解：设小球滑到B点时相对地的速度为v，槽相对地的速度为 V．小球从A→B过程中球、槽组成的系统水平方向动量守恒，
E
E
A m ,q M
C
mv＋MV＝0
对该系统，由动能定理 ①、②两式联立解出
①
②
B
mgR－EqR＝(mv2＋MV2)/2
v
2 MR mg qE m M m

方向水平向右
Q
E E xi E y j
Q 0R
2 2
j
2.（1010） 带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度为λ=λ0sinφ，式中λ0为一常数，φ为半 y 径R与x轴所成的夹角，如图所示．试求环心O处的电场强度． 解：在φ处取电荷元，其电荷为: dq =λdl = λ0Rsinφ dφ 它在O点产生的场强为 在x、y轴上的二个分量
q 0
d
d

l
dx
O x d+ x x l
整个杆上电荷在该点的场强为：
q0
E

4 0
d
0
l
d x x
2

l
4 0 d d l
点电荷q0所受的电场力为：
F
4 0 d d l
q0l
＝0.90 N
沿x轴负向
10.（1245）如图所示，有一高为h 的直角形光滑斜面, 斜面倾角为a．在直角顶点A处有 一电荷为－q 的点电荷．另有一质量为m、电荷＋q 的小球在斜面的顶点B 由静止下 滑．设小球可看作质点，试求小球到达斜面底部C点时的速率．
0
8 0 R
0
所以
E E xi E y j
0
8 0 R
j
3.（1059） 图中虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分布为:Ex＝bx, Ey＝0, Ez＝0． 高斯面边长a＝0.1 m，常量b＝1000 N/(C· m)．试求该闭合面中包含的净电荷．(真空介电 常数ε0＝8.85×10-12 C2· -1· -2 ) N m y 解：设闭合面内包含净电荷为Q．因场强只有x分量不 为零，故只是二个垂直于x轴的平面上电场强度通量不 为零．由高斯定理得： -E1S1+ E2S2=Q / ε0 ( S1 = S2 =S ) 则 Q = ε0S(E2- E1) = ε0Sb(x2- x1) = ε0ba2(2a－a) =ε0ba3 = 8.85×10-12 C
S
S +q
E
-q
高斯面上各点 为_________________处的场强．
4.（1194） 把一个均匀带有电荷+Q的球形肥皂泡由半径r1吹胀到r2，则半径为R(r1＜R＜r2)的 0 Q/(4πε0R2) 球面上任一点的场强大小E由______________变为______________；电势U由 Q/(4πε0R) Q/(4πε0r2) __________________________变为________________(选无穷远处为电势零 点)．
O +Q
(1 ,0 ) P x
2.（1034） 有两个电荷都是＋q 的点电荷，相距为2a．今以左边的点电荷所在处为球心，以a 为半径作一球形高斯面 ． 在球面上取两块相等的小面积S1和S2，其位置如图所 示． 设通过S1和S2的电场强度通量分别为φ1和φ2，通过整个球面的电场强度通量 为φS，则 S2 S1 q (A) φ1＞φ2φS＝q /ε0． q (B) φ1＜φ2，φS＝2q /ε0． 2a O (C) φ1＝φ2，φS＝q /ε0． D (D) φ1＜φ2，φS＝q /ε0． ［ ］
x
5.(1179)如图所示，两个点电荷＋q 和－3q，相距为d. 试求： (1) 在它们的连线上电场强度的点与电荷为＋q 的点电荷相距多远？ (2) 若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势U=0的点与电荷为＋q的点电荷相距多远？ 解：设点电荷q所在处为坐标原点O，x轴沿两点电荷的连线 (1) 设的点的坐标为，则
B、C 间电势差
-2
U
BC


Rc Rb
E2 d r
2
2 0
-1

Rc Rb
dr r

因UBA＝UBC ,得到
1 2

ln R c / R b
ln R b
/ Ra
2 0
ln
9.(1072) 在真空中一长为l＝10 cm的细杆上均匀分布着电荷，其电荷线密度λ＝ 1.0×10-5 C/m．在 杆的延长线上，距杆的一端距离d＝10 cm的一点上，有一点电荷q0＝ 2.0×10-5 C，如图 所示．试求该点电荷所受的电场力．(真空介电常量ε0＝8.85×10-12 C2· -1· -2 ) N m 解：选杆的左端为坐标原点，x轴沿杆的方向 ．在x处取 一电荷元λdx，它在点电荷所在处产生场强为： dx dE 2 4 0 d x
A
B
E 0 /3 E0
E 0 /3
2.（1050） 两根相互平行的“无限长”均匀带正电直线1、2，相距为d， 其电荷线密度分别为λ1和λ2如图所示，则场强等于零的点
1 1 2 与直线1的距离a为_____________ ．
d
1
2
a d 1 2
E
3.（1498） 如图，点电荷q 和－q被包围在高斯面S内，则通过该高 0 斯面的电场强度通量 E d S ＝_____________，式中
-a
O
+a
x
U

0 x
E d x
a x
0d x

0 a
d x / 0 a / 0
在－a≤x≤a区间
U

0 x
Edx

0 x

0
dx
0
x 0
U
在a≤x＜∞区间
U

0 x
Edx

a x
0d x


a
0
dx
a 0
-a
O +a
Rb Rc Ra A B C
E1=λ1 / 2πε0r，方向由B指向A
B、C间场强分布为 B、A 间电势差 E2=λ2 / 2πε0r，方向由B指向C
U
BA


Ra Rb
E1 d r
1
2 0

Ra Rb
dr r

1
2 0
2
ln
Rb Ra
Rc Rb
C B A
E2 E1 +2 +1

(2) 设坐标x处U＝0，则 得
U
4 0 x

d 4x 0 x(d x)
d- 4x = 0, x = d/4
6.(0250)在强度的大小为E，方向竖直向上的匀强电场中，有一半径为R的半球形 光滑绝缘槽放在光滑水平面上(如图所示)．槽的质量为M，一质量为m带有电荷＋q 的小球从槽的顶点A处由静止释放．如果忽略空气阻力且质点受到的重力大于其所 受电场力，求： (1) 小球由顶点A滑至半球最低点Ｂ时相对地面的速度； (2) 小球 通过B点时，槽相对地面的速度； (3) 小球通过B点后，能不能再上升到右端最高 点C？
a
O
x
a
z
a 4.(1025) 电荷面密度分别为+δ和－δ的两块“无限大”均匀带电平行平面，分别与x x 轴垂直相交于x1＝a，x2＝－a 两点．设坐标原点O处电势为零，试求空间 - 的电势分布表示式并画出其曲线．
a
+
解：由高斯定理可得场强分布为： E =-δ/ ε0 (－a＜x＜a) E=0 (－∞＜x＜－a ，a＜x＜＋∞) 由此可求电势分布：在－∞＜x≤－a区间
V
mv M

2 mR mg qE M M m

方向水平向左
小球通过B点后，可以到达C点
7.(1081)一均匀电场，场强大小为E＝5×104 N/C，方向竖直朝上，把一电荷 为q＝ 2.5×10-8 C的点电荷，置于此电场中的a点，如图所示．求此点电荷在 下列过程中电场力作的功． (1) 沿半圆路径Ⅰ移到右方同高度的b点， ab ＝45 cm； (2) 沿直线路径Ⅱ向下移到c点， ac ＝80 cm； (3) 沿曲线路径Ⅲ朝右斜上方向移到d点， ad ＝260 cm(与水平方向成45° 角)．
b o 解：(1) A1 F d S qE ab cos 90 0
a
d
Ⅲ
(2) A 2 (3) A 3


c
a
F d S qE ac cos 180
45° b
a
o
＝－1×10-3 J 2.3×10-3 J
Ⅱ
Ⅰ
c
d
a
o F d S qE ad sin 45 ＝
R O
Ex
Q 2π 0R
2 2
/ 2 sin d 0
sin d 0 /2

所以
/ 2 Q Ey cos d cos d 2 2 2 2 2 0 R 0 0R /2
8.(1276) 如图所示，三个“无限长”的同轴导体圆柱面A、B和C，半径分别为Ra、Rb、 Rc．圆柱面B上带电荷，A和C都接地．求Ｂ的内表面上电荷线密度λ1和外表面上电荷 线密度λ2之比值λ1/ λ2． 解：设B上带正电荷，内表面上电荷线密度为λ1，外表面上 电荷线密度为λ2，而A、C上相应地感应等量负电荷，如图所 示．则A、B间场强分布为