函数的奇偶性与单调性一.知识总结
1.函数的奇偶性（首先定义域必须关于原点对称）
;为偶函数为奇函数;(1)
在原点有定义(2)奇函数
任一个定义域关于原点对称的函数一定可以表示成一个奇函数和一(3)
个偶函数之和
（奇）（偶）即.
2.函数的单调性(注:①先确定定义域;②单调性证明一定要用定义)
称为:时有区间,上任意两个值,若(1)定义.为称时有上增函数,上减函数若,
(2)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同;偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.判断函数单调性的方法:①定义法,即比差法;②图象法;③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）;④复合函数单调性判断法则.
3.周期性:周期性主要运用在三角函数及抽象函数中,是化归思想的重要手段.求周期的重要方法:①定义法;②公式法;③图象法;④利用重要结论:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),a≠b,则T=2|a-b|.
二.例题精讲
的函数是奇函数已知定义域为1【例】.
求的值Ⅰ);(
求的恒成立),若对任意的,不等式(Ⅱ.取值范围
是奇函数，所以=0解析：（Ⅰ）因为，
即
）知（-1（1）= -f又由 f
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又由题设条件得：
，
，即：
整理得
上式对一切均成立，
从而判别式
在处取得极值－设函数2,】【例2试用的单调区间.和,表示并求
而解：依题意有
解得故。

从而或，得令。

处取得极值，由于在
，即。

故
时，，即（1）；若，则当
时，；2）当；当时，（
的单调增区间为；从而
单调减区间为
，即若，同上可得，
为；单调减区区的单调增间间为
都有,若对所有的】3(理),设函数【例.的取值范围求实数成立,
的单调性讨论函数(文)
（理）解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
a－1－1， ex0(x)g令′＝，解得＝
(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有 f(x)≥ax．
a－1 (ii)当a＞1时，对于0＜x＜e－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，a－1－1)是减函数，e
a－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当，所以对＝00＜x＜ea＞1 又g(0)时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上，a的取值范围是（－∞，1]．解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立．
对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x a－1－1，＝e
a－1a－1当x＞e－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，当－1＜x＜e－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数，
a－1－1≤0．由此得ag(0)≥0都有g(x)≥充要条件为e≤1，所以要对所有x 即a的取值范围是（－∞，1]．
）解：设，（文
则
∵
，∴，，
，则时，为增函数当
为减函数，则当时，
为常量，无单调性当时，
其中为常数,)】(理.
已知函数4【例
讨论函数,若)的单调性;(Ⅰ
.试证=4,:若)(Ⅱ,且时，上的奇函数，当已知为定义在，文().求的表达式
（理）
∴（文）解：∵为奇函数，
当时，
∵∴为奇函数
∴
∴
三.巩固练习
是上的减函数,那么 1.已知的取( )值范围是
D. B.A. C.,,时,是周期为2的奇函数设 2.当已知( )则
D. A. C.B.
3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )
D.
A. C.
B.
(0,)成立,则 4.的取值范围是若不等式对于一切
2 C.- D.-3A.0 B. –是上的任意函数,则下列叙述正确的是 5.( )设
A.是奇函数
B.是奇函数
C. D.是偶函数是偶函数
则上的奇函数的值已知定义在 6.,满足( )为
A.－1
B.0
C.1
D.2
且）的图象关（7.的图象与函数已知函数
若在区间,于直线对称记上.是增函数,则实数的取值范围是( )
D. C. B. A.
上是理)如果函数8.(在区间( )的取值范围是,那么实数增函数
. ＡＣ.ＤＢ ..
上可导的任意函数,则必有9.,对于若满足( )
B.C. A.
D.
,则10.( )已知
D. B.A. C.
若为奇函数,则已知函数, 11. .
当. 已知函数上的偶函数是定义在12.
时,时,,则当 .
且,则方程13.上的以3为周期的偶函数,是定义在
=0在区间（0,6）内解的个数的最小值是( )
A.5
B.4
C.3
D.2
又在区间上单调递减的是下列函数既是奇函数14.,( )
D. A.
C.B.
则该函数在上是, 15.( )若函数
A.单调递减无最小值
B.单调递减有最小值
C.单调递增无最大值
D.单调递增有最大值
在区间内单调递增16.,若函数
( )则的取值范围是
D. C. B.A.
且的图象关于直线是定义在设上的奇函数17.,
______.,对称则
,,18.设函数上满足在
只有,7］上且在闭区间［0，.
试判断函数的奇偶性;(Ⅰ)
=0在闭区间［-2005,2005Ⅱ)试求方程］上的根的个数,并(
.证明你的结论
函数理),已知19. (
设;(2)在取得最小值？证明你的结论为何值时当(1),[ -1，1]上是单调函数,求的取值范围.的图象与为偶函数且定义域为的图(文),已知
,,时当象关于直线为实常数对称,,.且
若的最大值为的单调区间;(2)求的解析式;(3)求(1).求12,
已知函数的图象过点（0,220.）,且在点
.处的切线方程为
求函数求函数的单调区间.的解析式(1);(2)
在区间（－已知向量若函数21..求的取值范围1,1）上是增函数,
若,已知函数,,.且理22. ()存在单调递减区间,求的取值范围.
已知函数)(文
在区间上是减.求实数的值且在区间上是增函数,函数,
巩固练习参考答案
1. C
2. D
3. A
4. C
5. D
6. B
7. D
8. B
9. C 10. A 11.
4 13. B 14. D 15. A 12. -x-xa= 16. B 17. 0
得函数f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)的对称轴为: 18 .解由, ,不是奇函数从而知函数
由
,
又的周期为从而知函数 ,
故函数是非奇非偶函数;
由 (II)
又 (II)
从而可知函数,和[-10,0]上均有有两个解故f(x)在[0,10]
在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,
.个解上有 802所以函数在[-2005,2005]
）对函数解：（I 19. (求导数得理)
从而+2(1－)－2+2(1得［－)－2=0 ］令=0
解得
+ 0－ +0
递减递增极小值极大值递增
∴在=处取得极大值，在=处取得极小值。

上为减函数，在1,时，<－上为增当≥0在,函数
=，时而当
时，x=0. 当
时，所以当取得最小值
上为单调函数的充要条件是时，）当≥0在，（II
，解得即，
上为单调函数的充要条件是，[-1，1] 在于是
的取值范围是即
在先求文)解: (1) 上的解析式 (
上的一点,设是
且关于则点的对称点为
得 .所以
求当, 上的解析式为再根据偶函数的性质
所以
, 时 (2) 当
所以因时, 而, .因, 所以所以
在上为减函数所以 .
因,
, 当时
所以
即所以所以, , 因
上为增函数所以在
在上为减函数知, 在(3) 由(2)上为增函数，
所以, 又因为偶函数
上的最大值所以在
得.由
解：（Ⅰ）由的图象经过P（0，2 20.），知d=2，所以
处的切线方程是，由在
知
故所求的解析式是
（Ⅱ）
解得当
当
内是增函数，故
内是增函数内是减函数，在 .在
依定义1： 21. 解法
开口向上的抛物线，
）上恒成立故要使1在区间（－1 ，
.
依定义2：解法
的图象是开口向下的抛物线，
解：理 22. () ，则因为函数h(x)存在单调递减区
间，
2+2x－1>0有axx>0的解.所以<0有解.又因为x>0时，则
22+2x－1>0ax总有x>0a>0时，y=ax+2x－1为开口向上的抛物线，①当的解；22+2x－ax1>0y=ax总有+2x－1为开口向下的抛物线，而②当a<0时，x>0的
解；
2+2x－1=0至少有一正根.此时，－1<a<0. =4+4a>0, 则△且方程ax综上所述，a的取值范围为（－1，0）∪（0，+∞）.
解：,(文)
,
,
时, 当。