（5）ar
r (b
ar
),
（4）(kˆ iˆ) ˆj
2、证明
ar
r (b
cr
)
r b
(cr
ar )
cr
(ar
r b
)
0
13
【计算】
混合积
a
(b
c)
b
(c
a)
c
(a
b)
（1）
rr A B
rr A B
=
（
Ar +Br）
Ar-
（
Ar +Br）
r B
=
r A
rr A+B
Ar-
r A
uv B
ddtuAvguBv
(6)
dt d（uAv
uv B)
dt
uv A
d
uv B
dt d
uv A
uv B
dt
dt dt
uv uv (7)若A A(u),而u u(t),则有 d A d A du
dt du dt
12
1、计算
补充练习题
（1 ）
r A
Br
r A
r B
（2）ar
(ar
r b
)
（3）( ˆj iˆ) kˆ,
a1( b1c1 c2b2 b3c3 ) b1( c1a1 c2a2 c3a3 )
a1( c • b ) b1( c • a )
7
所以
r rr r rr
f cd d ab
f1 c2d3 c3d2
a1(
c•
b)
b1(
c•
a)
同理
f2 a2 (c • b ) b2 (c • a )
（2）基矢的标积 （3）偏导数
eˆi eˆ j ij
xi x j
ij
9
小结
矢量代数中的两个重要公式
混合积
a
(b
c)
b
(c
a)
c
(a
b)
双重矢量积
a
(b
c)
(a
c)b
(a b)c
符号
ij
1 0
i=j i j
10
3、矢量微分
uv A( t
)
Ax (
t
)iˆ
Ay (
[abc]
(a
b)
c
ax bx
ay by
az bz
cx cy cz
混合积的坐标表达式
4
关于混合积的说明：
（1）向量混合积的几何意义：
[abc向]量(a的混b)合 c积是这样
a
b
c
的 表示 一以 个向 数量 ，它 a、的b绝、对c值 为
a
b
棱的平行六面体的体积.
(2)
[abc]
(a
b)
c
(b
(ar
r b
)ar
a
(b
c)
(a
c)b
(a
b)c
14
【证明】
ar
r (b
cr
)
r b
(cr
ar )
cr
(ar
r b
)
0
双重矢量积
a
(b
c)
(a
c)b
(a
b)c
Q
(ar
cr
r )b
(ar
r b
)cr
r (b
ar )cr
r (b
cr )ar
(cr
r b
)ar
(cr
ar
r )b
Br-
r B
r B
2
rr B A
（2）ar
(ar
r b
)
r =b
(ar
ar
)
0
（3）( ˆj iˆ) kˆ = (iˆ ˆj) kˆ = kˆ kˆ 1
（4）(kˆ iˆ) ˆj = ˆj ˆj 1
（5）ar
r (b
ar ),
双重矢量积
(ar
ar
r )b
(ar
r b
)ar
r a2b
c)
a
(c
a)
b.
混合积 a (b c) b (c a) （3）三向量a、b 、c 共面
[cab(ca]b)0.
5
三矢量的矢量积
c(
a
b)
c (ab ) c d (d ab )
d
a
d b
令f
c
d
且f必
在a,b构
成
的
平
面
内
则f d
所
以f (
c
d )可
ar
r (b
cr
)
r b
(cr
ar )
cr
(ar
r b
)
0
15
4、场论基础（梯度、矢量场的散度和旋度）
场的概念 ( The Concept of Field )
2
一、矢量代数和场论基础 1、矢量代数 2、 符号 3、矢量微分 4、场论基础（梯度、矢量场的散度和旋度）
5、积分变换公式
3
1、矢量代数
矢量的混合积
定义称为这设三已个知向三量个的向混量合a积 、，b记、为c[，ab数c量].(a
b)
c
设
cacaxxiicay
yj azk, j czk,
b bxi by j bzk,
t
) ˆj
Az (
t
)kˆ
r
dA( t ) dAx ( t ) iˆ dAy ( t ) ˆj dAz ( t ) kˆ
dt
dt
dt
dt
d
r (A
r B)
r A
r dB
r dA
r B
dt
dt dt
r d(A
r B)
r A
r dB
r dA
r B
dt
dt dt
导矢在几何上为一 切向矢量。
导矢在该处的切线 上，其方向指向 t 增 大的方向。
注意顺序 不能颠倒
11
➢矢性函数的导数公式
(1)
d
uv C
0,
(Cuv为常矢量)
dt
(2)
d（uAv
uv B)
d
uv A
d
uv B
dt
dt dt
(3)
d（kuAv)
k
d
uv A, (k为常量)
dt
dt
(4)
d（u
uv A)
du
uv A
u
uv dA
(5)
dt d（uAvguBv)
dt uAvgd
可 见c点 乘 远 的 是 正 的; c点 乘 近 的 是 负 的;
8
2、 符号
克罗内克符号的定义
ij
1 0
i = j 式中i , j 为所有正整数。
i j
（1）符号的挑选性
j
Aj ij A0 i0 A1 i1 L Ai ii L Ai
j0
—— 符号挑选出和式中作和变量j = i 的那一项。
以用
的a,b线
性组
合
表示
f ?
6
i j k f c d c1 c2 c3
d1 d2 d3
i j k d a b a1 a2 a3
b1 b2 b3
f1 c2d3 c3d2
c2( a1b2 a2b1 ) c3( a3b1 a1b3 ) a1(c2b2 b3c3 ) b1(c2a2 c3a3 ) (a1b1c1 a1b1c1 Preliminary Knowledge in mathematics
第一讲 绪论 第二讲 数学准备知识 第三讲 习题课
1
第二讲 数学准备知识
Preliminary Knowledge in mathematics
矢量场论复习、提高
一、矢量代数和场论基础 二、算符（）运算 三、并矢和张量 矢量场的Helmholtz定理
f3 a3 (c • b) b3 (c • a)
f
f1eˆ1
f2eˆ2
f3eˆ3
a(c • b) b(c • a)
c
(
a
b
)
a(
c
b
)
b(
c
a
)
可 见c点 乘 远 的 是 正 的; c点 乘 近 的 是 负 的;
(a
b)
c
?
( a b ) c [ c ( a b )] b( c a ) a( c b )