概率与统计的综合
1．(2016·河北名校联考)某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位(每班学生50人)，每班按随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据．其中高三(1)班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：
(2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为
4.3,4.4,4.5,4.6,4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率．
解：(1)高三(1)班学生视力的平均值为4.4×2＋4.6×2＋4.8×2＋4.9＋5.18＝4.7，故用上
述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值为4.7.
(2)从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，所有的取法共有15种，而满足抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的取法有：(4.3,4.5)，(4.3,4.6)，(4.3,4.7)，(4.3,4.8)，(4.4,4.6)，(4.4，4.7)，(4.4,4.8)，(4.5,4.7)，(4.5,4.8)，(4.6，4.8)，共有10种，故抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为P ＝1015＝23
.
2．(2016·天津模拟)电影《霹雳再现》预计在2017年1月上映．某地电影院为了了解当地影迷对票价的看法，进行了一次调研，得到了票价x (单位：元)与渴望观影人数y (单位：万人)的结果如下表：
(1)若y 与x (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；
(3)根据(2)中求出的线性回归方程，预测票价定为多少元时，能获得最大票房收入．
参考公式：b ^＝
∑i ＝1
n
x i y i －n x y ∑i ＝1
n
x 2i －n x
2
，a ^＝y －b ^
x .
解：(1)由表中数据易知，y 随x 的增大而减小，故y 与x 之间是负相关． (2)由表中数据可得x ＝45，y ＝3.5，
∑i ＝1
4
x i y i －4x y ＝－35，∑i ＝1
4
x 2i －4x 2
＝500， 则b ^＝
∑i ＝1
4
x i y i －4x y
∑i ＝1
4
x 2i －4x
2
＝－0.07，
a ^
＝3.5＋0.07×45＝6.65，
所以，所求线性回归方程为y ^
＝－0.07x ＋6.65.
(3)根据(2)中的线性回归方程，若票价为x 元，则渴望观影人数为(－0.07x ＋6.65)万人， 可预测票房收入为z ＝x (－0.07x ＋6.65) ＝－0.07x 2＋6.65x ，
易得，当x ＝47.5时，z 取得最大值，即票价定为47.5元时，能获得最大票房收入． 3．(2016·武汉调研)某城市随机抽取一年内100天的空气质量指数(AQI)的监测数据，结果统计如下：
⎩⎪⎨⎪
⎧
0，0≤x ≤100，4x －400，100<x ≤300，2 000，x >300，
若在本年内随机抽取一天，试估计这一天的经济损失超过400元的概率；
(2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为严重污染．根据提供的统计数据，完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？
附：K2＝
n(ad－bc)2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
解：(1)记“在本年内随机抽取一天，该天的经济损失超过400元”为事件A. 由y>400，得x>200.
由统计数据可知，空气质量指数大于200的频数为35，
所以P(A)＝35
100＝
7
20.
(2)根据题设中的数据得到如下2×2列联表：
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
K2＝100×(22×7－63×8)2
30×70×85×15
≈4.575.
因为4.575>3.841，
所以有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”．
4．(2016·全国甲卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
(1)记A)的估计值；
(2)记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P (B )的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
解：(1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50
200
＝0.55，故P (A )的估计值为0.55.
(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30
200
＝0.3，故P (B )的估计值为0.3.
(3)由所给数据得
调查的200名续保人的平均保费为0.85a ×0.30＋a ×0.25＋1.25a ×0.15＋1.5a ×0.15＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.192 5a .
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a .
5．(2016·山东高考)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x ，y .奖励规则如下：
①若xy ≤3，则奖励玩具一个； ②若xy ≥8，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动． (1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由． 解：用数对(x ，y )表示儿童参加活动先后记录的数， 则基本事件空间Ω与点集S ＝{(x ，y )|x ∈N ，y ∈N ， 1≤x ≤4,1≤y ≤4}一一对应． 因为S 中元素的个数是4×4＝16， 所以基本事件总数n ＝16.
(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．
所以P(A)＝5
16，即小亮获得玩具的概率为
5
16.
(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.
则事件B包含的基本事件数共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所以P(B)
＝6
16＝
3
8.
所以事件C包含的基本事件数共5个，
即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．
所以P(C)＝
5
16.因为
3
8＞
5
16，
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．
6．(2016·北京高考)某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的
部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：
(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费．
解：(1)由用水量的频率分布直方图，知该市居民该月用水量在区间[0.5,1]，(1,1.5]，(1.5,2]，(2,2.5]，(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.
所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.
依题意，w至少定为3.
(2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表如下：
根据题意，该市居民该月的人均水费估计为
4×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元)．。