数列专题
基础知识梳理
1.数列：按排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项，记作，序号为的项叫第项，也叫通项，即；数列一般简记作。
2.通项公式：如果数列可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
用表示数列的通项公式，这里要注意同一个数列的通项公式的形式不一定唯一，不是每个数列都有通项公式。
3.从函数观点看，数列实质上是定义域为的函数，其图象是。
4.数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：递增数列，
数列，数列，数列。
5递推公式定义：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
6..等差数列一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它一项的等于同一个常数，
这个数列就叫做等差数列. 这个常数就叫做等差数列的，常用字母表示.
7.等差中项由三个数，，组成的等差数列，这时数叫做数和的等差中项，用等式表示为= ．
8.等差数列的通项公式．
9. 等差数列的常见性质：若数列为等差数列，且公差为，则此数列具有以下性质：
（1）；
（2）；
（3）则.
10. 等差数列的前项和公式1：公式2：.
11.在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列。
如：公差为 ;
是等差数列；公差为；
成等差数列.
12.等比数列
13.等差数列的性质
（1），；
（2）在等差数列中，若，则，若，则；
（3），为等差数列，公差分别为，则数列，，为数列；
（4）在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即，，，…为等差数列，公差为；（5）等差数列的前项和为S n，则S n,S2n-S n,S3n-S2n,…也为等差数列，公差为；
（6）通项公式是是一次函数的形式；前项和公式是不含常数项的二次函数的形式。
（注当时，S n=na1, a n=a1）
（7）若，，有最值，可由不等式组来确定；
若，，有最值，可由不等式组来确定．
14.等比数列的性质
（1）；
（2）在等比数列中，若，则；若，则；
（3）若，均为等比数列，且公比分别为，，则数列，，，，也为等比数列，且公比分别为；（4）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即，，，…为等比数列，公比为；
(5)等比数列的前n项和为S n，则，，，…也为等比数列，公比为．
15.数列求和直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和：
（1）等差数列的求和公式：
（2）等比数列的求和公式（切记：公比含字母时一定要讨论）
16.数列求和倒序相加法：如果一个数列，与首末两端等“距离”的两项的和等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的（阅读课本39页回顾等差数列求和公式的推导过程）。
17.数列求和错位相减法：数列，其中成等差数列，成等比数列，那么这个数列的前n项和即可用此法来求
[深入探究]：错位相减法步骤是怎样进行的？需要注意哪些问题？
17.数列求和分组求和法：若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和。
18.数列求和裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
常见拆项公式：
___________；_______________________；
若是等差数列，公差为d则
___________；___________；
典型例题：
例题1. 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：
（1）–1，7，–13，19，…；（2）…；
（3）…；（4）5，55，555，5555，…；
（5）5，0，–5，0，5，0，–5，0，…；（6）1，3，7，15，31，….
例题2.如果试写出数列的前3项
例题3.已知数列的前项和为，求数列的通项公式；
例题4.（1）已知数列的前项和，则其通项= ；
（2）已知数列的前项和，则其通项= 。
例题5.已知数列．
(1)若，
①数列中有多少项是负数？
②为何值时，有最小值？并求出最小值．
(2)若且对于，都有成立．求实数的取值范围．
例题6.若数列的通项公式为：，设，求数列中的最大项．
例题7.已知数列满足，，令．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式．
则_______．
例题8.已知数列是等差数列，若，且
，
例题9.在等差数列{a n}中，已知a5＋a7＝10，S n是数列{a n}的前n项和，则S11的值是 ( )．A．45 B．50 C．55 D．60
例题10.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若S1＝1，S2S4＝4，则S4S6的值为 ( )．
A.49
B.23
C.35D．4
例题11.等差数列的前项和为,已知,则的最小值为________.
例题12.已知是等差数列,,公差,为其前项和,若成等比数列,则
例题13.数列的前项和为，若，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）并求数列的通项公式.
例题14.在数列中，.
（1）证明数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式.
例题15.等比数列满足：，，且公比.
（1）求数列的通项公式；
（2）若该数列前项和，求的值.
例题16.已知首项为的等比数列的前项和为（），且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：（）．
例题17.（1）在等比数列中，已知，， = .
（2）已知各项均为正数的等比数列，，，则____
（3）在等比数列中，，，则 .
例题18.数列的前n项和记为，
(1)求数列的通项公式；
(2)等差数列的各项为正，其前n项和为，且，又成等比数列，求．
例题19.已知数列为等差数列，且，为等比数列，数列的前三项依次为3,7,13.求：(1)数列，的通项公式
（2）数列的前项和.
例题20.设曲线处的切线为，数列的首项（其中常数m为正奇数），且对任意，点均在直线上。
（1）求出的通项公式；
（2）令，当恒成立时，求出n的取值范围，使得。
例题21.已知数列的前n项和为，对一切正整数n，点（S n，n）都在函数的图象上.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项的和T n.
例题22.已知是等差数列，其前n项和为S n，是等比数列，且，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）记证明
例题23.已知数列{a n}的前n项和S n，
例题24.已知数列{a n}满足且a1=2，求a n.
例题25.已知数列{a n}满足，，求a n
例题26.，求a n.
例题27.在数列{a n}中，，求通项a n
例题28.在数列{a n}中，，求通项a n.
例题29.已知数列的通项公式，求数列的前n项和。
例题30.求数列的前n项和.
例题31.设数列{a n}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1a n＝3n，n∈N*.
(1)证明：数列{a n}为等比数列；
(2)设，求数列{b n}的前n项和S n。