第七章 多元函数微积分学 第一部分：多元函数微分学一、二元函数的极限专题练习：1.求下列二元函数的极限: (1) ()211(,)2,2lim2;y xy x y xy +⎛⎫→- ⎪⎝⎭+ (2)()()2222(,),3limsin;x y x y x y→∞∞++ (3) ()(,)0,1sin lim;x y xyx → (4)((,)0,0limx y →2．证明：当()(,)0,0x y →时，()44344(,)x y f x y xy=+的极限不存在。

二、填空题3. 若22),(y x y y x f -=+，则=),(y x f ；4.函数22(,)ln(1)f x y x y =+-的定义域是D = ； 5. 已知2(,)x y f x y e = ，则 '(,)x f x y = ； 6. 当23(,)5f x y x y =,则 '(0,1)x f = ； 7. 若2yx e z xy +=，则=∂∂yz ；8. 设)2ln(),(xyx y x f +=，则'(1,0)y f =；9. 二元函数xyxe z =的全微分=dz ；10.arctan()Z xy =设，则dz= .三、选择题11.设函数 ln()Z xy =，则Zx∂=∂ ( ) A 1y B x yC 1xD y x12.设2sin(),Z xy = 则Zx∂=∂ ( ) A 2cos()xy xy B 2cos()xy xy - C 22cos()y xy - D 22cos()y xy13.设 3xy Z =，则Zx∂=∂ ( ) A 3xy y B 3ln 3xy C 13xy xy - D 3ln 3xy y14.已知0>∂∂xf，则（ ） A ()y x f ,关于x 为单调递增；B ()0,>y x f ；C 022>∂∂xf；D ()()1,2+=y x y x f .15函数()y x f z ,=在点()00,y x 处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ ）A 必要而非充分条件；B 充分而非必要条件；C 充分必要条件 ；D 既非充分又非必要条件.四、计算与应用题16. (1) 22e x y z +=, 求(0,1),(1,0)x y z z ''； (2) arctan yz x=, 求(1,1),(1,1)x y z z ''--；17.2(,),(,)(,)xy x y f x y e yx f x y f x y ''=+已知求和18.已知 2242(3),x y Z Z Z x y x y+∂∂=+∂∂设求和19.22e xyz x y=+，求y x z z '';。

20.设函数 2ln()Z x y =+，求 dZ21.222ln(),,ZZZ x x y xx y∂∂=+∂∂∂设求22.计算下列函数的二阶偏导数:(1) 22x z x y=+； (2) (cos sin )e xyz x y x =+；23．求复合函数的偏导数或导数:(1) 222ln ,,y z u v u v x y x ===+，求,z z x y∂∂∂∂；(2) e ,arctan uvy z u v x ===，求,z zx y∂∂∂∂；24.设 (,)Z Z x y = 由方程 2ln 0Z e x y Z ++= 确定，求 dZ25.设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+，求yz x z ∂∂+∂∂26．求下列函数的极值(1) 333z x y xy =+-； (2) 222ln 2ln z x y x y =+--； (3) ()122ex z x y =+；27．求下列函数的最值（选做题）：(1) 32242,14,11=-+--≤≤-≤≤z x x xy y x y ；(2) 22,3,0,0=+---+≤≥≥z x y x y xy x y x y ；28. （选做题）设由方程0),(=++xzy y z x F 确定),(y x z z =，F 具有一阶连续偏导数，证明：xy z yz y x z x-=∂∂+∂∂第二部分：多元函数积分学—二重积分一、填空题1、当函数),(y x f 在闭区域D 上________时，则其在D 上的二重积分必定存在2、若),(y x f 在有界闭区域D 上可积，且21D D D ⊃⊃，当0),(≥y x f 时，则⎰⎰⎰⎰21),(_____________),(D D d y x f d y x f δδ；当0),(≤y x f 时，则⎰⎰⎰⎰21),(_____________),(D D d y x f d y x f δδ3、设βα,为常数，则()()[]⎰⎰+Dd y x g y x f σβα,,=______________________4、区域D 由闭区域21,D D 构成，则()⎰⎰Dd y x f σ,=______________________5、设函数()y x f z ,=在闭区域D 上连续，σ是D 的面积， 则在D 上至少存在一点()ηξ,使得()⎰⎰Dd y x f σ,=______________________6、计算⎰⎰Dxyd σ=__________，其中 D 是由直线x y x y ===,2,1所围成的闭区域。

7、设D 是顶点分别为()()()()1,0,2,1,0,1,0,0的直边梯形，计算()⎰⎰+Dyd x σ1=_________8、改变下列二次积分的积分次序⎰⎰1010fdy dx =______________________； ⎰⎰--21222x x x fdy dx =________________；⎰⎰⎰⎰-+10313020yyfdx dy fdx dy =______________；()⎰⎰xudv v f du 0=________________；9、把下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分()⎰⎰≤++422y x dxdy y x =____________； ⎰⎰≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+xy x dxdy x y y x f 22222arctan ,=____________；⎰⎰+Dy x dxdy e22=_______________((){}x y y x y x D >≤+≤=,41,22)；10、⎰⎰--Dy x dxdy e 22=________，其中 D 是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区域。

1、4321,,,D D D D 分别为圆122≤+y x 在一、二、三、四象限的部分，则⎰⎰12D yd xσ=（ ）A⎰⎰22D yd x σ； B ⎰⎰32D yd x σ； C ⎰⎰42D yd x σ； (D)0. 2、()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥≤+=21,1,22x y x y x D ，则()⎰⎰+Dd y xσ22=（ ）A()d y y x dx x x ⎰⎰----+221122121； B()d x y x dy x x⎰⎰----+221122121； C()d y y xdx x ⎰⎰---+212122121； D()dy y x dx ⎰⎰--+1122121.3、设有平面闭区域(){}a y x a x a y x D ≤≤≤≤-=,,，(){}a y x a x y x D ≤≤≤≤=,0,1，则()⎰⎰+Ddxdy y x xy sin cos =（ ）A ⎰⎰1sin cos 2D ydxdy x ； B ⎰⎰12D xydxdy；C ()⎰⎰+1sin cos 4D dxdy y x xy ； D 0.4、二次积分⎰⎰-10x10dy )y ,x (f dx 等于( ).A.⎰⎰-10y10dx )y ,x (f dyB.⎰⎰-1010),(xdx y x f dyC.⎰⎰-xdx y x f dy 101),( D.⎰⎰1010dx )y ,x (f dy1、计算围成的平面区域为其中x y ,x y D ydxdy x 22D2==⎰⎰2、设区域(){}1,≤+=y x y x D ，计算⎰⎰+Dy x dxdy e .3、计算⎰⎰Dxydxdy ，其中D 是由抛物线x y =2及直线2-=x y 所围成的闭区域. 4、计算()⎰⎰-+Ddxdy x y x22，其中D 是由抛物线x y =，2=y 及直线x y 2=所围成的闭区域.5、计算⎰⎰+D y x dxdy e 22，其中D 是由422=+y x 所围成的闭区域.6、计算()⎰⎰+D dxdy y x22，其中D 是由21y x --=，直线1-=y ，1-=x 所围成的闭区域.7、计算下列二重积分：(1)22x y D xye d δ+⎰⎰,其中{}d y c b x a y x D ≤≤≤≤=,),( (2) 22()D xy d δ+⎰⎰,其中D 是由直线x y y ==,2，及x y 2=所围成的闭区域.8、计算下列二重积分(1) 22ln(1)Dx y d δ++⎰⎰,其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.(2)D δ,其中D 是由圆周Rx y x =+22所围成的闭区域（3）222D x y d δ+-⎰⎰,其中3:22≤+y x D9、计算二次积分1 1 0y xdy dx ⎰10、计算二重积分⎰⎰-D y x dxdy e，其中D 由0,2,1,====x y y x y 围成。