第四章随机变量的数字特征【基本要求】理解随机变量的数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算方法；掌握计算随机变量函数的数学期望方法；掌握二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差；了解协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法。

【本章重点】数学期望与方差的概念、性质与计算方法；求随机变量函数的数学期望的方法；二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差。

【本章难点】数学期望与方差的概念计算方法；随机变量函数的数学期望的计算方法；协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法【学时分配】7-9学时分布函数:)xF≤=——全面描述随机变量X取值的统计规律。

但是，在实际问题中PX)((x分布函数的确定并不是一件容易的事，而且有时我们也不需要知道分布函数，只需知道随机变量的某些数字特征就够了。

例如：评价粮食产量，只关注平均产量；研究水稻品种优劣，只关注每株平均粒数；评价某班成绩，只关注平均分数、偏离程度；评价射击水平，只关注平均命中环数、偏离程度。

描述变量的平均值的量——数学期望，描述变量的离散程度的量——方差。

§4.1 数学期望教学目的：使学生理解掌握随机变量的数学期望的实际意义及概念，会计算具体分布的数学期望；使学生理解掌握随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。

教学重点、难点：数学期望的概念及其计算；随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。

教学过程：(一) 数学期望的概念先看一个例子:一射手进行打靶练习,规定射入 区域2e 得2分, 射入区域1e 得1分,脱靶即射入区域0e 得0分.设射手一次射击的得分数X 是一个e 0 随机变量，而且X 的分布律为P{X=k}=k p ,k=0,1,2现射击N 次，其中得0分0a 次，得1分1a 次，得2分2a 次，0a +1a +2a =N.则他射击N 次得分的总和为0a 0+ 1a 1+ 2a 2,他平均一次射击的得分数为∑==⨯+⨯+⨯2210210k k N ak N a a a ，因为当N 充分大时, 频率k p 概率稳定值−−→−N a k 。

所以当N 充分大时, 平均数∑=−−→−2k k k p x x 稳定值。

显然,数值∑=2k k k p x 完全由随机变量X 的概率分布确定,而与试验无关，它反映了平均数的大小。

定义:1.离散型随机变量的数学期望:设离散型随机变量X 的分布律为{}k k P X x p ==，1,2,3k =…若级数1k k k x p ∞=∑绝对收敛，则称级数1k k k x p ∞=∑为随机变量X 的数学期望，记为()E X ,即()E X ＝1k k k x p ∞=∑。

2.连续型随机变量的数学期望:设连续型随机变量X 的密度函数为()f x ，若积分()xf x dx ∞-∞⎰绝对收敛，则称积分()xf x dx ∞-∞⎰的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。

即()E X ＝()xf x dx ∞-∞⎰。

数学期望简称期望，又称为均值。

(二) 数学期望的计算关键是：求出随机变量的分布律或者密度函数。

1、离散型——若则()E X ＝1k k k x p ∞=∑ （绝对收敛）2、连续型——若X ～ 密度函数，则()E X ＝()xf x dx ∞-∞⎰ （绝对收敛）例1 甲、乙两个工人，生产同一种产品，在相同条件下，生产100件产品所出的废品数分别用X 、Y 表示，它们的概率分布如下：问这两个工人谁的技术好?解: ()E X ＝00.710.120.130.10.6⨯+⨯+⨯+⨯=,()E Y ＝00.510.320.2300.7⨯+⨯+⨯+⨯=甲工人生产出废品的均值较小，甲的技术好。

例2 有5个相互独立工作的电子装置，它们的寿命X k (k=1,2，3，4，5)服从同一指数分布，其概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,0,1x x e x f x θθ，0>θ，(1)若将这5个电子装置串联连接组成整机，求整机寿命（以小时记）N 的数学期望。

(2)若将这5个电子装置并联连接组成整机，求整机寿命（以小时记）M 的数学期望。

分析:5个电子装置串联，整机寿命{}54321,,,,min X X X X X N =，并联，整机寿命{}54321,,,,max X X X X X M =，要求N ，M 的数学期望，关键求N,M 的密度函数).(),(max min x f x f解: (1)k X ()5,4,3,2,1=k 的分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1x x e x F x θ。

因为5个电子装置串联，所以整机寿命{}54321,,,,min X X X X X N =的分布函数为()()[]⎩⎨⎧≤>-=--=-.0,0,0,11155min x x e x F x F x θ，因而N 的概率密度为()⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,55min x x e x f x θθ，于是N 的数学期望为,()5)(055min θθθ===⎰⎰+∞-+∞∞-dx e x dx x xf N E x 。

(2) 因为5个电子装置并联，所以整机寿命{}54321,,,,max X X X X X M =的分布函数为()()[][]⎪⎩⎪⎨⎧≤>-==-.0,0,0,155max x x e x F x F x θ，因而N 的概率密度为 ()[]⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=--.0,0,0,145m ax x x e e x f xx θθθ，于是N 的数学期望为()[]θθθθ601371)(045max =-==⎰⎰+∞--+∞∞-dx ee x dx x xf N E xx 。

我们可以看到()()4.11≈N E M E ，即5个电子装置并联联接工作的平均寿命是串联联接工作的平均寿命的11.4倍。

例3 按规定，某车站每天8:00~9:00,9:00~10:00都恰有一辆客车到站，但到站的时间是随机的，且两者到站的时间相互独立。

其规律为分析 ：第一车8:30到站10分钟,第一车8:50到站30分钟解 设旅客候车的时间为X(以分记)，则X 的的可取值为10、30、50、70、90. 且 P{X=10}=P “第一班车8：30到站”=63. P{X=30}= P “第一班车8：50到站”=62.P{X=50}= P “第一班车8：10到站，且第二班车9：10到站”= 3616161=⨯P{X=70}= P “第一班车8：10 到站，且第二班车9：30到站” = 3636361=⨯P{X=90}= P “第一班车8：10 到站，且第二班车9：50到站” = 3626261=⨯即X 的分布列为X 的数学期望为所以若旅客8:20到站，则他候车时间的数学期望为27.22(分)。

例4 一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽验N 个人的血，可以用两种方法进行。

（1）将每个人的血分别去验，这就需验N 次。

（2）按k 个人一组进行分组.把k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果这混合血液显阴性反应，就说明k 个人的血都显阴性反应，这样，这k 个人的血就只需验一次。

若显阳性，则再将对这k 个人的血液分别进行化验，这样，这k 个人的血总共要化验k+1次,假设每个人化验显阳性的概率为p ，且这些人的试验反应是相互独立的。

试说明当p 较小时，选取适当的k ，按第二种方法可以减少化验的次数。

并说明k 取什么值时最适宜。

解 若按第二种方法，以k 个人为一组进行化验，记1-p=q ，设组内每个人化验的次数为X ，则X 的可取值为kk k 1,1+.由于各人是否显阴性是相互独立的，所以：P{kx 1=}= P “k 个人的混合血显阴性”= P “k 个人的血都显阴性”=P{kk x 1+=}=P （k 个人的混合血显阳性）= P （k 个人的混合血不阴性）=k q -1 故每个人化验次数X 的期望值为：当时，在普查中平均每人的化验次数就小于1，从而第二种方法可以减少化验的次数。

显然，p 愈小这种方法愈有利。

当p 已知时，可选定使kq k 1-达最大即达最小，以个人为一组进行化验，将能最大限度地减少化验次数。

例如p=0.1即q=0.9时可用赋值法求函数kq k 1-的最大值：可见，当k=4时，函数kq k -有最大值0.4，说明以4个人为一组进行化验能减少40%的工作量。

（三）随机变量函数的数学期望1、已知X 的分布，求Y=g(X) 的数学期望E(Y)我们经常需要求随机变量的函数的数学期望，例如飞机机翼受到压力W=kV 2（V 是风速，k>0 是常数）的作用，需要求W 的数学期望，这里W 是随机变量V 的函数。

这时，可以通过下面的定理来求W 的数学期望。

定理 设Y 是随机变量X 的函数，()Y g X =（g 是连续函数）（1） X 是离散型随机变量，它的分布律为{}k k P X x p ==，k ＝1，2，3，…，若1()k k k g X p ∞=∑绝对收敛，则有()[()]E Y E g x ==1()k k k g x p ∞=∑（2） X 是连续型随机变量，它的概率密度为()f x ，若()()g x f x dx +∞-∞⎰绝对收敛，则有()[()]E Y E g x ==()()g x f x dx +∞-∞⎰证明： 设X 是连续型随机变量，且y=g(x)满足第二章§5中定理的条件。

由第二章§5中的（5.2）式知道随机变量Y=g(X)的概率密度为⎩⎨⎧<<= . ,0),('|)]([)(其它βαy y h y h f y f x Y 于是，E （Y ）= ⎰⎰=∞∞-βαdyy h y h yf dy y yf x Y |)('|)]([)(当)(y h '恒>0时，E （Y ）= ⎰⎰∞∞-=.)()(|)('|)]([dx x f x g dy y h y h yf x βα当)(y h '恒<0时，E （Y ）=⎰⎰⎰-∞∞∞∞-=-=-.)()()()()(')]([dx x f x g dx x f x g dy y h y h yf x βα综合上两式，（1.4）得证。

上述定理还可以推广到两个或两个以上随机变量的函数的情况。

给出如下结论： 设Z 是二维随机变量(,)X Y 的函数(,)Z g X Y =,其中g 是二元连续函数， （1）设(,)X Y 是离散型，其分布律为,{}i i ij P X x Y y p ===，,i j ＝1，2，3，…，则当级数11(,)i i ij i j g x y p ∞∞==∑∑绝对收敛时，有()[(,)]E Z E g x y ==11(,)iiiji j g x y p∞∞==∑∑（3） 设(,)X Y 是连续型，密度函数为(,)f x y ，则当积分(,)(,)g x y f x y dxdy +∞+∞-∞-∞⎰⎰绝对收敛时，有()[(,)]E Z E g x y == (,)(,)g x y f x y dxdy +∞+∞-∞-∞⎰⎰例5 设风速V 在（0，a ）上服从均匀分布，即具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0,a v 01)(其它，a v f又设飞机机翼受到的正压力W 是V 的函数：2kV W =（V 是风速，k>0 是常数），求W 的数学期望。