标准化的方法如下：
2
(n 1)s2
2
~
2 (n 1)
2服从自由度为n-1的卡方（chi-square）分布
2分布具有如下性质和特点：
1. 2分布的变量值始终为正； 2. 2分布的形状取决于其自由度 的大小，通常为不对称的右偏分 布，但随着自由度的增大逐渐趋 于对称； 3. 对于 2 分布来说，抽出样本的 总体必须是正态分布。
F
s12 s22
12
2 2
~ F (n1 1, n2 1)
F分布的临界值
临界值（上侧、下侧及双侧临 界值表示同卡方分布）（见附 表6）
附表6没有下侧临界值，可利用 公式求出
F1 (df1, df2 )
1 F (df2, df1)
简便算法：求F值时，用较小 方差作分母，较大方差作分子 ，采用上侧临界值。
2 2
பைடு நூலகம்
~
2 (n2
1)
两个独立的卡方分布除以自由度后相比即得到F分布，即
(n1 1)s12 / 12(n1 1)
(n2 1)s22 22(n2 1)
s12
/
2 1
s
2 2
/
2 2
~ F(n1 1,n2
1)
从均值和方差分别为
N (1,12 )
和
N
(2
,
2 2
)
的两个
正态总体中，抽取含量分别为n1和n2的样本，并分 别求出它们的样本方差s12和s22，标准化的样本方 差之比称为F。
t 分布的临界值
P(t t ) P(t t ) 此时，t 为上侧临界值，- t为下侧临界值；
P( t t ) 此时，t 为双侧临界值。
t 分布的图示跟正态分布十分相似。
注意：本教材中附表4给出的临界值均为双侧临界值，当使
用单侧临界值时需要注意。
<例2.28> 查表求 t0.05(9) ? ，t0.025(9) ?
(n1 1)s12 (n2 1)s22 ( 1
1
)
~ t(n1 n2 2)
n1 n2 2
n1 n2
其中
se2
(n1
1)s12 (n2 1)s22 n1 n2 2
为两样本的合并方差
s x1x2
se2
(
1 n1
1 n2
)
为样本平均数差数的标准误。
3.
方差比
s2 1
s22
的分布——F 分布
样本标准差s代替，这时标准化的样本均值
x 的抽样分布
x s
- 不
n
再服从标准正态分布，而服从具自由度为n-1的t分布，即：
t x - ~ t(n 1) sn
其中 s 称为样本标准误差，df n 1 称为自由度。
n
t 分布的密度曲线特点：
a）受df 制约，每个df 都有一条 t 分 布密度曲线； b）以 y 轴为对称轴左右对称，且在t =0时取极大值； c）与标准正态分布比， t 分布曲线 顶部略低，两尾部稍高而平， df 越 大越趋近于标准正态分布。 d）一般当df >35时，t 值可由Φ值近 似代替。
抽 样 分 布
两个正态总体
均值
σ已知 σ未知
方差
均值差 方差比
σ i已知
σ i未知但相等 σ i未知且不等
u分布 t分布 χ2分布 u分布 t分布
近似t分布
F分布
作业5
•习题2（P43）6、7
2分布的临界值
P( 2 2 )
2 ——上侧临界值
2 1
——下侧临界值
2
、 2 1-
——双侧临界值
2
2
例子：求 2 (9) ? 0.05 2 (9) 16.92 0.05
含义：自由度为9，概率α=0.05的 2值等于 16.92，就是说 2大于16.92的概率为0.05， 或写成 P( 2 16.92) 0.05
与从单个总体抽样的情况类似。 当总体标准差已知时，两个平均数差的分布对总体正态性的
要求并不十分严格，只要样本含量足够大就可以。 当总体标准差未知时，两个总体应尽量为正态总体，如果不
能达到正态总体，也必须是近似正态总体。 对于方差比的分布，要求抽出样本的两个总体必须是正态总
体。
本章小结
单个正态总体
即在大量重复抽样试验的基础上得到统计量取值的集合以及 其相应的概率。
统计学的一个主要任务是研究总体和样本之间的关系，可从两个 方面进行： ① 从总体到样本，即研究抽样分布的问题； ② 从样本到总体，即统计推断。
抽样分布是统计推断的基础。
设一个总体只有4个个体，即N=4，取值分别为x1=1，x2=2，x3=3， x4=4。具体可以视为一个黑布袋中有4个球，分别标明1,2,3,4号球，xi取 每一个值的概率都相同，P(x)=0.25，总体的分布情况如图：
X的总体均值μ=21/6=3.5；各样本平均值与 总体均值μ所表现的差异称为随机抽样误 差。
由于随机误差（个体变异、抽样）的原因，抽取的各个样本所计算的 统计量之间以及样本统计量与总体参数之间会存在一定的的差异，称 为抽样误差。
我们从一个已知的总体中，独立随机地抽取含量为n的样本， 研究所得样本的各统计量的概率分布，即所谓的抽样分布 （sample distribution）；
第三章 抽样分布
样本统计量本身 是随机变量
例子：掷一枚均匀的骰子，并且令X为掷 出的点数。假设骰子被掷3次，产生的样 本 观 察 值 是 2,2,6 ， 则 此 样 本 的 均 值 是 3.33；现在再掷3次骰子并得到样本观察 值3,4,6，这次样本的均值为4.33。
不同的样本会导致各样本的统计量取不同 的值；
总体的分布 总体的均值和方差为：
若从该总体中采取重复抽样的方法抽取容量为n=2的随机样本，即先摸 出一个球，记下号码后放回袋中再摸第二个球，来看看样本均值 的抽 样分布。
从该总体中采取重复抽样的方法抽取容量为n=2的随机样本，共有42=16 个可能的样本，计算每一个样本的均值 。
16个可能的样本及其均值与方差列表
2 1
2 2
n1 n2
当
12
2 2
2，n1
n2
n
时，
2 x1
x2
2 2
n
，而
2 x
2
n
表明：两样本平均数差数的抽样分布比平均数的分布分散 得多。
2. i 未知但相等时，x1 - x2的分布
可以用
s12与
s22
代替
12和
2 2
，仿照单个总体的
t
分布：
t n1n2 2
( x1 x2 ) (1 2 )
， x1-x2
x1 x2
。
x1x2 是样本平均数差数的标准误。
可以证明：
1. i 已知时， x1 - x2 的分布
X1
~
N (1,12 )
，X 2
~
N
(
2
,
2 2
)
， x1 -
x2
~
N (1
2
,
2 1
n1
2 2
)
n2
则标准化后
u (x1 - x2 ) (1 2 ) ~ N (0,1)
解： t0.05(9) 2.262
t0.025(9) 2.685
2. 样本方差的抽样分布—— 2 分布
从正态总体中重复选取容量为n的样本时，由样本方差的所有
可能取值形成的抽样分布，称为样本方差的抽样分布。
在讨论样本方差的分布时，通常并不直接谈s2的分布，而是将
它标准化，并讨论标准化后的变量 2 的分布。
例：查表求
F0.01(4,20) ? F0.01(20,4) ? F0.99 (4,20) ?
解：
F0.01(4,20) 4.43
F0.01(20,4) 14.02
F0.99 (4,20)
1 F0.01 (20,4)
1 14.02
0.0714
注： 从两个总体中抽取的样本统计量的分布，对总体分布的要求
样本均值经整理后的分布 把 的抽样分布绘成频数分布图： 抽样分布的形成过程可以概括成下图：
一、从一个正态总体中抽取的样本统计量的分布
1. 样本平均数的抽样分布
1.1 u分布( z分布)
若随机变量X服从总体均值为μ，方差为σ2的正态分布，从该总体 中独立随机地抽取含量为n的样本，样本均值的数学期望（即样
本均值的均值记为 x），样本均值的方差记为 x 2 ，则：
x
x
n
x 称为平均数 x 的标准误差（standard error of mean），简称标准误。
当 X ~ N(, 2) 时，x ~ N (, 2 ) ，则标准化后
n
u x ~ N (0,1) n
称为u分布（有的教材称为z分布）。
设 X1 ~ 2(n1) , X2 ~ 2(n2 ) , X1、X2 相互独立，则称
F
X1 X2
n1 n2
~ F (n1, n2 )
服从df =(n1，n2)的F分布，其中n1为第一自由度，n2为第二自由度。
样本方差的抽样分布服从卡方分布：
(n1 1)s12
2 1
~
2 (n1 1)
(n2 1)s22
二、从两个正态总体中抽取的样本统计量的分布
假定有两个正态总体 N (1,12)
，
N
(2
,
2 2
)
，从第一个总体随
机抽取含量为n1的样本，并独立地从第二个总体抽取含量为n2的
样本，然后计算样本平均数差数 x1 - x2，其所有可能取值形成的
分布称为样本平均数差数的抽样分布。