高一函数重难点突破一、 求复合函数的定义域的四种题型 1. 已知f[x]的定义域,求f(g(x))的定义域例1设函数f(x)的定义域为(0,1),求函数f(lnx)的定义域2. 已知f[g(x)]的定义域,求f(x)的定义域例2已知f(3-2x)的定义域为x € [-1,2], 求函数f(x)的定义域3. 已知f[g(x)]的定义域,求f(h(x))的定义域例3若函数f(2 x )的定义城为[-1,1], 求f(log 2X )的定义域4. 已知f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域 例4已知函数f x 定义域为是[a,b]，且a b 0 求函数h x = fx ，m 「fx -m ]〔m - 0的定义域b - m ： b m ，又 a - m ： b m要使函数h x 的定义域为非空集合，必须且只需 a • m 空b - m ，即0 ：：： m 乞b 「a2 此时函数h x的定义域为{x|a+m]l ：二：…iT (}求函数解析式的六种题型 1•待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法 例1设f(x)是一次函数，且f[f (x)] =4x ・3，求f(x)a —m^x^b —m .a+m^x^b+mm 0, a - m ：： a m2. 配凑法或换元法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f (x)的解析式。
f[g(x)]的表达式容易配成g(x)的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。
1 1例 2 ( 1)已知f(x + _)=x2+p (x>0)，求f (x)的解析式x x(2)已知f(x 1) =x 2 x，求 f (x 1)3•构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组, 通过解方程组求得函数解析式。
例3 设 f (x)满足 f (x) -2f (1Hx,求f(x)x1变式训练：设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f(x) + g(x)= -------------------- ,试求f(x)和g(x)的解析式x — 14.赋值法：例4已知：f(0)=1,对于任意实数x,y,等式f(x-y)= f(x)-y(2x-y+1)恒成立，求f(x)5. 性质法：例5已知奇函数f (x )(x € R)，当x >0时，f (x ) = x (5 — x ) + 1,求f (x )在R 上的解析式6.代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
(暂时不做要求)例5已知：函数y =x 2 • x 与y =g(x)的图象关于点(-2,3)对称，求g(x)的解析式 解：设M(x, y)为y =g(x)上任一点，且M (x ：y)为M (x, y)关于点(-2,3)的对称点•点 M (x ；y)在 y 二g(x)上2 . 卜x~~ »2，解得:"x " = -x - 4y' = 6-y 'y 二x x丄十x‘ = -x —4 八、、/口把丿代入得：y” = 6 _y26 _ y = ( _x _4) ( _x _ 4)整理得y = —x2—7x -62g (x)二_x ■ ■ 7x - 6*注*函数的定义域不要漏写三、复合函数的单调性的四种题型判断复合函数单调性步骤：(1) 求复合函数定义域；(2) 将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幕、指、对函数)；(3) 判断每个常见函数的单调性；(4) 将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；(5) 求出复合函数的单调性。
1. 外层函数与内层函数只有一种单调性的复合型：例1已知函数y=log a(2-ax)在［0,1］上是x的减函数，贝U a的取值范围是()(A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D). ［2, +-)2•外层函数只有一种单调性，而内层函数有两种单调性的复合型: 例2 (1)求函数y=log0.5(X2+4X+4)的增区间。
(2)讨论函数y=0.8 x2-4x+3的单调性。
3. 外层函数有两种单调性，而内层函数只有一种单调性的复合型:n例3在下列各区间中，函数y=sin(x+才)的单调递增区间是()n n n n(A).[ 2，n ] (B)JO , 4] (C)•[- n, 0] (D). [ 4, 2】n变式训练：求函数y=sin(-x+ 4)的增区间例4讨论函数y=(log 2X)2+log 2X的单调性。
4. 外层函数与内层函数都有两种单调性的复合型：(了解)例6( 89 •全国•理)已知函数f(x)=8+2x-x 2,如果g(x)=f(2-x 2)，那么g(x)() (A).在区间(-1 , 0)上是减函数；(B).在区间(0, 1)上是减函数；(C).在区间(-2 , 0)上是增函数；(D).在区间(0 , 2)上是增函数.变式训练：利用复合函数求参数取值范围求参数的取值范围是一类重要问题，解题关键是建立关于这个参数的不等式组，必须将已知的所有条件加以转化。
1.已知函数f(x)=…」(x 2-ax+3a)在区间[2 , )上是减函数，则实数a的取值范围是_______ 。
2.若f(x)=log a(3-ax)在[0 , 1]上是减函数，则a的取值范围是 _________________求f (x)在x I -3,3 1上的值域。
例2、f(x)对任意实数x 与y 都有f (x) - f (y) = f (x - y) - 2 ,当x>0 时,f(x)>2(1)求证:f(x)在R上是增函数； (2)若f(1)=5/2,解不等式f(2a-3) < 3【专练】：1、已知函数f(x)对任意x, y R有f(x) f(y)= 2 • f(x • y)，当x 0时，f(x) ■ 2， f (3) =5，求不等式f(a2 -2a -2) ：：：3的解集。
2、定义在R上的函数f(x)满足：对任意x, y € R都有f(x-y)二f(x) - f(y)，且当x : 0时，f(x) ：：0(1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k • 3x)+f(3 x-9 x-2) v 0对任意x € R恒成立，求实数k的取值范围.二类：对数函数型| 函数满足：|f (a[_b)= f (a) + f (b)| 或 f (a) = f (a) _ f (b)---------------------- ------------------------------------------------- | b例1、f(x)是定义在x>0 的函数，且f(xy) = f(x) + f(y); 当x>1 时有f(x)<0;f(3) = -1.(1)求f(1)和f(1/9)的值；(2)证明f(x)在x>0上是减函数；(3)解不等式f(x) + f(2-x) <2。
例2、定义在(0,=)上函数y = f(x)对任意的正数a,b均有：f(a)= f(a) - f (b)，且当x ：：： 1时,bf(x) 0, ( I )求f (1)的值；(II )判断f (x)的单调性,x【专练】：1、定义在(0,母)上的函数f(x)对任意的正实数x,y有f(—)= f(x)—f(y)且当0cx<1y1时，f (x) :: 0 . 求:(1) f(1)的值• (2)若f(6)=1,解不等式f(x 3)— f『)：：2 ；x2、函数f (x)的定义域是x = 0的一切实数，对定义域内的任意x「X2都有f(X1 X2)= f (xj f(X2)，且当x 1 时f(x) 0,又f (2) =1，( 1)求证：f (x)是偶函数；(2)2f (x)在(0, 7)上是增函数(3)解不等式f(2x -1)：：：23、设f(x)是定义在(0,：：)上的函数，对任意x,y (0,二)，满足f (xy) = f (x) f (y)且当x 1时, f (x) 0。
(〔)求证：f (?) = f (x)—f (y) ；( 2)若 f (5) =1，解不等式 f (x+1)一 f (2x) £2.例1、定义在R上的函数f(x)，满足当x时，f(x) .1,且对任意xy R,有f (x y)二f(x) f(y),又知f(1) = 2. ( 1)求f(0)的值；(2)求证：对任意R都有f(x) 0 ； ( 3)解不等式f (3x -x2) 4 ；【专练】：1、定义在R上的函数y = f (x)对任意的m,n都有f (m • n) = f(m£|f (n)，且当x 0时, 0 - f (x) =1， ( I )证明：R 都有f(x) 0 ； (II )求证：y=f(x)在R 上为减函数；(III) 解不等式f(x) • f(2x-x2)>1。
2、若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a b^ f(a) f (b)，且当x ：：： 0时，f(x) 1 ；1(1)求证：f(x) 0 ； (2)求证：f(x)为减函数(3)当f(4)= 1时，解不等式162 1f (x 一3) f (5 —X2)乞;4四类：幕函数型|函数满足：|f @也)「= f (a)」f(b)]或f (-^丄®------------------ --------------------------------------------- J f(b)|例1、已知函数f(x)满足：①对任意x,r R,都有f(xy)二f(x)L|f(y)，② f(-1) =1,f (27) =9,且当0X1 时，f(x) [0,1。
(I)判断f(x)的奇偶性，(II )判断f(x)在〔0, •上的单调性，并证明。
(III )若a —0，且f (a T) —39，求a的取值范围。
五类：其他类数函数型例1、定义在1-1,11上的奇函数y=f(x)有f(1) = 1,且当m,n - 1-1,1时，总 有：f(m) f (n)(I )证明:f(x)在〔—1,1］上为增函数，(11)解不等式:f(x 1)：：：f( 1 ),(III) 若f (x) _t 2 -2at 1对所有. -1,11,-1,1恒成立，求实数t 的取值范围.例2、定义在(-1, 1)上的函数f(x)满足，对任意x ，r (-1, 1)都有f (x^ f (y^ f (x y )， 且当(-1, 0)时，有f(x) 0，( 1)试判断f(x)的奇偶性；(2)判断f (x)的单调性;五、函数恒成立和存在性问题知识点梳理1、恒成立问题的转化类型 1： 一次函数型 f(x)=ax+b(a M 0)在［m,n ］内恒有 f(x)>0,贝U f(m)>0 且 f(n)>0 类型 2:设 f(x) = ax 2 bx c(a = 0)，(1) f(x) 0在x ，R 上恒成立二 a •0且「：0; (2) f(x) ：：0 在x • R 上恒成立二 a ：0 且二-0。