陕西省咸阳市百灵中学2019-2020年高一上学期期中考试数学一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A. {}01，B. {}101-，，C. {}012，，D. {}1012-，，， 【答案】B【解析】 试题分析：依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-.考点：集合的运算2.集合{}1,2,3的真子集的个数为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】 试题分析：，，，，，，．真子集的个数为． 考点：集合的真子集．3.已知幂函数()f x 过点(216)，，则(3)f =（ ） A. 27B. 81C. 12D. 4【答案】B【解析】 设幂函数a f x x =（），∵f x （）过点(2,16)，∴ 2164a a ==，，∴ 43381f ==（），故选B. 4.函数1y x x =- （ ）A. {|1}x x ≤B. {|0}x x ≥C. {|10}x x x ≥≤或D.【答案】D【解析】试题分析：求函数的定义域，就是使式子有意义的几个部分的解集的交集，即为使该式有意义， 则满足10{0x x -≥≥，解得0≤x≤1，所以得定义域为．故选D ． 考点：函数定义域的求法．5.下列函数中，在R 上是增函数的是（ ） A. y x =B. y x =C. 2y xD. 1y x = 【答案】B【解析】 对于A ，y x =，当0x <时为减函数，故错误；对于C ，2y x =，当0x <时为减函数，故错误；对于D ，1y x=在()0，-∞和()0+∞，上都是减函数，故错误； 故选B 6.若函数f (x )＝1,0(2),0x x f x x +≥⎧⎨+<⎩,则f (－3)的值为( ) A. 5B. －1C. －7D. 2【答案】D【解析】试题分析：()()()311112f f f -=-==+=.考点：分段函数求值． 7.已知2132112,,log 32a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则( ) A. c<a<b B. b < a<c C. c<b<a D. b <c<a【答案】C【解析】 由题知132a =>02=1,211 39b ⎛⎫== ⎪⎝⎭,21 log 1,2c ==-则c<b<a,故选C. 8.函数1()(0)f x x x x =+≠是（ ） A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 既是奇函数又是偶函数 【答案】A【解析】因为1()(0)f x x x x =+≠的定义域关于原点对称，且1()()f x x f x x-=-+=--，所以函数1()(0)f x x x x=+≠是奇函数 故选A 9.如图，若一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过二、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象可能是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】因为一次函数y ax b =+的图象经过二、三、四象限，所以0,0a b <<，所以二次函数2y ax bx =+的图象开口向下，且对称轴02b x a=-<；故选C. 10.函数212()log (62)f x x x =+-的单调递增区间是（ ） A. 1[,)4+∞ B. 1[,2)4 C. 31(,]24- D. 1(,]4-∞ 【答案】B【解析】【分析】由已知中函数()f x 的解析式，先确定函数的定义域，进而根据二次函数和对数函数的性质，分别判断内，外函数的单调性，进而根据复合函数“同增异减”的原则，得到答案．详解】由2620x x +->，可得322x -<<，函数212()log (62)f x x x =+-的定义域为3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭， 令262x t x +-=，则12log y t =， ∵12log y t =为减函数， 262x t x +-=的单调递增区间是31,24⎛⎤- ⎥⎝⎦，单调递减区间是1,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 故函数212()log (62)f x x x =+-的单调递增区间是1,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 故选：B ．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，对数函数的单调区间，复合函数的单调性，其中复合函数单调性“同增异减”的原则，是解答本题的关键，解答时易忽略函数的定义域．11.如图是指数函数①xy a =、②x y b =、③x y c =、④x y d =的图像，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是（ ） A. c ＜d ＜1＜a ＜bB. d ＜c ＜1＜b ＜aC. c ＜d ＜1＜b ＜aD. 1＜c ＜d ＜a ＜b【答案】B【解析】【分析】 由指数函数的单调性分析得到a ，b 大于1，c ，d 大于0小于1，再通过取1x =得到具体的大小关系．【详解】∵当底数大于1时指数函数是定义域内的增函数，当底数大于0小于1时是定义域内的减函数，可知a ，b 大于1，c ，d 大于0小于1．又由图可知11a b >，即a b >，11d c <，即d c <．∴a ，b ，c ，d 与1的大小关系是1d c b a <<<<．故选：B ．【点睛】本题主要考查了指数函数的图象和性质，考查了指数函数的单调性，训练了特值思想方法，属于中档题．12.函数()335f x x x =--+的零点所在区间为（ ） A. （1,2）B. （0,1）C. (-1,0)D. （-2，-1）【答案】A【解析】【分析】 由题意知，函数()f x 是单调函数，根据()10f >，()20f <知，函数()f x 的零点必在区间()1,2上．【详解】∵函数()335f x x x =--+是单调递减函数， 又∵()31131510f =--⨯+=>，()32232590f =--⨯+=-<， ∴()()120f f ⋅<，故函数()335f x x x =--+的零点所在区间为()1,2， 故选：A ．【点睛】本题考查函数的零点存在的条件：单调的连续函数若在一个区间的端点的函数值异号，则函数在此区间上一定存在零点，属于中档题.二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数()2531m y m m x--=--为幂函数，则实数m 的值为___________ 【答案】1-或2【解析】【分析】根据幂函数的定义，列出方程211m m --=，求出m 的值．【详解】∵函数()2531m y m m x --=--为幂函数，∴211m m --=，即220m m --=，解得1m =-，或2m =，故答案为：1-或2．【点睛】本题主要考查了幂函数的定义，系数为“1”是解题的关键，属于基础题．14.把对数式5log 27x =改写指数式_____． 【答案】527x =【解析】【分析】利用指数式与对数式的互化公式直接求解．【详解】对数式5log 27x =改写为指数式为：527x =，故答案为：527x =． 【点睛】本题考查指数式与对数式的互化，是基础题，解题时要认真审题，注意指数式、对数式互化公式的合理运用，属于基础题.15.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x >0时，f (x )＝2x －3，则f (－2)＝___. 【答案】1【解析】【分析】利用函数的奇偶性可得f(-2)=f(2),代入解析式即可求解. 【详解】f (x )是定义在R 上的偶函数,则f(-2)=f(2),且当x >0时，f (x )＝2x －3，则f(2)=1,故f(-2)=f(2)=1.故答案为：1 【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，属于简单题.16.函数()[]22,1,3f x x x x =-∈-的值域是__________ 【答案】[]1,3-【解析】【分析】由于()()22211f x x x x =---=，[]13,x ∈-，再利用二次函数的性质求得函数的最值，从而求得函数的值域．【详解】()()22211f x x x x =---=，[]13,x ∈-，故当1x =时，函数取得最小值为1-，当1x =-或3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[]1,3-，故答案为：[]1,3-．【点睛】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，属于基础题．三、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知1|242x A x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =->，求A B 和A B ； 【答案】{}12A B x x ⋂=<<，{}1A B x x ⋃=>-【解析】【分析】 解不等式1 242x <<，可求得A ，同理可求得B ，利用集合的交、并的运算性质即可求得答案． 【详解】∵1 242x <<，∴12x -<<， ∴{}12A x x =-<<， 又{}{}101B x x x x =->=>， ∴{}12A B x x ⋂=<<，{}1A B x x ⋃=>-．【点睛】本题主要考查指数函数的单调性与集合的交、并集运算，解出不等式是解题的关键，属于中档题．18.求下列函数的定义域（1）21y x =+（2）13log (43)y x =-【答案】（1）12x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭；（2）314x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）根据偶次根式下不小于0，列出不等式解出即可；（2）根据偶次根式下不小于0，对数的真数大于0列出不等式组，解出即可.【详解】（1）要使函数21y x =+210x +≥， 解得21x ≥-，即函数21y x =+12x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭. （2）要使函数13log (43)y x =- 需满足()13430log 430x x ->⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得314x <≤， 即函数13log (43)y x =-314x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭【点睛】本题主要考查函数的定义域的求法，考查指数函数的单调性和对数的真数大于0，属于基础题．19.求下列各式的值（1）235log 25log 4log 9⋅⋅（2）22lg 52lg 2lg 2+-【答案】（1）8；（2）1【解析】【分析】（1）由已知条件利用对数的性质、运算法则求解；（2）由已知条件利用对数的性质、运算法则、平方差公式求解．【详解】（1）原式lg92lg52lg 22lg38lg5l lg 25lg 4lg 2lg g 2lg3lg53⋅==⋅⋅=⋅. （2）原式()()lg5lg2lg5lg22lg2lg5lg21=+-+=+=.【点睛】本题考查对数式的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质和运算法则的合理运用，属于中档题.20.设()3xf x =，求证： （1）()()()f x f y f x y ⋅=+；（2）()()()f x f y f x y ÷=-.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用指数的运算性质可直接得结果；（2）直接利用指数的运算性质可得结果.【详解】（1）∵()3xf x =， ∴左边333x y x y +=⋅=，右边3x y +=，即左边=右边，所以原式得证.（2）∵()3xf x = ∴左边333xx y y -==，右边3x y -=，即左边=右边， 所以原式得证.【点睛】本题主要考查了指数的运算性质，熟练掌握运算性质是解题的关键，属于基础题.21.已知函数21()1x f x x -=+ （1）试判断函数在（-1，+∞）上的单调性，并给予证明； （2）试判断函数在[3,5]x ∈的最大值和最小值【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）最大值32，最小值54 【解析】【分析】 （1）判定函数的单调性并用定义证明出来；（2）由函数()f x 的单调性求出()f x 在[3]5，上的最值． 【详解】（1）∵()213211x y f x x x -===-++， ∴函数()f x 在()1，-+∞上是增函数， 证明：任取1x ，()21x ∈-+∞，，且12x x <， 则()()1212213333221111f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=---=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ ()()()1212311x x x x -=++，∵121x x -<<，∴120x x -<，()()12110x x ++>，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，∴()f x 在()1，-+∞上是增函数.（2）∵()f x 在()1，-+∞上是增函数， ∴()f x 在[3]5，上单调递增， 它的最大值是()25135512f ⨯-==+， 最小值是()23153314f ⨯-==+． 【点睛】本题主要考查了判定函数的单调性并用定义证明、利用单调性求函数的最值问题，属于基础题．22.已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)a g x x =-，其中,设()()()h x f x g x =-．(1)判断()h x 的奇偶性，并说明理由；(2)若(3)2f =，求使()0h x >成立的x 的集合【答案】(1)奇函数；(2){x|0<x<1}【解析】【详解】(1)依题意得1＋x >0，1－x >0，∴函数h (x )的定义域为(－1,1)．∵对任意的x ∈(－1,1)，－x ∈(－1,1)，h (－x )＝f(－x )－g(－x )＝log a (1－x )－log a (1＋x )＝g(x )－f (x )＝－h (x )，∴h (x )是奇函数．(2)由f (3)＝2，得a ＝2.此时h (x )＝log 2(1＋x )－log 2(1－x )，由h (x )>0即log 2(1＋x )－log 2(1－x )>0，∴log 2(1＋x )>log 2(1－x )．由1＋x >1－x >0，解得0<x <1.故使h (x )>0成立的x 的集合是{x |0<x <1}．。