➢ 由克拉索夫斯基定理可知,系统的平衡态xe=0是渐近稳定 的条件是J(x)+J(x)为负定矩阵函数。
✓ 由负定矩阵的性质知,此时雅可比矩阵J(x)的对角线 元素恒取负值,因此向量函数f(x)的第i个分量必须包 含变量xi,否则,就不能应用克拉索夫斯基定理判别该 系统的渐近稳定性。
➢ 将克拉索夫斯基定理推广到线性定常连续系统可知:对称 矩阵A+A负定,则系统的原点是大范围渐近稳定的。
克拉索夫斯基法(6/7)
例4-12 试确定如下非线性系统的平衡态的稳定性:
xf(x)x13x1x2x2x23
解 由于f(x)连续可导且
f ( x ) f ( x ) ( 3 x 1 x 2 ) 2 ( x 1 x 2 x 2 3 ) 2 0
可取作李雅普诺夫函数,因此,有
J(x) fx(x)13
f (x) x
x&
f (x)
f
(
x)
f (x) x
x&
f (x)J (x) f (x) f (x)J(x) f (x)
f (x)Jˆ(x) f (x)
➢ 由于V (x) f (x) f (x)为系统的一个李雅普诺夫函数,即
f (x) f (x)正定。
➢ 因此,若 Jˆ(x)负定,则 V(x,t) f (x)Jˆ(x) f (x)必为负定。
✓ 针对特殊非线性系统进行线性近似处理的阿依捷尔 曼法(也叫线性近似法)、鲁立叶法等。
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(4/4)
由于非线性系统的Lyapunov稳定性具有局部的性质,因此在 寻找Lyapunov函数时,须通过将系统的坐标轴平移,将系统的 所讨论的平衡态移至原点。 ➢ 在讨论稳定性时,通常还要确定该局部渐近稳定的平衡 态的范围。
设所找到的非线性系统的判定平衡态xe=0是渐近稳定的李雅 普诺夫函数为V(x),它是x的显函数,而不是时间t的显函数,则 V(x)的单值梯度gradV存在。
✓ 而只能针对具体的非线性系统进行具体分析。
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(3/4)
对非线性系统的稳定性分析问题,目前切实可行的途径为: ➢ 针对各类非线性系统的特性,分门别类地构造适宜的 Lyapunov函数。如,
✓ 通过特殊函数来构造李雅普诺夫函数的克拉索夫斯 基法(也叫雅克比矩阵法)
✓ 针对特殊函数的变量梯度构造Lyapunov函数的变量 梯度法(也叫舒尔茨-吉布生法)
1 14
不是负定矩阵,故由克拉索夫斯基定理判别不出该系统 为渐近稳定的。
✓ 可见,该定理仅是一个充➢ 若V(x)=f(x)f(x)正定,为Lyapunov函数,则说明只有当x=0 时,才有V(x)=0,即原点是唯一的平衡态。
✓ 因此,只有原点是系统的唯一平衡态,才能用克拉索夫 斯基定理判别渐近稳定性,并且由该定理判别出的渐 近稳定的平衡态一定是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫稳定性 分析
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(1/4)
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
在线性系统中,如果平衡态是渐近稳定的,则系统的平衡态是 唯一的,且系统在状态空间中是大范围渐近稳定的。 ➢ 对非线性系统则不然。 ✓ 非线性系统可能存在多个局部渐近稳定的平衡态(吸 引子),同时还存在不稳定的平衡态(孤立子),稳定性的 情况远比线性系统来得复杂。 ✓ 与线性系统稳定性分析相比,由于非线性系统的多样 性和复杂性,所以非线性系统稳定性分析也要复杂得 多。
1 13x2 2
J ˆ(x)J(x)J(x) 2 6
2 26x2 2
克拉索夫斯基法(7/7)
➢ 由塞尔维斯特准则有
1 6 0 , 2 2 6 2 2 6 x 2 2 3 6 x 2 2 8 0
➢ 故矩阵函数 Jˆ(x) 负定,所以由克拉索夫斯基定理可知,平衡 态xe=0是渐近稳定的。
变量梯度法 (1/10)
J(x)f(x)/x
➢ 对上述非线性系统,有如下判别渐近稳定性的克拉索夫斯 基定理。
x(t)f(x)
克拉索夫斯基法(2/7)
定理5-11 非线性定常连续系统的平衡态xe=0为渐近稳定的充 分条件为
Jˆ(x)J(x)J(x)
为负定的矩阵函数,且
V(x)x & x & f(x)f(x)
为该系统的一个李雅普诺夫函数。
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(2/4)
本节主要研究Lyapunov方法在非线性系统中的应用。 ➢ 由于非线性系统千差万别,没有统一的描述,目前也不存在 统一的动力学分析方法,因此对其进行稳定性分析是困难 的。
➢ 对于非线性系统,李雅普诺夫第二法虽然可应用于非线性 系统的稳定性判定,但其只是一个充分条件,并没有给出建 立李雅普诺夫函数的一般方法。
下面分别讨论如下3种非线性系统稳定性分析方法。 ➢ 克拉索夫斯基法 ➢ 变量梯度法 ➢ 阿依捷尔曼法
5.4.1 克拉索夫斯基法
克拉索夫斯基法(1/7)
设非线性定常连续系统的状态方程为
x(t)f(x)
➢ 对该系统有如下假设:
1) 所讨论的平衡态xe=0; 2) f(x)对状态变量x是连续可微的,即存在雅可比矩阵
➢ 所以,由定理5-4知,该非线性系统的平衡态xe=0是渐近稳
定的。
克拉索夫斯基法(4/7)
在应用克拉索夫斯基定理时,还应注意下面几点。
➢ 克拉索夫斯基定理只是渐近稳定的一个充分条件,不是必 要条件。
✓ 如对于渐近稳定的线性定常连续系统
✓ 由于
x&1 x&2
0 2
1 x1
7x2
Jˆ(x)J(x)J(x)01
➢ 更进一步,当||x||→∞时,有||f(x)||→∞,则该平衡态是大范围 渐近稳定的。
证明 当非线性系统的李雅普诺夫函数为
V(x)x & x & f(x)f(x)
则其导数为
x(t)f(x) V(x)x & x & f(x)f(x) 克拉索夫斯基法(3/7)
V&(x) [ f (x) f (x)]
5.4.2 变量梯度法
舒尔茨和吉布生在1962年提出的变量梯度法,为构造李雅普诺 夫函数提供了一种比较实用的方法。 ➢ 该方法的思想是设法构造出Lyapunov函数的梯度来分析 Lyapunov函数的定号性。
设非线性定常连续系统的状态方程为
x(t)f(x)
且所讨论的平衡态为原点,即xe=0。
变量梯度法 (2/10)