x
这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外 都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数列xn 中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定 的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。 注意： 数列极限的定义未给出求极限的方法.
n
0, NN, 当nN时, 有|xn-a| . lim xn = a
当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn 无限接近 于常数a, 则数列{xn}收敛a. a为它的极限. •分析 当n无限增大时, xn无限接近于a . 当n无限增大时, |xn-a|无限接近于0 . 当n无限增大时, |xn-a|可以任意小,要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先给定的任意 小的正数. 因此,如果 n 增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先 给定的任意小的正数,则当n无限增大时, xn无限接近于常 数a.
面积数列将渐趋稳定于某个数a.换句话说,“割之弥细”,用圆的内
接正多边形的面积近似代替圆的面积,而圆的面积“所失弥少”,当 “割之又割,以至于不可割,”这一串圆的内接正多边形的极限位置
“则与圆合体”.此时,这一串圆的内接正多边形的面积数列稳定于
某个数a,a就应该是该圆的面积.只有在无限的过程中,才能真正做 到“无所失矣”.
没完没了的变化下去,人们永远也认识不了圆的面积,但是飞跃
式的思维方法,不仅使人们看到数列{Pn}的变化是没完没了,永 无终结的.同时它又使人们看到了无限变化过程中飞跃式的“终
结”,从而人们也就认识了圆的面积。这就是极限的思想和方法
在计算圆的面积上的应用。
根据以上的分析，圆的面积可以这样定义：若圆 的内接正多边形的面积数列 {Pn} 稳定于某个数a（当
是ε的相对固定性。ε的二重性体现了xn 逼近a时
要经历一个无限的过程（这个无限过程通过ε的任 意性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现， 而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通 过ε的相对固定性来实现）。
n
lim xn = a 0, NN, 当nN时, 有|xn-a| .
接多边形的周长组成的）数列 .
A
E
B
an+1
D
an
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R


正 6 2 n -1 形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An ,
S
那么这一串圆的内接正多边形与该圆有什么关系呢？
刘徽说:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与 圆合体而无所失矣.”很明显,当圆的内接正多边形的边数成倍无限 增加时,这一串圆的内接正多边形将无限地趋近该圆周.从内接正多 边形的面积来说,当边数n无限增大时,这一串圆的内接正多边形的
(iii)定义中的N是一个特定的项数，与给定的ε有关。
重要的是它的存在性，它是在ε相对固定后才能确定
的，且由|xn－a|＜ε来选定，一般说来，ε越小，N越大， 但须注意，对于一个固定的ε，合乎定义要求的N不是 唯一的。用定义验证xn 以a 为极限时，关键在于设法 由给定的ε，求出一个相应的N，使当n ＞N时，不等式
n
以下几种叙述与极限 lim xn = a 的定义是否等价?并说
明理由. (1) 0, N N ,当n N时, 有 xn - a ;
(2)k N , N k N , 当n N k时, 有 xn - a 1 ; k
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
1 1 °、 n 随 n 增大而 减 小，且无限接近于常数 0 ； 分析： 2 2 °数 轴 上描点，将其 形象 表示：
18
-1 0 1 /4 1/2
1
例 2 三国时期，我国科学家刘徽 就提出了“割圆求周”的思想 :用 直径为 1 的圆周分成六等份，量得圆内接正六边形的周长,再平分各弧 量出内接正十二边形的周长，这样无限制的分割下去， 就得到一个( 内
n无限增大时），则称a是该圆的面积。
一般地,若数列{xn},当n无限增大时,稳定于某个常
数a,称数列{xn}收敛, a为数列{xn}的极限.
数列极限的通俗定义 当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近
于常数a, 则常数a称为数列{xn}的极限, 或称数列{xn}收敛
a, 记为
n
截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 1 第一天截下的杖长为X 1 = ; 2 1 1 第二天截下的杖长总和 X 2 = 2 ; 为 2 2


1 1 1 第n天截下的杖长总和为X n = 2 n ; 2 2 2 1 Xn = 1 - n 1 2
18
1
0.8
0.6
量地刻画了xn与a之间的距离任意小,即任给ε>0标
志着“要多小”的要求，用n＞N表示n充分大。这 个定义有三个要素：10，正数ε，20，正数N，30， 不等式|xn－a|＜ε（n ＞N）
n
lim xn = a 0, NN, 当nN时, 有|xn-a| .
(ii)定义中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二
{
1 1 1 1 1 } , , ,, n ,; 2n 2 4 8 2 1, -1, 1, , (-1)n1, .
数列 如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的 实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的一 般项. •数列的几何意义 数列{xn}可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴
两个“无限”:一个是“自然数n无限增大”;另一个是“xn无
限趋近于a”.而这两个“无限”又是数列极限定义的核心. 从字面来说,这两个“无限”似乎并不难理解,但要追究其实
质又觉得茫然.我们通过一些实例,逐步对无限有个全面正确
的认识,这是深刻理解数列极限定义的前提.
( -1)n-1 观察数列 1 当 n 时的变化趋势. n
1. 数列极限的概念
课题引入
1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。
数列 如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的 实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的一 般项. 数列举例: 1 2 3 n , , ,, ; 2 3 4 n 1 2, 4, 8, , 2n , ;
圆是曲边形,它的内接正多边形是直边形,二者有本质的区别.
但是这个区别又不是绝对的,在一定条件下,圆的内接正多边形
的面积能够转化成该圆面积.这个条件就是“当圆的内接正多边 形的边数无限增加时”,注意其中“无限”二字。因此在无限过 程中,直边形才能转化为曲边形,即在无限的过程中,由直边形的 面积数列{Pn}得到了曲边形的面积, 如果仅停留在有限过程或
将“xn 无限接近 a ”，数学“符号化” 为
ε “任给 ＞ 0 ，| x n - a |＜ ε ”
(2) 将“ n 无限增大 时 ”，数学“符号化” 为
“存在 N，当 n ＞ N ”时
极 (3)“抽象化”得“数列限 ”的定义
a 定义：设{ xn }是一个数列， 是一个确定的常数,若 对任给的正数ε， 总存在某一正整数 N，使得当 n＞ N时 ，都有 ε |xn- a |＜ a 则称数列 xn }收敛于a ， 为它的极限。记作 { lim xn =a (或 →a,n →) xn n
思考
1、第几项后面的所有项与1的差的绝对值小于0.01?
2、第几项后面的所有项与1的差的绝对值小于0.001？ 3、第几项后面的所有项与1的差的绝对值小于0.0001？ 4、第几项后面的所有项与1的差的绝对值小于任意小的正 数ε?
xn - 1 =
( -1)
n -1
1 1 1 1 给定 ,由 , 只要 n 100时, 有 x n - 1 , 100 n 100 100 1 给定 , 1000
|xn－a|＜ε成立。
(iv)定义中的不等式|xn－a|＜ ε（n ＞N）是指下面 一串不等式
| x N 1 - a |

| x N 2 - a |
| x N 3 - a |
都成立，
而对 | x1 - a | | x - a | N
则不要求它们一定成立
第二章 数列极限

数列极限概念

收敛数列的性质

数列极限存在的条件
第二章数列极限
教学目标：
1°使学生初步掌握数列极限这一重要概念 的内涵与外延； 2°使学生学会用定义证明极限的基本方法 3°通过知识学习，加深对数学的抽象性特 点的认识；体验数学概念形成的抽象化思 维方法；体验数学“符号化”的意义及 “数 形结合”方法； 4°了解我国古代数学家关于极限思想的论 述，增强爱国主义观念。
(v)数列极限的几何意义
0, N , 使得 N 项以后的所有项 x N 1 , x N 2 , x N 3 , 都落在a点的ε邻域 (a - , a )内 因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点
2
a- x2 x1 x N 1
a
a
x N 2 x3
lim xn = a .
下面我们对数列极限定义作几点说明：
(1)将上述实例一般化可得：
对于数列{xn }, 若存在某常数a,当n无限增大时, xn能无限 接近常数a, 则称该数列为收敛数列, a为它的极限.
我们在以前的学习生活中,很少遇到无限的数学模型,也 很少无限变化过程的实践.可是在数列极限的定义中,恰巧有
则称该数列为发散数列。 若数列 {xn } 没有极限，