K 恰是由(13)右乘 H 中每个元素而形成的类:
113 13， 1213 123
(或者说是由(123)右乘 H 中每个元素而形成的类).同理, M 是由 (23)(或(132))右乘 H 中每个元素形成的类.
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总之,
中每个类,都是由本类中任取定一元素右
a 从右方去乘 H 时,则得到右陪集. 反之得到左陪集.
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例 1 设 H {(1), (12)},求 S3 关于 H 的所有左陪集以 及右陪集.
解
S3 {(1),(12),(13),(23),(123),(132)} ,
H 的所有左陪集为: (1) H (12) H {(1),(12)} H ;
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1
定理 2 设 H (1)
a Ha
G ,设 a, b G ,那么
.
(2) 对于陪集 Ha 和 Hb 而言,只有 二种关系：
Ha Hb
或
Ha Hb
(3)
G Ha
aG
.
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可以利用引例 2 作进一步的解释： 设 H S 3 ,其中 H 1, 12, 用 S3 中全部 6 个 元素做代表元,则变得 6 个陪集：
证明 设
从而知道, 任一陪集都与 都含有相同个数的元素.
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定理 设 为 的子群. 则 分别表示 , 则 是 到 (1) 如果 映射. (2) 任给 (3) 如果 , 有 , 那么 , 因此, 为满射. , 因此 , 从而得 为双射.即 在 中 的双射. , 那么 在 在 . 事实上 , 故 , 所以, . 于是, 为 到 的 中左陪集的个数与右陪集的个数相同. 中的左、右陪集所组成的集合. 令
本讲的重点和难点： 本节的内容中重点是对陪集概念的 了解和 lagrange 定理的应用，而难点在于 学会并掌握有关陪集理论的命题的证明。
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一、陪集的引入
引例 1 对整数加群 Z ,而言，取定模 4，则可确定 Z 的 一个分类： Z 4 0, 1, 2, 3。其中 Z 中的 4 个剩余类分别为：
aH bH a 1b H (或 b 1a H )．
5) 若 aH bH ，则 aH bH ． 证明 设 c aH bH ，则 c aH ， c bH ．于是 由 3)知 aH bH cH ． 这个性质表明，对任二左陪集来说，要么相等，要么无 公共元素(即其交为空集)．这样，群 G 中每个元素必属 于一个左陪集，而且不能属于不同的左陪集．因此， G 的全体不同的左陪集构成群 G 的元素的一个分类，而且 两个元素 a 与 b 同在一类当且仅当 a b H ．
G Ha1 Ha2 Ha3 Ha j
（其中 Ha1 H ）
由引理知, Ha1
Ha 2 Ha j n
所以 G Ha1 j N nj . 由上等式“ N nj ”知子群 H 的阶 n 是 G 的 阶 N 的因子，于是可得到下面的推论
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五、Lagrange 定理
定理 5 (Lagrange 定理) 设H
G
,如果 G N , H n ,
N nj.
且有 G : H j ,那么
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证明: G : H j ,这表明 H 在 G 中的右陪集只 有 j 个,从而有 G 的右陪集分解:
G H Ha1 Ha2 Ha3 Ham
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是群 G 的陪集分解,那么
G H a1 H a2 H a3 H am H
未必会是群的陪集分解.(即等号未必能成立). 四、右陪集与左陪集的对应关系
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定理 群 的任何两个陪集(包括左陪集与右陪集)含有相同个数的元素. 为 的子群, ; . 如果 使得 (h)=ah, 故 同理可证 , 也是双射. 含有相同个数的元素. 进而可知, 的任何两个陪集 , 则 为满射, 从而 . 故 为双射. 是单射. 又任给 ah∈aH,存在 , . 令
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第 12 讲
第二章 群 论
§7 子群的陪集
(2课时)
（Coset of subgroup）
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本讲的教学目的和要求： 在第一章中，我们曾介绍了集合的分类与集 合上的等价关系——互相兼容的两个代数概念。 本讲我们在群中引人一种特殊等价关系，由此对 该群进行分类——群的陪集分解。进而引出拉格 朗日（Lagrange）定理，得到了“每个子群（元 素）的阶都是有限群阶的因子” 这一重要结论。
乘 H 中每个元素而得到的. 上述二引例中,虽然一个是加群,另一个是乘群,但 它们的分类都有一个共同的特点： 分类中存在一个特殊的类是子群,而其余的类都 不是子群；每个类正好是这个子群中的所有元素都 加(乘)上这个类中任取定的一个元素. 具有上述特点的群分类正是本节中研究的主要内 容.(在下面的讨论中,都是在乘群上展开的).
i 0,1,2,3 . 中2016/1/30
引例 2. 给定三次对称群
S3 1, 12, 13, 23, 123132
的一个分类 H , K , M .其中
这三个分列为: H 1, 12， K 13, 123， M 23, 132 。 同上例一样可以发现： (1) 分类 中只有 H 是 S3 的子群，而 K , M 都不是 S3 的子群。 (2)
首先,从上全部陪集中看到：每个陪集的代表元 都含在该陪集内. 其次,上列中任二个陪集要么相等,要么不相交. 最后将上列不重复的全部陪集并起来后恰好等于 S3 . 注意：
aG
Ha 似乎表明为全部陪集的并，然而由集合
论的知识知道，只需取那些不重复的陪集作并即可，例 如 S3 中全部的右陪集共 6 有个，然而不重复的只有 3 个， 故
H 1 1, 12, H 13 13, 123 H 123 123, 13, H 12 12, 1. H 23 23, 132 . H 132 132, 23 .
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S H H 13 H 23 。
说明 在三次对称群的陪集分解式
S3 H H 13 H 132 中,
易发现,
S3 H 13H 132H .
这个事实告诫我们：群的陪集分解式一旦遇到边 旁过渡时(即以右(左)陪集过渡到左(右)陪集)陪集 的代表元可能要重新考虑,一般地,如果
a 1b H (或 b 1a H )．
证明 设 aH bH ，则 a1aH a1bH , H a1bH ．
1 1
于是由 2)知 a b H ．反之，若 a b H ，则依上倒 推回去即得 aH bH ．
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应注意，把 3)与 4)两条合起来，就是 定理 1 b aH ，即 a 与 b 属于同一个左陪集
证明 设 ,
左陪集的个数与右陪集的个数相同.
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定义 4 设 H
G ,那么 H
的右(左)陪集的个数叫
做 H 在 G 中的指数,记为 G : H . 在引例 1 中,令 H 0. 在引例 2 中,令
Z : H 4
H 1, 12, S3 : H 3 .
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定义 1 (集合的积)
设 X 和 Y 是群 G 的二个
非空子集,于是 X 与 Y 的积记为
XY xy x Z , y Y
特别地,如果 Y y是一个单元集,而设
X x1 , x2 , ,那么 X
与 Y 的积为
XY X y x1 y, x2 y,
(13) H (123) H {(13),(123)} ; (23) H (132) H {(23),(132)} ．
H 的所有右陪集为: H (1) H (12) {(1),(12)} ;
H （ 13） H (132) {(13),(132)} ;
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此时我们记 XY 为 Xy ,并称 Xy 为元素 y 右 乘 X 的积.
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定义 2 (子群的陪集) 设 G 为任意的群, H G 而 a G, 那么 1）形如 Ha 的子集,叫做子群 H 的一个右陪集,其中
a 叫做代表元.
2） 形如 aH 的子集叫做子群 H 的一个左陪集,其中 a 叫 做代表元. 由此可见,子群 H 的陪集正是 H 与元素 a 相乘的积,当
二、陪集的性质． 1) a aH ．同理， a Ha 。 证明 因为 H 是子群， e H ，故 a ae aH . 2) a H aH H ． 证明 设 aH H ．则由 1)知， a aH ，故 a H ． 反之，设 a H ，但因 H习中要求
（1）陪集的形成以及它们与母群的关系与子群 H 的 联系要分辩清楚。 （2）陪集和陪集的代表元所形成的系列性质，要能 掌握。 （3）群的陪集分解中对左右边旁的要求和注意事项 需要了解。 （4）Lagrange 定理和推论本身的掌握以及有关理 论应用需要掌握。
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G ,又设 a G ,那么“ Ha aH
”成立吗?
为什么?
答：由于 G 不一定是交换群,所以 Ha aH 未必成立. 比如,在引例 2 中, 123H 123, 23，而
H 123 123, 13， 123H H 123
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H (23) H (123) {(23),(123)} .