函数奇偶性与单调性的综合应用 专题【寄语：亲爱的孩子，将来的你一定会感现在拼命努力的自己！】教学目标：1.掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质；.2.能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质；3.能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性.教学重难点：函数单调性的证明；根据单调性或奇偶性分析函数的性质.【复习旧识】1.函数单调性的概念是什么？如何证明一个函数的单调性？2.函数奇偶性的概念是什么？如何证明一个函数的奇偶性？3.奇函数在关于原点对称的区间上，其单调性有何特点？偶函数呢？【新课讲解】一、常考题型1.根据奇偶性与单调性，比较两个或多个函数值的大小；2.当题目中出现“2121)()(x x x f x f --＞0（或＜0）”或“)(x xf ＞0（或＜0）”时，往往还是考察单调性；3.证明或判断某一函数的单调性；4.证明或判断某一函数的奇偶性；5.根据奇偶性与单调性，解某一函数不等式（有时是“)(x f ＞0（或＜0）”时x 的取值围）；6.确定函数解析式或定义域中某一未知数（参数）的取值围.二、常用解题方法1.画简图（草图），利用数形结合；2.运用奇偶性进行自变量正负之间的转化；3.证明或判断函数的单调性时，有时需要分类讨论. 三、误区1.函数的奇偶性是函数的整体性质，与区间无关；2.判断函数奇偶性，应首先判断其定义域是否关于原点对称；3.奇函数若在“0=x ”处有定义，必有“0)0(=f ”；4.函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质，因题而异；5.运用单调性解不等式时，应注意自变量取值围受函数自身定义域的限制. 四、函数单调性证明的步骤：（1） 根据题意在区间上设 ； （2） 比较大小 ； （3） 下结论 . 函数奇偶性证明的步骤：（1）考察函数的定义域 ；例1 设)(x f 是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且它在[0，＋∞)上单调递增，若a ＝)31(log2f ，b ＝)21(log 3f ，c ＝)2(-f ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a ＞＞ B ．a c b ＞＞ C ．b a c ＞＞D ．a b c ＞＞【考点】函数单调性；函数奇偶性，对数函数的性质. 【解析】 因为log2 3<log22＝2，0<log32<log33＝1， 所以log32<log23<2.因为f (x )在[0，＋∞)上单调递增， 所以f (log32)<f (log23)<f (2)，因为f (x )是偶函数，所以a ＝)31(log2f ＝f (－log 23)＝f (log23)，b ＝)21(log3f ＝f (－log 32)＝f (l og32)，c ＝)2( f ＝f (2)．所以b a c ＞＞.【答案】 C例2 （2014•一模）已知f （x ）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f （1）=1，若m ，n ∈[﹣1，1]，m+n ≠0时有＞0．（1）判断f （x ）在[﹣1，1]上的单调性，并证明你的结论； （2）解不等式：f （x+）＜f （）；（3）若f （x ）≤t 2﹣2at+1对所有x ∈[﹣1，1]，a ∈[﹣1，1]恒成立，数t 的取值围．【考点】 函数的奇偶性；函数单调性的判断与证明；函数的最值与恒成立问题． 【解析】解：（1）任取﹣1≤x 1＜x 2≤1，则f （x 1）﹣f （x 2）=f （x 1）+f （﹣x 2）=∵﹣1≤x 1＜x 2≤1，∴x 1+（﹣x 2）≠0，由已知＞0，又x 1﹣x 2＜0，∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x ）在[﹣1，1]上为增函数；（2）∵f（x）在[﹣1，1]上为增函数，故有（3）由（1）可知：f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（1）=1，故对x∈[﹣l，1]，恒有f（x）≤1．所以要使f（x）≤t2﹣2at+1，对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，即要t2﹣2at+1≥1成立，故t2﹣2at≥0成立．即g（a）=t2﹣2at对a∈[﹣1，1]，g（a）≥0恒成立，只需g（a）在[﹣1，1]上的最小值大于等于零．故g（﹣1）≥0，且g（1）≥0，解得：t≤﹣2或t=0或t≥2．【点评】本题主要考查单调性和奇偶性的综合应用及函数最值、恒成立问题的转化化归思想．【课堂练习】一、选择题1.函数y ＝2－|x |的单调递增区间是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)2．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数，如果f (lg x )>f (1)，那么x 的取值围是( )A ．(110，1)B ．(0，110)∪(1，＋∞) C ．(110，10) D ．(0,1)∪(10，＋∞)3.下列函数中既是奇函数，又在定义域上是增函数的是( ) A ．y ＝3x ＋1 B ．f (x )＝x1 C ．y ＝1－x1 D ．f (x )＝x 34.如图是偶函数y ＝f (x )的局部图像，根据图像所给信息，下列结论正确的是( )A ．f (－1)－f (2)>0B ．f (－1)－f (2)＝0C ．f (－1)－f (2)<0D ．f (－1)＋f (2)<05.定义在R 上的奇函数f (x )为增函数，偶函数g (x )在区间[0，＋∞)上的图像与f (x )的图像重合，设a >b >0，给出下列不等式：①f (b )－f (－a )>g (a )－g (－b )；②f (b )－f (－a )<g (a )－g (b )； ③f (a )－f (－b )>g (b )－g (－a )；④f (a )－f (－b )<g (b )－g (－a )． 其中成立的是________．6.设f (x )为定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上为增函数，则f (－2)，f (－π)，f (3)的大小顺序是( )A ．f (－π)>f (3)>f (－2)B ．f (－π)>f (－2)>f (3)C ．f (－π)<f (3)<f (－2)D ．f (－π)<f (－2)<f (3) 7.已知f (x )是奇函数且对任意正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有2121)()(x x x f x f -->0，则一定正确的是( )A ．f (3)>f (－5)B ．f (－5)>f (－3)C ．f (－5)>f (3)D ．f (－3)>f (－5)8．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，若f (a )<f (b )，则一定可得( )A ．a <bB ．a >bC ．|a |<|b |D ．0≤a <b 或a >b ≥09.若偶函数f (x )在(－∞，0)单调递减，则不等式f (－1)<f (lg x )的解集是( ) A ．(0,10)B.⎪⎭⎫⎝⎛10101， C.⎪⎭⎫⎝⎛∞+，101 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛1010，∪(10，＋∞)二、选择题10.若奇函数f (x )在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f (－6)＋f (－3)的值为________.11．若函数f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，则满足f (π)<f (a )的实数a 的取值围是________．三、解答题12.已知函数f(x)＝x2－2|x|－1，－3≤x≤3.(1)证明：f(x)是偶函数；(2)指出函数f(x)的单调区间；(3)求函数的值域．13.定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)<f(m)．数m 的取值围．14.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，其定义域是[a－1,2a]，求f(x)的值域．15.(1)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且在R上为增函数，求不等式f(4x －5)>0的解集；(2)已知偶函数f(x)(x∈R)，当x≥0时，f(x)＝x(5－x)＋1，求f(x)在R上的解析式．16.(本小题满分12分)设函数y ＝f (x )的定义域为R ，并且满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，f ）（31＝1，当x >0时，f (x )>0. (1)求f (0)的值； (2)判断函数的奇偶性；(3)如果f (x )＋f (2＋x )<2，求x 的取值围．参考答案BCDC ADCD5.答案①③解析－f(－a)＝f(a)，g(－6.b)＝g(b)，∵a>b>0，∴f(a)>f(b)，g(a)>g(b)．∴f(b)－f(－a)＝f(b)＋f(a)＝g(b)＋g(a)>g(a)－g(b)＝g(a)－g(－b)，∴①成立．又∵g(b)－g(－a)＝g(b)－g(a)，∴③成立．10.答案－15 11.答案(－π，π)解析若a≥0，f(x)在[0，＋∞)上是减函数，且f(π)<f(a)，得a<π.若a<0，∵f(π)＝f(－π), 则由f(x)在[0，＋∞)上是减函数，得知f(x)在(－∞，0]上是增函数．由于f(－π)<f(a)，得到a>－π，即－π<a<0.由上述两种情况知a∈(－π，π)．12.解析 (1)略(2)f (x )的单调区间为[－3，－1]，[－1,0]，[0,1]，[1,3]． (3)f (x )的值域为[－2,2]．13.解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (1－m )<f (m )可化为f (|1－m |)<f (|m |)，又f (x )在[0,2]上是减函数，∴|1－m |>|m |，两边平方，得m <12，又f (x )定义域为[－2,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，解之得－1≤m ≤2，综上得m ∈[－1，12)．14.解 ∵f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是定义在区间[a －1,2a ]上的偶函数，∴⎩⎨⎧a －1＋2a ＝0，b ＝0，∴⎩⎨⎧a ＝13，b ＝0.∴f (x )＝13x 2＋1.∴f (x )＝13x 2＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，23上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，3127.15.解 (1)∵y ＝f (x )在R 上为奇函数，∴f (0)＝0. 又f (4x －5)>0，即f (4x －5)>f (0)， 又f (x )为增函数，∴4x －5>0，∴x >54.即不等式f (4x －5)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >54... . …. word. … (2)当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝－x (5＋x )＋1，又f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝－x (5＋x )＋1.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 5－x ＋1 x ≥0，－x 5＋x ＋1x <0. 16.解 (1)令x ＝y ＝0，则f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0.(2)令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )是R 上的奇函数．(3)任取x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，则x 2－x 1>0.∵f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1＋x 1)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)>0， ∴f (x 1)<f (x 2)．故f (x )是R 上的增函数．∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2. ∴f (x )＋f (2＋x )＝f [x ＋(2＋x )]＝f (2x ＋2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23.又由y ＝f (x )是定义在R 上的增函数，得2x ＋2<23，解之得x <－23. 故x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23.。