第四章 随机变量的数字特征试题答案一、选择（每小题2分）1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=，D （X ）=? B. E （X ）=，D （X ）=C. E （X ）=2，D （X ）=4?D. E （X ）=2，D （X ）=2 2、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D （Z ）=? （??C?）A. 1 ?B. 3C. 5?D. 6? 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004? B. ? C. ? D. 44、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（?D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） ?B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X-Y ）=D （X ）-D （Y ） ?D ． D （X-C ）=D （X ）5、设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=4,142,122,0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ）A ．31 ?B ． 21 C ．23?D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)31,12(~B Y ，则)1(+-Y X D =（C ）A ． 34 ?B ． 37C ． 323 ?D ． 3267、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ）A ． -13 ?B ． 15C ． 19 ?D ． 23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 ?B ． 22 C ． 30 ?D ． 46 9、设)31,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ．31 ?B ． 1 C ． 310?D ． 10 10、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ）A. E （X ）=1?B. D （X ）=3?C. P （X=1）=0?D. P （X<1）= 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ） A ． )(X D +)(Y D ?B ． )(X D -)(Y DC ．)(XD +)(Y D -2),cov(Y X ?D ．)(X D +)(Y D +2),cov(Y X12、设随机变量)21,10(~B X ，)10,2(~N Y ，又14)(=XY E ，则X 与Y 的相关系数XY ρ=（D ） A ． ?B ． -0.16 C ． ?D ． 13、已知随机变量X 的分布律为25.025.012p P xX i-，且E （X ）=1?，则常数x =( B)A ． 2 ?B ． 4C ． 6 ?D ． 814、设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则随机变量X 的数学期望是（C ） A. B. 0 C. D. 215、已知随机变量X 的分布函数为F(x)=⎩⎨⎧>--otherx e x12，则X 的均值和方差分别为（?D ） A ．4)(,2)(==X D X E ?B ． 2)(,4)(==X D X E C ．21)(,41)(==X D X E ?D ．41)(,21)(==X D X E 16、设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为则)(XY E =（B ） A ． 91-?B ． 0 C ． 91 ?D ． 31 17、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ）A ． 2- ?B ． 0C ． ?D 218、设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为2的指数分布，Y ～B(6，，则E(X-Y)=( A) A ． 5.2- ?B ． 0.5 C ． 2 ?D ． 5 19、设二维随机变量(X ，Y)的协方差cov(X ，Y)=61，且D(X)=4，D(Y)=9，则X 与Y 的相关系数XY ρ为（?B ） A ．2161 ?B ． 361 C ． 61 ?D ． 1 20、设随机变量X 与Y 相互独立，且X ～N?(0，9)，Y ～N?(0，1)，令Z=X-2Y ， 则D?(Z)=（D ） A ． 5 ?B ． 7 C ． 11 ?D 13 21、设(X ，Y)为二维随机变量，且D?(X)>0，D?(Y)>0，则下列等式成立的是（B ） A ． )()()(Y E X E XY E = ? B ． )()(),cov(Y D X D Y X XY ⋅=ρC ． )()()(YD X D Y X D +=+ ?D ． ),cov(2)2,2cov(Y X Y X =22、设n X X X ,,,21Λ是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ） A ． {}22εσεμn n X P ≥<- ?B ． {}221εσεμn X P -≥<- C ． {}221εσεμn X P -≤≥- ?D ．{}22εσεμn n X P ≤≥-23、设随机变量X 的μ=)(X E ，2)(σ=X D ，用切比雪夫不等式估计{}≥<-σ3)(X E X P （C ）A ．91 ?B ． 31 C ． 98?D ． 1 24、设随机变量 X 服从参数为的指数分布，用切比雪夫不等式估计{}≤≥-32X P （C ） A ．91 ?B ． 31 C ． 94 ?D 21 25、已知随机变量X ～N(0，1)，则随机变量Y=2X-1的方差为（D ） A ． 1 ?B ．2 C ．3 ?D4 二、填空（每小题2分） 1、设X~)21,4(B ，则)(2X E =52、设E （X ）=2，E （Y ）=3，E （XY ）=7，则cov （X ，Y ）=13、已知随机变量X 满足1)(-=X E ，2)(2=X E ，则)(X D =1 4、设随机变量X ，Y 的分布列分别为216131321iP X414121101iP Y - 且X ，Y 相互独立，则E （XY ）= 2413-5、随机变量X 的所有可能取值为0和x ，且3.0}0{==X P ，1)(=X E ，则x =710 6、设随机变量X 的分布律为4.03.02.01.02101iP X -，则)(X D =17、设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则)12(+X D =948、设二维随机变量);,;,(~),(222121ρσσμμN Y X ，且X 与Y 相互独立，则ρ=0 9、设随机变量序列ΛΛ,,,,21n X X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，0)(2>=σi X D ，Λ,2,1=i ，则对任意实数x ，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-∑=∞→x n n X P n i i n σμ1lim =)(1x Φ-10、设随机变量X 具有分布51}{==k X P ，5,4,3,2,1=k ，则)(X E =3 11、设随机变量X 在区间(0,1)上服从均匀分布,Y=3X-2, 则E?(?Y?)= 12、已知随机变量X 的分布律为2.03.05.0501iP X -，则)}({X E X P <=13、已知E （X ）= -1?，D （X ）=3,则)23(2-X E =1014、设1X ，2X ，Y 均为随机变量，已知1),cov(1-=Y X ，3),cov(2=Y X ，则),2cov(21Y X X +=515、设)1,0(~N X ，)21,16(~B Y ，且X ，Y 相互独立，则)2(Y X D +=816、将一枚均匀硬币连掷100次，则利用中心极限定理可知，正面出现的次数大于60的概率近似为 （附：Φ（2）=） 17、设随机变量X?~?B （100，），应用中心极限定理计算P{16?X?24}= 附：Φ（1）=18、设随机变量X ，Y 的期望和方差分别为E(X)=，E(Y)=，D(X)=D(Y)=，E(XY)=0，则X ，Y 的相关系数XY ρ=31 19、设随机变量X 的期望E?(X?)=2，方差D?(X?)=4，随机变量Y 的期望E?(Y)=4, D?(Y?)=9, 又E?(XY?)=10，则X ，Y 的相关系数XY ρ=3120、设随机变量X 服从二项分布)31,3(B ，则)(2X E =35 三、计算：每小题5分1、某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾客数X 服从泊松分布，则)(~λP X ，若已知}2{}1{===X P X P ，且该柜台销售情况Y （千元），满足2212+=X Y 。

试求：（1）参数λ的值。

（2）一小时内至少有一个顾客光临的概率 （3）该柜台每小时的平均销售情况E （Y ） 解：（1）因为 X 服从泊松分布，则 !}{k e k X P k λλ-==，0;,2,1,0>=λΛk ，又因为 }2{}1{===X P X P所以!2!121λλλλ--=e e ，2=λ所以 !2}{2k e k X P k -==，0;,2,1,0>=λΛk（2）2201!021}0{1}1{---=-==-=≥e e X P X P 所以 一小时内至少有一个顾客光临的概率为21--e 。

（3）因为 X 服从泊松分布，则2)(==λX E ，2)(==λX D ， 所以 622)]([)()(222=+=+=X E X D X E2)(21)221()(22+=+=X E X E Y E =52621=+⨯所以该柜台每小时的平均销售情况E （Y ）=52、设),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧<<<<--=othery x y x y x f ,010,10,2),(求：)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D ，),cov(Y X ，),(Y X ρ解：)(X E =⎰⎰=--1010125)2(dy y x x dx ， )(Y E =⎰⎰=--1010125)2(dy y x y dx)(XY E =⎰⎰=--101061)2(dy y x xy dx ， )(2X E =⎰⎰=--10102123)2(dy y x x dx)(2Y E =⎰⎰=--10102123)2(dy y x y dx ，)(X D =14411)125(123))(()(222=-=-X E X E )(Y D =14411)125(123))(()(222=-=-Y E Y E),cov(Y X =144112512561)()()(-=⨯-=-Y E X E XY E ),(Y X ρ=)()(),cov(Y D X D Y X =1111441114411441-=-。