课程名称 高等数学I （A ）解答
一 选择题（4小题，每题4分，共16分）
1． 下列数列收敛的是（ C ）。
(A) n n x n n 1]
1)1[(++-= (B) n n n x )1(-=
(C) n x n n 1)1(-= (D) n n x n 1-=
2．已知函数231)(22+--=x x x x f 下列说法正确的是（ B ）。
(A) )(x f 有2个无穷间断点 (B) )(x f 有1个可去间断点，1个无穷间断点
(C) )(x f 有2个第一类间断点 (D) )(x f 有1个无穷间断点，1个跳跃间断点
3．设 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤=1,1,3
2)(23x x x x x f ，则)(x f 在x =1处的（ B ）。
(A) 左右导数都存在 (B) 左导数存在，右导数不存在
(C) 左导数不存在，右导数存在 (D) 左、右导数都不存在
4．函数
2)4(121++
=x x y 的图形（ B ）
(A) 只有水平渐近线 (B) 有一条水平渐近线和一条铅直渐近线
(C) 只有铅直渐近线 (D) 无渐近线 二 填空题（4小题，每题4分，共16分）
1．x x x 23sin lim 0→＝__3/2_________
2.
x x e y x sin ln 2-+=则='y _2e x +1/x －cos x _ 3． 已知隐函数方程：024=-+y xe x 则='y －(4+e y ) / （x e y ）
4． 曲线332x x y +=在 x = 1 处对应的切线方程为： y =11x -6 .
三 解答题（5小题,每题6分，共30分）
1． 计算x x x x 21lim ⎪⎭⎫ ⎝
⎛+∞→ 解： 原式=211lim ⋅∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x e = 2
2． 计算x e e x x x sin lim 0-→-。
解： 原式=2cos lim 0=+-→x e e x
x x
3． 计算a
x dt t f x x
a a x -⎰+→)(lim ，其中)(x f 在[a,
b ]上连续。
解：原式)()()(lim a f a x xf dt t f x a a x =+⎰→
4．求不定积分dx x x x )1(⎰+。
解：原式=c x x dx x x ++=+-⎰21252123
252)(
5． 求定积分⎰++4
122dx x x 解：原式=
322)12(6)12(3241)12()12312(41123122140
212340
40=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=++++=+++⎰⎰x x x d x x dx x x
四 解答题（15分） 求函数
19323+--=x x x y 的单调区间、凹凸区间及极值。
解：y ’=3x 2-6x -9=3(x +1)(x -3)令y ’=0得驻点：x =-1,x =3
(-∞,-1) y’＞0 函数单增， （－1,3）y’＜0 函数单减， （3，＋∞）y’＞0 函数单增
(-∞,1) y’’＜0 函数上凸， （1，＋∞）y’’ ＞0函数上凹。
极大值 y (-1)= 6 极小值 y (3)=－26
五 解答题（12分）
求曲线522+=x y ，0y =，3,
0==x x 所围平面图形的面积，并求该平面图形
绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。
解：曲线所围平面图形的面积
33532)52(303302=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰x x dx x A
该平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积 ππππ4.449)2532054()25204()52(3
035303
02422=++=++=+=⎰⎰x x x dx x x dx x V 。
六 解答题（2小题，每题3分，共6分）
1. 写出xoy 面上的平面曲线 y = x 2+3绕y 轴旋转所成旋转曲面方程.
解：旋转曲面方程为：y = x 2 + z 2 +3
2. 写出旋转曲面 2 x 2 + 5 y 2 + 2 z 2 – 25 = 0 是由哪条曲线绕哪个坐标轴旋转而成. (要写出曲线方程)
解：旋转曲面 2 x 2 + 5 y 2 + 2 z 2 – 25 = 0 是由曲线
⎩⎨⎧==-+⎩⎨⎧==-+0025250025522222x z y z y x 或
绕y 轴旋转而成
七 证明题（5分）
证明两直线L 1、L 2平行，其中
⎩⎨⎧=-++=+--⎩
⎨⎧=++=-+-025205852:03013:21z y x z y x L z x z y x L
证明：L 1的方向向量与L 2的方向向量分别为： }9,18,9{}5,2,1{}8,5,2{}1,2,1{}1,0,1{}1,1,3{21--=⨯--=--=⨯-=L L
两向量对应坐标成比例，故两向量平行，
点（－1，－6，－2）在直线L 1上，而不在直线L 2上，两直线不共线， 所以两直线L 1、L 2平行。