笛卡儿坐标系中拉普拉斯方程及其解
2

2 x2

2 y 2

2 z 2

0
（5）
(x, y, z) eikx ex iky ey ikz z ; 球坐标系中拉普拉斯方程及其解
(k 2

kx2

k
2 y

kz2 )
（6）
2

1 r2
r
(r 2
r
B i E
（5）
-8-
电动力学复习提要——丁留贯
2
B

k
2
B

0
B 0
E i B
解
EB ((xx
t) t)

BE00eeii((kkxxtt))
波矢、电场强度和磁感应强度间的关系
姆霍兹方程解出有关波模；或者反过来，根据给定的波模，提供能够保证这种波
模传播的介质和边界条件。此外，电磁波在介质界面上的反射和折射行为等。
学习目的：掌握单色平面电磁波的微分方程及其性质;理解平面电磁波在有导体
存在空间中传播的特殊性质；能够分析谐振腔和波导中的电磁波特性。
重点：单色平面电磁波的波动方程及其性质；谐振腔和波导中电磁波及其性质。
k

E 0


B 0
菲涅耳公式
E 0 E0
sin( sin(
) )
E0 E0

2 cos sin sin( )
波导中电磁波 矩形波导中电磁波 波动方程
E0|| E0||

tg( tg(
) )
E0|| E0||
S

f
（3）
唯一性定理：
介质中
设区域 V 内给定自由电荷分布 (x) , 在 V 的边界 S 上给定：（i）电势或 S （ii）
电势的法向导数 ，则 V 内的电场唯一地被确定。 n S
导体存在的情况 A类问题：已知区域V中电荷分布 (x) ，及所有体的形状和排列；每个导体的电
)

1 r2 sin

(sin
)
r2
1 sin2
2 2

0
（7）
轴对称系统
(r, ,)

n,m
( Anmr n

Bnm r n1
)Pnm (cos
) cos(m)

n,m
(Cnmr n

Dnm r n1
)Pnm (cos
) sin(m)
Hn
S


m n
；c)
S
磁场强度的切向分量 H t
。
S
磁偶极矩标势
(1) m

m R 4 R3
（15）
-7-
电动力学复习提要——丁留贯
第四章
电磁波的传播
当电荷电流分布随时间变化时，所激发出来的电场和磁场，亦随时间而变动。
在激发区之外，变动着的电场和磁场相互激发，形成在空间中传播的电磁波。波
(2 ) 1，并且只有 2 偶数 才能用镜像法求解，其中 α 为两导体平面间夹
角。 电多极矩法 应用条件：原点大小 r 远小于场点到原点的距离 r 。 零级电势
Q V (r)dV
（11）
一级电势
(0)

Q 4 0 R
P V (r)rdV

2 cos sin sin( ) cos( )

2 2
E B

k k
2 2
E B

0 0
边界条件 电磁波
nˆ nˆ

((EH22
EH1
)
1
0 )
E E
x y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

( Asin k x x B cos k x x)(C sin k y y ( Asin k x x Bcos k x x)(Csin k y y
主要内容
磁矢势
稳恒电流和电场之间关系
j c E
（1）
定义
B A
（2）
矢势和磁感应强度之间关系
B ds ( A) ds A dl
（3）
物理意义
沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。
微分方程
2 (
如何求解空间中的磁场和电流分布，以及电流系统在外场中的能量，它受到的作
用力和作用力矩等。
学习目的：掌握磁矢势和磁标势概念以及他们相关微分方程;理解矢势和标势的
边值关系；了解静磁能的表达式以及电流系统和外磁场间的相互作用。
重点：磁矢势和磁标势的概念、微分方程、边值关系。
难点：磁矢势和磁标势的表达式、边值关系。
f
（11） （12） （13）
-2-
能量密度： 能流密度：
电动力学复习提要——丁留贯

D E B H j E
0 0EHP0
M
（14）
w 1 (E D H B) 2 S E H
（15） （16）
D cos k y y)ei(kz zt) D cos k y y)ei(kzzt)
Ez ( Asin k x x B cos k x x)(Csin k y y D cos k y y)ei(kzzt)
截止频率
c.mn


m a
-3-
电动力学复习提要——丁留贯
第二章 静电场
本章讨论的问题是：以唯一性定理为依托，在给定的自由电荷分布以及周围 空间介质和导体分布的情况下，求解电场。静电场：①电荷静止，即： v 0 ；
②电场不随时间变化，即:
E t

0 。主要方法有①分离变量法;②镜像法。
学习目的：掌握电标势概念及其微分方程（泊松方程）；理解掌握唯一性定理、
分离变量法、镜像法。
重点：电标势概念及其微分方程，唯一性定理、分离变量法、镜像法。
难点：电多极矩法。
主要内容
电标势概念及其微分方程：
概念
E
（1）
微分方程
边界关系
2 f f p

0
（2）
2 S 1 S
2
2 n
S
1
1 n

S
B

ds
L H dl

S S
D B
ds ds

If Qf 0

d dt

S
D

ds
nˆ nˆ nˆ nˆ
((((BDHE2222BDEH111))1))00f
矢量 K 的方向表征了电磁波的传播方向。波的传播方向和场量 E 和 B 的偏振特
性（偏振方向及其振幅特性）则表明了电磁波的传播模式（波模，或称波型）。
主要讨论了定态波，定态波是仅含单一频率成分的电磁波，主要内容是亥姆霍兹
方程的推得和求解。
有关电磁波传播的主要问题，是如何根据给定的介质特性和边界条件，从亥
（2）
麦克斯韦方程组
E iH iB

H i E 0 H 0
E
（3）
亥姆霍兹方程
k 2 E k 2 E 0 2 H k 2 H 0
（4）

2
E

k
2 E

0
E 0
难点：谐振腔和波导中电磁波及其性质。
主要内容
平面电磁波
波动方程

2
E

2
B

1 C2
1 C2
2 E 2tB2 t 2
0 0
（1）
时谐平面电磁波（单色电磁波）
EB((xx

t) t)

E ( x )e it B ( x )e it
A j A 0)
特解
A ( x )

4

V
j (x) r
d
边值关系 或
nˆ nˆ
( ( 1
2
A2 A2

A1 ) 1 1

0
A1
)


f
A2 S A1 S
能量 多极矩
W

1 2
(1)

1 4 0
P
|
R1
|

P R 4 0 R3
（12） (12) (13)
-5-
第三章
静磁场
稳恒电流激发静磁场。在稳恒流动情况下，导电介质内及其周围空间中，也
存在静电场，但是，静电场与静磁场之间并无直接联系。本章与静电问题类似，
静磁问题中最基本的问题是：在给定电流分布（或给定外场）和介质分布情况下，
库仑定律： 安培定律： 毕奥——萨伐尔定律：

S
j

ds


d dt

V
d

j
t

0
F

1 4 0
V1 V2
1 2 r3
rd1d 2
F21

0 4
I 2dl2 (I1dl1 r21 )
12
r231
B(x) 0
-1-
介质中
边界关系 介质中电磁性质方程：
电动力学复习提要——丁留贯

BEE00Bt


B