利用对称性计算曲线积分与曲面积分摘要：借助于（平面）空间曲线及空间曲面的直观几何意义，利用曲线、曲面关于坐标轴及坐标面得对称性，探讨了对于定义在具有对称性的曲线、曲面上的奇（偶）函数，如何利用对称性计算曲线积分及曲面积分。

这种积分方法使得曲线（面）积分更为简便、快捷，同时，也有利于避免因符号处理不当而导致的积分错误。

而第二类曲线积分与曲面积分涉及到方向性问题，因此利用对称性来计算较为困难，文中给出了利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法，并证明了方法的可行性，并通过实例表明，此方法有时能起到简化计算的作用。

关键词：奇（偶）函数 曲线积分 曲面积分 对称 计算引： 在高等数学的学习和研究中，各种积分的运算，有时会给我们带来较多的困难，而借助于（平面）空间曲线及空间曲面的直观几何意义，定义在关于坐标轴及坐标面对称的曲线、曲面上的奇（偶）函数，利用它们的对称性计算曲线积分及曲面积分，可以使得曲线（面）积分更为简便、快捷。

一、 曲线积分（一） 第一类曲线积分的对称问题定义1 设函数),(y x f 定义在二维光滑曲线上，（1）若满足关系式=或),(y x f -=，则称),(y x f 为关于x 或y 的偶函数； （2）若),(y x f 满足关系式),(y x f -=-),(y x f 或),(y x f -=-),(y x f ，则称),(y x f 为关于或y 的奇函数；定义2 设函数),,(z y x f 定义在三维光滑曲线上（1）若),,(z y x f 满足关系式),,(z y x f -=),,(z y x f 或),,(z y x f -=),,(z y x f 或),,(z y x f -=),,(z y x f ，则称),,(z y x f 为关于x 或y 或z 的偶函数；（2）若),,(z y x f 满足关系式),,(z y x f -=-),,(z y x f 或),,(z y x f -=-),,(z y x f 或),,(z y x f -=-),,(z y x f ，则称),,(z y x f 为关于x 或y 或z 的奇函数；定理1 设函数),(y x f 在二维光滑（或分段光滑）曲线L 上可积，且曲线L 关于ox （或oy ）对称，则：（1）当偶函数时，⎰Lds y x f ),(=2⎰1),(L ds y x f （其中1L 是L 位于对称轴一侧的部分）；（2）当),(y x f 是y （或x ）的奇函数时，⎰Lds y x f ),(=0证 设关于ox 轴对称的光滑曲线21L L L +=（其中1L 、2L 分别是曲线L 位于ox 轴上、下两侧的部分）；则：⎰Lds y x f ),(=ds y x f L L ),()(21⎰⎰+用曲线L 上关于ox 轴对称点系分割L ，在1L 上的小弧段中任取一点（i ξ，i η），在2L 上关于i S ∆对称于ox 轴的小弧段中任取一点（i ξ，-i η），构造和式：∑i iif ),(ηξiS ∆+∑-ii i f ),(ηξiS ∆令：诸小弧段中最长者为λ，由于),(y x f 在L 上可积且i S ∆=i S '∆,于是 （1）当),(y x f 是y 的偶函数，即),(i i f ηξ-=),(i i f ηξ时，⎰Lds y x f ),(=0lim →x [∑i i i f ),(ηξi S ∆+∑-ii i f ),(ηξi S '∆]=0lim →x 2∑iiif ),(ηξiS ∆=2⎰1),(L ds y x f（2）当),(y x f 是y 的奇函数，即),(i i f ηξ-=-),(i i f ηξ时，⎰Lds y x f ),(=0lim →x [∑i i i f ),(ηξi S ∆+∑-ii i f ),(ηξi S '∆]=0lim →x {∑i iif ),(ηξiS ∆+∑-iii f )],([ηξiS'∆}=0lim→x ∑i0iS ∆=0 （证毕）定理2 设函数),,(z y x f 在三维光滑或（分段光滑）曲线Γ上可积，且曲线Γ对称于xoy （或yoz 或zox ）坐标面，则（1）当),,(z y x f 为关于z （或x 或y ）的偶函数时，有⎰Γds z y x f ),,(=2⎰Γ1),,(ds z y x f （其中1Γ是Γ位于对称坐标面一侧的部分）；（2）当),,(z y x f 为关于z （或x 或y ）奇函数时，有⎰Γds z y x f ),,(=0推论 设函数),(y x f 在二维光滑（或分段光滑）曲线L 上可积，L 对称于ox 和oy 轴，则（1）当),(y x f 是关于y 和x 的偶函数时，有⎰Lds y x f ),(=4⎰1),(L ds y x f （其中1L 是L 位于第Ⅰ象限中的部分）（2）当),(y x f 是关于y 和x 中至少某一变量的奇函数时，有⎰Lds y x f ),(=0例1 计算ds yx xy x ⎰=++1解：∵积分曲线既对称于ox 轴又对称于oy 轴，且被积函数),(y x f =yx x+是x 的奇函数 ∴原式=ds yx xy x ⎰=++1=⎰=+11y x ds x（二）第二类曲线积分的对称问题定理3 设L 为xoy 平面上关于x 轴对称的一条有向光滑曲线弧，其方程是一双值函数，设为)(x y y ±=，（b x a ≤≤）。

记1L ,2L 分别为L 位于x 轴的上半部分与下半部分，1L ,2L 分别在x 轴上的投影的方向相反，函数),(y x P 在L 上连续，那么 （1）当),(y x P 关于y 为偶函数时，则⎰Ldx y x P ),(=0（2）当),(y x P 关于y 为奇函数时，则⎰Ldx y x P ),(=2⎰1),(L dx y x P证明 依定理条件不妨设1L ：)(x y y =，x 从点a 变到点b 2L ：)(x y y -=，x 从点b 变到点a于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有⎰Ldx y x P ),(=⎰1),(L dx y x P +⎰12),(L dx y x P= ⎰badx x y x P )](,[+⎰-badx x y x P )](,[=⎰--badx x y x P x y x P )]}(,[)](,[{故（1）当),(y x P 关于y 为偶函数时，有⎰Ldx y x P ),(=⎰-badx x y x P x y x P )]}(,[)](,[{=⎰badx 0=0（2）当),(y x P 关于y 为奇函数时，有⎰Ldx y x P ),(=⎰+badx x y x P x y x P )]}(,[)](,[{=2⎰badx x y x P )](,[=2⎰1),(L dx y x P注：对于⎰Ldy y x Q ),(有类似定理1的结论例2 计算I=⎰Lxydx ，其中L 我抛物线x y =2从点A （1，-1到点B （1，1）的一段弧解：依题设条件知，该曲线积分满足定理3，故有I=2⎰1L xydx =2⎰1dx x x =54 其中，1L ：x y =，x 从点0变到点1。

关于曲线积分⎰Ldx y x P ),(还有另一个对称性的结论是:定理 4 设L 为xoy 平面上关于y 轴对称的一条有向光滑曲线弧，奇方程为)(x y y =，（a x a ≤≤-），记1L ,2L 分别为L 位于y 轴的右半部分与左半部分，1L ,2L 分别在x 轴上的投影方向相同，函数),(y x P 在L 上连续，那么（1）当),(y x P 关于x 为奇函数时，则⎰Ldx y x P ),(=0（2）当),(y x P 关于x 为偶函数时，则⎰Ldx y x P ),(=2⎰1),(L dx y x P证明 依定理条件不妨设1L ：)(x y y =，x 从点0变到点a2L ：)(x y y -=，x 从点-a 变到点0于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有⎰Ldx y x P ),(=⎰1),(L dx y x P +⎰12),(L dx y x P= +⎰--0)](,[adx x y x P对右端第2个积分，令t x -=，有⎰--0)](,[adx x y x P =⎰-adt t y t P 0)](,[=因此有⎰Ldx y x P ),(=⎰adx x y x P 0)](,[+⎰-adx x y x P 0)](,[=⎰-+adx x y x P x y x P 0)]}(,[)](,[{故 （1）当),(y x P 在L 上关于x 为奇函数时，有⎰Ldx y x P ),(=⎰-adx x y x P x y x P 0)]}(,[)](,[{=⎰adx 00=0（2）当),(y x P 在L 上关于x 为偶函数时，有⎰Ldx y x P ),(=⎰+adx x y x P x y x P 0)]}(,[)](,[{=2⎰adx x y x P 0)](,[=2⎰1),(L dx y x P注：对于⎰Ldy y x Q ),(有类似定理4的结论例3 计算I=⎰+-+Ldy y y x dx y x )sin ()(222，其中L 为222a y x =+（a ＞0）按逆时针方向从点A （a ，0）到点B （-a ，0）的上半圆周解 可将原式改写为3个曲线积分的代数和，即I=⎰+Ldx y x )(22-2⎰Lxydx -⎰+Ldy y y x )sin (22依题设条件分析知，等式右端第一、第二、第三个曲线积分满足定理4，故有I=⎰+Ldx y x )(22=2⎰+1)(22L dx y x =2⎰-+0222)(adx x a x =-23a二 曲面积分（一）第一类曲面积分的对称问题定理5 设函数),,(z y x f 在光滑（或分片光滑）曲面∑上可积，且对称于xoy （或yoz 或zox ）坐标面，则（1）当),,(z y x f 是关于z ，x 和y 的偶函数时，⎰⎰∑ds z y x f ),,( =8⎰⎰∑1),,(ds z y x f （其中1∑是∑位于对称坐标面一侧的部分）（2）当),,(z y x f 是关于z ，x 和y 的奇函数时，⎰⎰∑ds z y x f ),,( =0推论 设函数),,(z y x f 在光滑（或分片光滑）曲面∑上可积，且∑关于xo y ,yoz ,zox 坐标面均对称，则（1）当),,(z y x f 是关于z ，x 和y 的偶函数时，⎰⎰∑ds z y x f ),,(=8⎰⎰∑1),,(ds z y x f （其中1∑是∑在第Ⅰ卦限的部分）（2）当),,(z y x f 是关于z ，x 和y 中至少某一变量的奇函数时，⎰⎰∑ds z y x f ),,(=0例4 计算⎰⎰∑++ds zy x y 222，其中∑：平面0=z ，H z =之间的圆柱面222R y x =+ 解：因为积分曲面对称于zox 坐标面，且被积函数),,(z y x f =222z y x y++是关于y的奇函数，所以⎰⎰∑++ds zy x y222例5 计算⎰⎰∑--ds y x a x2226，其中∑：2222a z y x =++解：令1∑：2222a z y x =++，a x ≤≤0，a y ≤≤0，a z ≤≤0，则1D ：22y x +≤2a a x ≤≤0 a y ≤≤0ds=dxdy z z y x 221++=dxdy yx a a 222--因为∑对称于三个坐标面，且被积函数),,(z y x f =222z y x y++是关于，x ,y ,z 的偶函数，所以由对称性知⎰⎰∑--ds y x a x 2226=8⎰⎰∑--12226ds y x a x =8a⎰⎰16D dxdy x =8a ⎰⎰167cos D drd r θ =8a ⎰⎰a dr r 0726cos πθ=9325a π （二）第二类曲面积分的对称问题 与第二类曲线积分类似有以下结论定理 6 设∑为关于xoy 平面对称的有向光滑曲面，其方程式一双直函数，设为),(y x z z ±=，),(y x ∈xy D （其中xy D 为∑在xoy 平面的投影区域），记1∑，2∑分别位于xoy 平面的上半部分与下半部分，1∑与2∑的侧关于xoy 平面相反，函数),,(x y x R 在∑上连续，那么（1）当),,(x y x R 关于z 为偶函数时，则dxdy z y x R ⎰⎰∑),,(=0（2）当),,(x y x R 关于z 为奇函数时，则dxdy z y x R ⎰⎰∑),,(=2dxdy z y x R ⎰⎰∑1),,(证明 依定理条件不妨设1∑：),(y x z z =，),(y x ∈xy D ，1∑取上侧2∑：),(y x z z -=，),(y x ∈xy D ，2∑取下侧于是由对坐标的曲面积分的性质及计算方法有dxdy z y x R ⎰⎰∑),,(=dxdy z y x R ⎰⎰∑1),,(+dxdy z y x R ⎰⎰∑2),,(=dxdy y x z y x R xyD ⎰⎰)],(,,[-dxdy y x z y x R xyD ⎰⎰-)],(,,[dxdy y x z y x R dxdy y x z y x R xyD })],(,,[)],(,,[{⎰⎰--故（1）当),,(x y x R 关于z 为偶函数时，有dxdy z y x R ⎰⎰∑),,(=dxdy y x z y x R dxdy y x z y x R xyD })],(,,[)],(,,[{⎰⎰-=dxdy xyD ⎰⎰0=0（2）当),,(x y x R 关于z 为奇函数时，有dxdy z y x R ⎰⎰∑),,(=dxdy y x z y x R dxdy y x z y x R xyD })],(,,[)],(,,[{⎰⎰+=2dxdy y x z y x R xyD ⎰⎰)],(,,[=2dxdy z y x R ⎰⎰∑1),,(注：对于dydz z y x P ⎰⎰∑),,(，dzdx z y x Q ⎰⎰∑),,(有类似定理6的结论例6 计算I=⎰⎰∑xyzdxdy ，式中∑为球面1222=++z y x 的外侧位于x ≥0，y ≥0的部分。