n
1 4.K ，N 0, 当n N 时，有 | an a | , 则 lim an a n K 5.若数列{an },{bn }中有一个发散或两个发散，则{an +bn }， {an bn }， {an bn }都是发散的 6.若 lim an a b lim bn , 则必存在发散数列cn , 使N 0，
二. {an }收敛的充要条件、充分条件、必要条件 1. N 定义 2.所有子列都收敛于同一个数 3.所有子列都收敛 4.柯西收敛准则 5.奇子列与偶子列收敛于同一数 6.{an }单调有界（充分不必要） 7.迫敛性（充分不必要） 8.有界性（必要不充分）
三.重要结论
n 1 1 a 1.无穷小数列：q n (| q | 1), ( 0), n , n n! n! n 2.极限等于1的数列： a , n n , n an (其中an a )
1 1 注： 1 ln n是收敛的，其极限值称为欧拉常数 2 n
一.写出下列定义 1. {an }收敛 2.{an }发散 3.{an }收敛于a 4.{an }不收敛于a 5.{an }是无穷小数列 6.{an }是无穷大数列 7. {an }不是无穷大数列 8.{an }有界 9.{an }无界
例5 求下列极限
注：c 时定理不成立
a1 a2 an （1）已知 lim an a, 求 lim n n n
（2）设0 x1 1, xn 1 xn (1 xn )，求 lim nxn
n
当 n, m N 时, 有 | a n A | , | am A | . 2 2 由此推得
an am an A am A

2


2
.
注1 柯西收敛准则的意义在于: 可以根据数列通
项本身的特征来判断该数列是否收敛, 而不必依 赖于极限定义中的那个极限值 A. 这一特点在理
n n
当n N 有an cn bn
7.若n , an bn cn 且 lim( cn an ) 0, 则{bn }一定收敛
n
8.若 lim an a, 则 inf{an } a sup{an }
n
9.若{an }有二子列收敛于不同的数，则{an }必有子列发散 10.若{an }的所有子列都收敛，则它们的极限相同 11.若{an }是单调的且存在一个收敛子列，则{an }是收敛的 12.{an }收敛 0, N 0, 当n N , 有 | an 1 an | 13.{an }收敛 0, N 0, 当n N , 有 | an 1 an | 14.若{an }收敛,则{an }必有最大值或最小值 15.{an }是正无穷大数列当且仅当{a2 n 1},{a2 n }都是正无穷大 16. {an }各项皆为正数且极限是0，则{an }必有严格单调减 且极限是零的子列
sin1 sin 2 sin n 例1 设 xn 1 2 n , n 1, 2, . 2 2 2 求证 { xn } 收敛.
对任意 p + , 均有 0, N .
1 1 n . 证明 { xn } 例2 设 xn 1 , 1， 2 n 发散. 0 0 ， N 0 ， n0 N , p0 有 an0 p0 an0 0 .
1 n 3. lim(1 ) e n n Pk ( n ) 4. lim n Q ( n ) t
n
1 1 1 e 1 n n
n
n 1
1 5.an , 1时发散， 2收敛 k 1 k 6.an a则 | an || a |, 其逆仅当a 0时为真
论上特别有用, 大家将会逐渐体会到它的重要性.
注2 柯西准则的充要条件可用另一种形式表达为： 对任意 p + , 均有 0, N 0, 当 n N 时， | an an p | . 注3 {an } 不收敛的充要条件是:
存在正数 0 ，任意 N 0 ，存在 n 0 , m0 N , 有 an0 am0 0 .
cn 例3 设an , c 0, n ,求{an }的极限 n!
例4 xk 1
1 2 2 xk 2 , x1 1，求证： lim xk 3 2 k 3 xk
2.Stolz定理： an 0 * 设{bn }是严格单调数列，且 是 型或 型极限， bn 0 an 1 an lim c, 其中c 或者c 或者c n b n 1 bn an 则 lim c n b n
三、柯西收敛准则
定理 2.11 数列 {an }收敛的充要条件是:
对于 0 ，N 0 ，当 n, m N 时, 有
证：必要性
N 0,
an am .
柯西( Cauchy,A.L. 1789－1857 ,法国 )
an A. 由极限定义， 设 lim 0 , n
四.求数列极限的常用方法
1.利用迫敛性：
例1
n5 求 lim n n e 1 求 lim n n n!
例2
四.求数列极限的常用方法 2.递推式法： 已知xn 1 f ( xn )
（1）先需验证{xn }极限存在！
一般方法是验证数列单调有界 （2）设xn a, 再利用递推式求出或证出
§3 数列极限存在的条件
学过数列极限概念后，自然会产生两个 问题：一是怎么知道一个数列是收敛的? 即极限的存在性问题; 二是如何计算数列的 极限? 其中, 判断数列是否收敛, 这在极限 理论中占有非常重要的地位. 下面就极限存在性问题, 介绍三个重要定理. 一、单调有界定理 二、致密性定理 三、柯西收敛准则
7.无穷小量乘以有界量是无穷小量 8.保号性 9.保序性 10.四则运算性 11.有界数列必有收敛子列 12.改变数列的有限项不影响敛散性
三.判断下列说法是否正确，正确的说明理由， 错误的给出反例 1.若a的任一邻域内含有{an }的无穷多项，则数列收敛于a 2.若a的任一邻域外含有{an }的有限项，则数列收敛于a 3.N 0， 0, 当n N 时，有 | an a | , 则 lim an a