2 m2 图6.1 两连杆的机械手
6. 2. 1 动能和势能 ( The Kinetic and Potential Energy )
动能的一般表达式为
K
1 2
mv，2 质量m1的动能可直接写出
K1
1 2
m1d1212
(6.3)
势能与质量的垂直高度有关，高度用y坐标表示，于是势能可直接写出
p1m 1g1 d Co (1s )
(6.4)
对于质量m2，由图6.1，我们先写出直角坐标位置表达式，然后求微分， 以便得到速度
x 2 d 1 S(i1 )n d 2 S(i1 n2 ) y 2 d 1 C (1 o ) d 2 s C (1 o 2 s )
(6.5) (6.6)
速度的直角坐标分量为
x 2 d 1 C ( 1 ) 1 o d 2 C s ( 1 o 2 ) 1 s ( 2 ) (6.7) y 2 d 1 S ( 1 ) i 1 n d 2 S ( 1 i2 n ) 1 ( 2 ) (6.8)
速度平方的值为
V 2 2 d 1 2 1 2 d 1 2 ( 1 2 2 1 2 2 2 2 2 )
2 d 1 d 2 C (1 ) o C ( s 1 o 2 ) s 1 ( 2 1 2 )
2 d 1 d 2 S ( 1 ) i S ( n 1 i2 n ) 1 2 ( 1 2 )
d 1 2 1 2 d 1 2 ( 1 2 2 1 2 2 2 2 2 ) 2 d 1 d 2 C ( 2 ) 1 2 o ( 1 2 )
(6.9)
从而动能为
K 2 1 2 m 2 d 1 2 1 2 1 2 m 2 d 2 2 ( 1 2 2 1 2 2 2 2 2 )
( m 1 m 2 ) g 1 C d (1 ) o m 2 g s 2 C d (1 o 2 )s (6.12)
6. 2. 3 动力学方程 ( The Dynamics Equations )
为了求得动力学方程，我们现在根据式(6.2)对拉格朗日算子进行微分
L 1 ( m 1 m 2 ) d 1 2 1 2 m 2 d 2 2 1 2 m 2 d 2 2 2 2
2 m 2 d 1 d 2 S ( 2 ) i 1 2 n m 2 d 1 d 2 S ( 2 ) i 2 2 n（6.14）
L 1 ( m 1 m 2 ) g 1 S d (i1 ) n m 2 g2 S d (i1 n2 )
（6.15）
根据式(6.2)，把式(6.14)与(6.15)相减就得到关节1的力矩
为了说明问题，我们看一个具 体例子，假定有如图6.1所示的两连 杆的机械手，两个连杆的质量分别 为 m1、m2， 由 连 杆 的 端 部 质 量 代 表 ， 两 个 连 杆 的 长 度 分 别 为 d1、d2， 机 械手直接悬挂在加速度为g的重力场
中，广义坐标为θ1和θ2。
y
x
1 d1
m1 d2
第六章 动力学 Chapter Ⅵ Dynamics
6.1 引言 6.2 拉格朗日力学 6.3 机械手的动力学方程
6.1 引言 ( Introduction )
动力学是机器人控制的基础，本章主要从控制的角度来研究 机械手的动力学问题。机械手通常是一种开链式多关节机构，是一 种复杂的动力学系统，需要采用系统的分析方法来研究它的动态特 性。本章我们运用拉格朗日力学原理来分析机械手的动力学问题， 因为拉格朗日方法能以最简单的形式求得非常复杂的系统的动力学 方程。本章的主要内容如下：
L=K–P
(6.1)
系统的动能和势能可以用任何能使问题简化的坐标系统来表示， 并不一定要使用笛卡尔坐标。
动力学方程通常表述为
Fi
d L dtqi
L qi
(6.2)
其中，qi是表示动能和势能的坐标值，q i 是速度，而Fi是对应的力或 力矩，Fi是力还是力矩，这取决于qi是直线坐标还是角度坐标。这 些力、力矩和坐标分别称为广义力、广义力矩和广义坐标。
拉格朗日算子 L = K – P 可根据式(6.3)、(6.4)、(6.10)和(6.11)求得
L 1 2 ( m 1 m 2 ) d 1 2 1 2 1 2 m 2 d 2 2 ( 1 2 2 1 2 2 2 2 2 )
m 2 d 1 d 2 C (o 2 ) s 1 ( 2 1 2 )
m 2 d 1 d 2 C (2 o ) 1 ( 2 s 1 2 )
(6.10)
质量的高度由式(6.6)表示，从而势能就是
p 2 m 2 g 1 C d (1 ) o m 2 s g 2 C d (1 o 2 ) s
(6.11)
6. 2. 2 拉格朗日算子 ( The Lagrangian )
2 m 2 d 1 d 2 C (2 ) o 1 m s 2 d 1 d 2 C (2 ) o 2s （6.13）
d d L t 1 [m ( 1 m 2 ) d 1 2 m 2 d 2 2 2 m 2 d 1 d 2 C (o 2 ) 1 ] s
[m 2 d 2 2 m 2 d 1 d 2 C(o 2 ) s ] 2
运用拉格朗日力学原理分析和求取两自由度机械手的动力学方程；
介绍六自由度机械手动力学方程的求取方法和步骤；
推导出完整的动力学方程，然后根据有效性分析来简化这些方程。
6.2 拉格朗日力学 —— 一个简例 ( Lagrangian Mechanics — A Simple Example )
拉格朗日算子 L 定义为系统的动能 K 与势能 P 的差
T 1 [ m 1 ( m 2 ) d 1 2 m 2 d 2 2 2 m 2 d 1 d 2 C (2 ) o 1 d 2 C(o 2 ) s ] 2