3.4 广义统计诠释
例题3.4 一个质量为m的粒子处在δ函数势阱V(x)=αδ(x)中。对其动量进行测量，得到结果比p0=mα/ћ 大的概率是多少？
解：在坐标空间的中的波函数是(式2.129) Ψ(x,t)=mαћe-mαx/ћ2e-iEt/ћ 式中，E=-mα2/2ћ2。因此，动量空间波函数是 Φ(p,t)=12πћmαћe-iEt/ћ∫+∞-∞e-ipx/ћe-
3.3.1 分立谱 3.3.2 连续谱
3.3 厄密算符的本征函数
3.3.1 分立谱
定理1：它们的本征值是实数。 定理2：属于不同本征值的本征函数是正交的。
例题3.2 求动量算符的本征值与本征函数。 解：设fp(x)是本征函数，p是本征值：ћiddxfp(x)=pfp(x).(3.30) 一般解是fp(x)=Aeipx/h. 对于任何(复数的)p值，它都不是平方可积的——动量算符在希尔伯特空间内没有本征 函数。然而，如果我们限定于实数本征值，我们的确可以得到一个人为的 “正交归一 性”。参看习题2.24(a)和2.26，
波函数存在于希尔伯特空间中. (3.5)
3.2.1 厄密算符 3.2.2 确定值态
3.2 可观测量
3.2.1 厄密算符
表示可观测量的算符有非常特殊的性质 〈fQf〉=〈Qff〉 对任何f(x)成立.(3.16) 我们称这样的算符为厄密算符。
3.2.2 确定值态
确定证明 最小不确定波包 能量-时间不确定原理
3.5.1 不确定原理的一般性证明
σ2Aσ2B≥12i〈［A,B］〉2. (3.62) 这就是(普遍的)不确定原理。
3.5.2 最小不确定波包
Ψ(x)=Ae-a(x-〈x〉)2/2ћei〈p〉x/ћ.(3.68)
3.5.3 能量-时间不确定原理
∫+∞-∞g*y′(x)gy(x)dx=A2∫+∞-∞δ(x-y′)δ(x-y)dx=A2δ(y-y′).(3.38) 如果我们取A=1，就有
gy(x)=δ(x-y),(3.39) 这样〈gy′gy〉=δ(y-y′).(3.40) 这些本征函数也是完备的：
f(x)=∫+∞-∞c(y)gy(x)dy=∫+∞-∞c(y)δ(x-y)dy,(3.41) 有c(y)=f(y)(3.42) (对本题，如果你坚持，你也可以从傅里叶技巧得到它)。
mαx/ћ2dx=2πp3/20e-iEt/ћp2+p20 (查阅积分表求积分)。所以，要求的概率的大小为 2πp30∫∞p01(p2+p20)2dp=1πpp0p2+p20+arctanpp0
∞p0=14-12π=0.0908 (再次查阅积分表求积分)
3.5 不确定原理
3.5.1 3.5.2 3.5.3
∫+∞-∞f*p′(x)fp(x)dx=A2∫+∞-∞ei(p-p′)x/ћdx=A22πћδ(p-p′).(3.31) 如果我们取A=1/2πћ， 有
fp(x)=12πћeipx/ћ,(3.32) 那么 〈fp′fp〉=δ(p-p′)，(3.33) 这明显地使人联想到真正的正交归一性(式3.10)——现在的指标是一个连续的变量，并 且克罗内克δ符号变为狄拉克δ符号，但是其他方面看起来是相同的。我们将把式3.33 称为狄拉克正交归一性。 最重要的是其本征函数是完备的，不过是用一个积分代替了(式3.11中的)求和：任何 (平方可积的)函数f(x)都可以写成下列形式
第3章 形式理论
3.1 希尔伯特空间 3.2 可观测量 3.3 厄密算符的本征函数 3.4 广义统计诠释 3.5 不确定原理 3.6 狄拉克符号
3.1 希尔伯特空间
所有在特定区域2的平方可积函数的集合， f(x) 满足 ∫baf(x)2dx<∞(3.4) 构成一个(非常小)的矢量空间(参看习题3.1(a))。数学 家称之为L2(a,b)；而物理学家称它为“希尔伯特 (Hilbert)空间”3。因此，在量子力学中，
图3.1 一个自由粒子的波包趋近A点(例题3.6)
图3.2 Δ粒子质量的测量图(例题3.7)
3.6 狄拉克符号
图 3.3 a)矢量A b)A在xy坐标系中的分量 c)A在x′y′坐标系中的分量
例题3.3 求坐标算符的本征函数与本征值。 解：设本征函数为gy(x)，本征值为y：xgy(x)=ygy(x).(3.37) 这里(对应于任何一个给定的本征函数)y是一个定值，但是x是一
个连续的变量。什么样的x使函数具有如下的性质：用常数y乘 以函数与用x乘以函数的结果相同？明显地，除在x=y点之外， 只能是零；实际上不是别的，就是狄拉克δ函数：gy(x)=Aδ(xy). 这次本征值必须是实数；本征函数不是平方可积的，但是它们也 具有狄拉克正交归一性：
f(x)=∫+∞-∞c(p)fp(x)dp=12πћ∫+∞-∞c(p)eipx/ћdp.(3.34) 仍然可以利用傅里叶变换得到展开系数(现在是一个函数，c(p))： 〈fp′f〉=∫+∞-∞c(p)〈fp′fp〉dp=∫+∞-∞c(p)δ(p-p′)dp=c(p′).(3.35) 另外，你也可以由普朗克尔定理(式2.102)得到，这种展开(式3.34)不是别的，正是傅里 叶变换。