热点02 整式与因式分解模块考点 水平层级 整式与因式分解代数式的有关概念Ⅱ 列代数式和求代数式的值Ⅱ 整式的加、减、乘、除及乘方的运算法则Ⅲ 乘法公式【平方差、两数和（差）的平方公式】及其简单运用Ⅲ 因式分解的意义 Ⅱ 因式分解的基本方法【提取公因式法、分组分解法、公式法、二次项系数为1的十字相乘法】 Ⅲ【满分技巧】整式的加、减、乘、除及乘法的运算法则，乘法公式及其简单运用1．用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式．2．用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值．3．由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式．单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．4．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．5．由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式，在多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．次数最高的项的次数就是这个多项式的次数． 例如：多项式221a a +-是单项式22a a 、与﹣1三项的和，代数式中次数最高的项是2a ，所以这个多项式的次数是2．6．单项式、多项式统称为整式．7．所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项．8．把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．一个多项式合并后含有几项，这个多项式就叫做几项式．9．合并同类项的法则是：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．10．a a a a 可以写成n a （读作“a 的n 次方”），其中a 表示底数，正整数a 表示指数，a 的n 次乘方的结果叫做a 的n 次幂．11．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．m n m n a a a +=（m 、n 都是正整数）．同底数幂相除，底数不变，指数相减m n m n a a a -÷=（m 、n 是正整数且m ＞n ，a ≠0）．任何不等于零的数的零次幂为1，即01a =（a ≠0）．12．幂的乘方，底数不变，指数相乘，即()m n mn a a =．（m 、n 都是正整数）13．积的乘方等于把积的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘，即()n n n ab a b =．（n 为正整数）14．单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．15．单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．16．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．17．两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．18．多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加．【总结】理解代数式中字母表示数以及单项式多项式的相关概念；注意单项式与多项式乘法的基本步骤．因式分解的意义，因式分解的基本方法1．平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即22()()a b a b a b +-=-．2．完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍，即：222()2a b a ab b +=++，222()2a b a ab b -=-+．3．平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式．4．把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．5．一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式．6．如果一个多项式各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式．这种分解因式的方法叫做提取公因式法．7．提取的公因式应是各项系数的最大公因数（系数都是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积．8．逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法，由平方差公式反过来可得22=()()a b a b a b -+-．这个公式叫做因式分解的平方差公式．同理由乘法公式中的完全平方公式反过来可得2222=()a ab b a b +++，2222=()a ab b a b -+-．这两个公式叫做因式分解的完全平方公式．9．由多项式与多项式相乘的法则，可知2()()()x a x b x a b x ab ++=+++．反过来可得2()()()x a b x ab x a x b +++=++．如果二次三项式2x px q ++中的常数项q 能分解成两个因数a 、b 的积，而且一次项系数p 又恰好是a +b ，那么2x px q ++就可以进行如下的因式分解，即22()()()x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++．10．利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法．11．利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．【总结】注意理解因式分解的意义；注意因式分解四种方法的灵活运用，特别是十字相乘法的基本步骤需要理解．【限时检测】（建议用时：30分钟）一、单选题1．（2020·上海浦东新区·九年级三模）下列各运算中，正确的运算是（ ）A ．=B ．339(3)27a a -=-；C ．842a a a ÷=；D ．22244()a b a b -=-．【答案】B【分析】依据同底数幂的除法、合并同类二次根式、积的乘方以及完全平方公式法则即可判断．【详解】A.5335+不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误；B. 339(3)27a a -=-，正确；C.48484=a a a a -÷=，故此选项错误；D.2224224()2a b a a b b -=-+，故此选项错误．故选B ．【点睛】本题考查了同底数幂的除法、合并同类二次根式、积的乘方以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．2．（2020·上海长宁区·九年级二模）下列单项式中与xy 2是同类项（ ）A ．x 2yB ．x 2y 2C ．2xy 2D ．3xy【答案】C【分析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，同类项与字母的顺序无关，与系数无关．【详解】解：与xy 2是同类项的是2xy 2．故选：C ．【点睛】此题考查同类项，关键是根据同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，还有注意同类项与字母的顺序无关，与系数无关．3．（2020·上海大学附属学校九年级三模）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b ）n 的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a+b ）20的展开式中第20项的系数为（ ）A ．1B ．18C ．19D ．20【答案】D 【分析】观察“杨辉三角”，根据已知图归纳类推出一般规律，由此即可得出答案．【详解】观察“杨辉三角”可得以下两条规律：（其中，n 为自然数）（1）()n a b +的展开式的项数为1n +（2）()n a b +的展开式中第二项与倒数第二项的系数相同，均为n （1n ≥）则20()a b +的展开式共有21项，第20项为倒数第二项，其系数为20故选：D ．【点睛】本题考查了数字的变化规律，正确归纳出一般规律是解题关键．4．（2020·上海嘉定区·九年级二模）当x ≠0时，下列运算正确的是( )A ．x 3+x 2=x 5B ．x 3•x 2=x 6C ．(x 3)2=x 9D ．x 3÷x 2=x 【答案】D【分析】分别根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减进行计算即可．【详解】A ．x 3与x 2不能合并，故原题计算错误；B ．x 3•x 2=x 5，故原题计算错误；C ．(x 3)2=x 6，故原题计算错误；D ．x 3÷x 2=x ，故原题计算正确．故选：D ．【点睛】此题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方，关键是熟练掌握各计算法则． 5．（2020·上海青浦区·九年级二模）计算（﹣2x ）2的结果是（ ）A ．2x 2B ．﹣2x 2C ．4x 2D ．﹣4x 2 【答案】C【分析】根据积的乘方法则计算即可．【详解】解：（﹣2x ）2＝4x 2．故选：C ．【点睛】本题考查积的乘方计算，掌握计算法则正确计算是解题关键．6．（2020·上海杨浦区·九年级二模）下列计算中，正确的是（ ）A ．a 2•a 4＝a 8B ．（a 3）4＝a 7C ．（ab ）4＝ab 4D ．a 6÷a 3＝a 3 【答案】D【分析】直接利用积的乘方、幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．【详解】A ．a 2•a 4＝a 2+4=a 6，故此选项计算错误，B ．（a 3）4＝a 3×4=a 12，故此选项计算错误，C ．（ab ）4＝a 4b 4，故此选项计算错误，D ．a 6÷a 3＝a 6-3=a 3，故此选项计算正确．故选D ． 【点睛】此题主要考查了积的乘方、幂的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．7．（2020·上海奉贤区·九年级二模）下列计算中，结果等于a 2m 的是（ ）A ．a m +a mB ．a m •a 2C ．（a m ）mD ．（a m ）2【答案】D 【分析】直接利用合并同类项法则、同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出答案．【详解】解：A 、a m +a m ＝2a m ，故此选项不合题意；B 、a m •a 2＝a m +2，故此选项不合题意；C 、（a m ）m ＝2m a ，故此选项不合题意；D 、（a m ）2＝a 2m ，故此选项符合题意．故选：D ．【点睛】此题考查的是幂的运算性质和合并同类项，掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则是解决此题的关键．8．（2020·上海宝山区·）下列计算正确的是（ ）A ．ab b a -=B ．235a a a +=C ．32a a a ÷=D ．()325a a = 【答案】C【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方的运算法则进行计算，即可解答．【详解】解：A. a 和ab 不是同类项,不能合并,故A 错误；B. a 2和a 3不是同类项,不能合并,故B 错误；C. 32a a a ÷=,故C 正确；D. ()326a a =，故D 错误；故选C ．【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方的运算法，牢记并灵活运用相关运算法则是解答本题的关键．9．（2020·上海闵行区·九年级二模）在下列各式中，与213xy 是同类项的是（ ） A ．2xyB ．2y x -C ．213xy +D ．2x y【答案】B 【分析】根据同类项的概念：所含字母相同，相同字母的指数也相同，即可得出答案． 【详解】由同类项的概念可知，与213xy 是同类项的是2y x -，故选：B ． 【点睛】本题主要考查同类项的概念，掌握同类项的概念是解题的关键．10．（2020·上海金山区·九年级二模）计算（a 3）2的结果是（ ）A ．aB ．a 5C ．a 6D ．a 9【答案】C【解析】（a 3）2=a 3×2=a 6．故选C ．二、填空题11．（2020·上海九年级二模）计算：62()a a -=________．【答案】8a【分析】先确定积的符号，再按照同底数幂的乘法法则运算即可得到答案．【详解】解：()62628a a a a a -=-•=-．故答案为：8a ． 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．12．（2020·上海大学附属学校九年级三模）计算：6x 4y 3÷2x 3y 3=_____________． 【答案】3x【分析】根据单项式除单项式的法则计算即可.【详解】解：由题意得：6x 4y 3÷2x 3y 3=3x 。