△ACM中，因为AB=AC，∠MAB=∠MAC，AM=AM，所以△ABM≌△ACM（SAS）．
所以MB=MC（全等三角形对应边相等）．
例4 已知：线段a，∠α，∠β．
求作：△ABC，使BC= a，∠B=∠α，∠C=∠β．
作法：
1．作线段BC= a；
2．以B为顶点，BC为一边作∠CBD=∠α；
3．以C为顶点，CB为一边作∠BCE=∠β，CE与BD交于点A．
△ABC就是所求的三角形．
四．习题
1．（1）三个内角分别对应相等的两个三角形是否全等？
（2）三条边分别对应相等的两个三角形是否全等？
（3）有两边及这两边的夹角对应相等的两个三角形是否全等？
（4）有两角及这两角的夹边对应相等的两个三角形是否全等？
（5）有两边及一角对应相等的两个三角形是否全等？
（6）有两角及一边对应相等的两个三角形是否全等？
2．什么是三角形的稳定性？
3．如图，AB=AD，BC=CD，那么△ABC和△ADC全等吗？为什么？
4．如图，AB=CD，BC=AD，那么∠A=∠C吗？为什么？
3． 4．
5．如图，A、B在CD上，AD=BC，AE=BF，EC=DF，那么是否有DF∥EC？为什么？
6．如图，∠E=∠C，AB=AD，∠1=∠2，那么，△ABC和△ADE全等吗？为什么？
5． 6．
7．如图，AB=AC，AD=AE，那么△ABD和△ACE全等吗？为什么？
8．如图，AB∥CD，AB=CD，那么△ABC和△CDA全等吗？为什么？
9．如图，D为BC的中点，AD⊥BC，那么AB与AC相等吗？为什么？
10．如图，已知C是AB的中点，CD=CE，还需加上什么条件，就可以得到△BCD和△ACE全等？
11．已知：线段a，∠α．求作：
（1）△ABC，使∠A=∠α，
AB=a，AC=2a．
（2）△ABC，使∠A=∠α，
AB=a，∠B=2∠α．
12．已知：线段a和c，求作一个直角三角形，使它的两条直角边分别等于a和c．
13．已知：线段a，∠α．
求作：一个直角三角形，
使它的一个锐角等于∠α，一条直角边等于a．
五．参考答案
1．（1）不一定；（2）全等；（3）全等；（4）全等；（5）全等；（6）不一定．
2．一个三角形的三边确定后，这个三角形的形状、大小就确定了．
3．全等．理由是SSS．
4．相等．连结BD，用“SSS”可得△ABD≌△CDB．
5．由条件可得△AEC≌△BDF，则∠C=∠D，即得．
6．∠1=∠2，∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，可用AAS，△ABC和△ADE 全等．
7．∠A是公共角，AB=AC，AD=AE，△ABD≌△ACE（SAS）．
8．由平行得内错角相等，可得
9．∠ADB=∠ADC=直角，△ADB≌△ADC（SAS），则AB=AC．10．CD=CE（SSS）或∠ACE=∠BCD或∠ACD=∠BCE（SAS）．11．作法略．
12．作法略．
13．作法略．注意有两种情况，已知线段是已知锐角的对边或是已知锐角的邻边．。