xN1,xN2,全 位 于 这 个 ;邻 域 内 只有有限 (至个 多只N个 有)落在其. 外
1
1
n
任意小，并保持任意小，毕
竟它们都还是确定的数.
对0, 要 使 1(1)n1 1才 行 .
n
由不等式有 1 ，故只须 n 1 即可.

n

即 对 0,自然数
[1
] ，当
n

[
1
]时，便有
1(1)n1 1 .
n
， ， 定量定义：若 对 0 ,总 N [1 ]当 n N 时 有

无限趋近于1，数1即所谓
(1)n1
1
n

的“极限”。
定性分析：当n无限增大时，1

(1)n1 n

无限趋近于1，数1即所谓
(1)n1
1
n

的“极限”。
定性分析：当n无限增大时，1

(1)n1 n

无限趋近于1，数1即所谓
此外，又因 是任意正数, 所以 2, 3, ,等
2
均可看作任意正数, 故定义 1 中的不等式
|ana|
可以用 |a na|K ( K 为某一正常数 ) 来代替.
再有, 我们还可以限定 小于某一个正数 ( 比如 < 1 ). 事实上, 对 0 < < 1 若能验证 { an } 满足 定义 1, 那么对 1 自然也可以验证成立.
与一切科学的思想方法一样，极限思想也 是社会实践的产物。极限的思想可以追溯到 古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上 的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的 穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人 “对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极 限”,而是借助于间接证法——归谬法来完 成了有关的证明。
无限与有限有本质的不同，但二者又有联 系，无限是有限的发展。无限个数的和不 是一般的代数和，把它定义为“部分和” 的极限，就是借助于极限的思想方法，从 有限来认识无限的。
1
n

的“极限”。
定性分析：当n无限增大时，1

(1)n1 n

无限趋近于1，数1即所谓
(1)n1
1
n

的“极限”。
定性分析：当n无限增大时，1

(1)n1 n

无限趋近于1，数1即所谓
(1)n1
1
§1 数列极限的概念
数列极限是整个数学分析最重要的基 础之一,它不仅与函数极限密切相关，而且 为今后学习级数理论提供了极为丰富的准 备知识.
一、数列的定义
二、一个经典的例子 三、收敛数列的定义
四、按定义验证极限
五、再论 “ - N ”说法
六、一些例子
极限思想：
1、割圆求周长
三国时期，数学
家刘徽应用极限
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
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“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
极限思想：
讨论圆内接正多边形与该圆周的关系
已知圆内接正多边形的周长 ln 未知的圆周长 l
（1）在任何有限的过程中，
R
即对任何确定的n， ln 皆为 l
的近似值；（2）在无限的过
程中，即当n无限增大时，l n 无限接近于常数 l 的精确值.
l是 ln 当n无限增大时的极限
圆面积亦如此.
量变和质变既有区别又有联系，两者之间 有着辩证的关系。量变能引起质变，质和量 的互变规律是辩证法的基本规律之一，在数 学研究工作中起着重要作用。对任何一个圆 内接正多边形来说，当它边数加倍后，得到 的还是内接正多边形，是量变而不是质变； 但是，不断地让边数加倍，经过无限过程之 后，多边形就“变”成圆，多边形面积便转 化为圆面积。这就是借助于极限的思想方法， 从量变来认识质变的。
1(1)n1 1. 则称数1是 n
1

(1)n1 n
的极限.

三、收敛数列的定义
一般地说,对于数列 { a n } , 若当 n 充分变大时, an 能无限地接近某个常数 a , 则称 { a n } 收敛于 a . 下面给出严格的“ - N ”数学定义.
定义1 设 {an} 为一个数列, a 为一个常数, 若对于
求 N 的 “ 最佳性 ” .
数列极限的几何解释:
由定 x n a 义 ， 得 a x n a .
ax N 3
a
x 2 x 1 xN1 a xN2 x 3 x
对任意给邻 定域 的 O(a,)(a, a), 总 存在xN项 ，第N项 以后 的 所 有项
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
极限思想方法是数学分析必不可少的一 种重要方法，也是数学分析与初等数学的本 质区别之处。数学分析之所以能解决许多初 等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、 曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问 题），正是由于它采用了极限的思想方法。
二、一个经典的例子
古代哲学家庄周所著的《庄子 ·天下篇》引用了 一句话: “一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”. 它的 意思是: 一根长为一尺的木棒, 每天截下一半, 这 样的过程可以无限制地进行下去.
n
10
即 自然数10，当n>10时，有
(1)n1
1
1
1 .
n
10
对 1, 1000
要
使 1(1)n1 n
1 1 10
, 0
只 0
须 n1
0
0.
0
对
1
, 要使 1(1)n1 1 1 , 只 须 n10000. 00
1000000
n
1000000
……
以上还不能说明
(1)n1
我们把每天截下部分 (或剩下部分) 的长度列出：
第一天截下 1 ,
1
2
第二天截下
1 22 ,
,
第n天截下
2 n , . 这样就得到一个数列:
11 2,22,
1 ,2n,
, 或 2 1n .
容易看出:
数列
1 2n
的通项21n
随着 n 的无限增
大而无限趋于 0 .
定性分析：当n无限增大时，1
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
任意的正数 0,总存在正整数 N, 使当 n >N 时,
|ana|,
则称数列{ a n } 收敛于a , 又称 a 为数列 { a n } 的极限, 记作 nli man a ( 或 a n a ,n ) . 若{ a n } 不收敛, 则称 { a n } 为发散数列.
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
n

的“极限”。
定性分析：当n无限增大时，1

(1)n1 n

无限趋近于1，数1即所谓
(1)n1
1
n

的“极限”。
定性分析：当n无限增大时，1

(1)n1 n

无限趋近于1，数1即所谓
(1)n1
1
n

的“极限”。
数学分析之数列极 限
极限的思想是近代数学的一种重要思想， 数学分析就是以极限概念为基础、极限理论 (包括级数)为主要工具来研究函数的一门学 科。