一、选择题 1.设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则=⋂(M N )ðA .{}12,B .{}23,C .{}2,4D .{}1,42.函数2(0)y x x =≥的反函数为A .2()4x y x R =∈B .2(0)4x y x =≥C .24y x =()x R ∈D .24(0)y x x =≥3.权向量a,b 满足1||||1,2a b a b ==⋅=-,则2a b +=A .2B .3C .5D .74.若变量x 、y 满足约束条件6321x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,则23z x y -+的最小值为A .17B .14C .5D .35.下面四个条件中,使a b >成立的充分而不必要的条件是 A .1a b >+ B .1a b >-C .22a b >D .33a b >6.设nS 为等差数列{}n a 的前n 项和,若11a =,公差为22,24k k d S S +=-=,则k=A .8B .7C .6D .57.设函数()cos (0)f x x ωω=>,将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则ω的最小值等于A .13B .3C .6D .98.已知二面角l αβ--,点,,A AC l α∈⊥C 为垂足,点,B BD l β∈⊥,D 为垂足,若AB=2,AC=BD=1,则CD=A .2B .3C .2D .19.4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门,则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 A .12种 B .24种 C .30种 D .36种10.设()f x 是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,()f x =2(1)x x -,则5()2f -=A .-12B .1 4-C .14D .1211.设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离12C C =A .4B .42C .8D .8212.已知平面α截一球面得圆M ,过圆心M 且与α成060,二面角的平面β截该球面得圆N ,若该球的半径为4,圆M 的面积为4π,则圆N 的面积为A .7πB .9πC .11πD .13π二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分把答案填在题中横线上(注意:在试..卷上作答无效......) 13.(1-x )10的二项展开式中,x 的系数与x 9的系数之差为: .14.已知a ∈(3,2ππ),tan 2,cos αα=则=15.已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 为C 1D 1的中点,则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为。
16.已知F 1、F 2分别为双曲线C : 29x - 227y =1的左、右焦点,点A ∈C ,点M 的坐标为(2,0),AM 为∠F 1AF 2∠的平分线.则|AF 2| = .三、解答题:本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17.(本小题满分l0分)(注意:在试题卷上.....作答无效....) 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知26,a =13630,a a +=求n a 和n S18.(本小题满分2分)(注意:在试题卷上作答无效.........) △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .己知sin csin 2sin sin ,a A C a C b B +-=(Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若75,2,A b a c ==求与19.(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立。
(I )求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种概率;(II )求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率。
20.(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作......答无效...) 如图,四棱锥S ABCD -中, AB CD ,BC CD ⊥,侧面SAB 为等边三角形,2,1AB BC CD SD ====.(I )证明:SD ⊥平面SAB ;(II )求AB 与平面SBC 所成的角的大小。
21.(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作......答无效...) 已知函数{}32()3(36)124f x x ax a x a a R =++---∈(I )证明:曲线()0y f x x ==在处的切线过点(2,2); (II )若0()f x x x =在处取得极小值,0(1,3)x ∈,求a 的取值范围。
22.(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 已知O 为坐标原点,F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点,过F 且斜率为-2的直线l 与C 交与A 、B 两点,点P 满足0.OA OB OP ++= (Ⅰ)证明:点P 在C 上;(II )设点P 关于O 的对称点为Q ,证明:A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上。
参考答案评分说明:1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。
2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给力,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分。
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4.只给整数分数,选择题不给中间分。
一、选择题1—6 DBBCAD 7—12 CCBACD 二、填空题13.0 14.55-15.23 16.6三、解答题17.解:设{}n a 的公比为q ,由题设得12116,630.a q a a q =⎧⎨+=⎩…………3分解得113,2,2, 3.a a q q ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或…………6分当113,2,32,3(21);n nn n a q a S -===⨯=⨯-时 当112,3,23,3 1.n n n n a q a S -===⨯=-时 …………10分18.解:(I )由正弦定理得2222.a c ac b +-=…………3分由余弦定理得2222cos .b a c ac B =+- 故2cos ,45.2B B ==︒因此…………6分(II )sin sin(3045)A =︒+︒sin 30cos 45cos 30sin 4526.4=︒︒+︒︒+=…………8分故sin 2613,sin 2A a b B +=⨯==+sin sin 602 6.sin sin 45C c b B ︒=⨯=⨯=︒…………12分19.解:记A 表示事件:该地的1位车主购买甲种保险;B 表示事件:该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险;C 表示事件:该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种;D 表示事件:该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买;E 表示事件:该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买。
(I )()0.5,()0.3,,P A P B C A B ===+ …………3分 ()()()()0.8.P C P A B P A P B =+=+= …………6分 (II ),()1()10.80.2,D C P D P C ==-=-= …………9分123()0.20.80.384.P E C =⨯⨯=…………12分(I )取AB 中点E ,连结DE ,则四边形BCDE 为矩形,DE=CB=2, 连结SE ,则, 3.SE AB SE ⊥= 又SD=1,故222ED SE SD =+, 所以DSE ∠为直角。
…………3分由,,AB DE AB SE DESE E ⊥⊥=,得AB ⊥平面SDE ,所以AB SD ⊥。
SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直。
所以SD ⊥平面SAB 。
…………6分(II )由AB ⊥平面SDE 知, 平面ABCD ⊥平面SED 。
作,SF DE ⊥垂足为F ,则SF ⊥平面ABCD ,3.2SD SE SF DE ⨯==作FG BC ⊥,垂足为G ,则FG=DC=1。
连结SG ,则SG BC ⊥, 又,BC FG SGFG G ⊥=,故BC ⊥平面SFG ,平面SBC ⊥平面SFG 。
…………9分作FH SG ⊥,H 为垂足,则FH ⊥平面SBC 。
37SF FG FH SG ⨯==,即F 到平面SBC 的距离为21.7由于ED//BC ,所以ED//平面SBC ,E 到平面SBC 的距离d 也有21.7设AB 与平面SBC 所成的角为α,则2121sin ,arcsin .77d EB αα===…………12分以C 为坐标原点,射线CD 为x 轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系C —xyz 。
设D (1,0,0),则A (2,2,0)、B (0,2,0)。
又设(,,),0,0,0.S x y z x y z >>>则(I )(2,2,),(,2,)AS x y z BS x y z =--=-,(1,,)DS x y z =-,由||||AS BS =得222222(2)(2)(2),x y z x y z -+-+=+-+故x=1。
由22||11,DS y z =+=得 又由222||2(2)4,BS x y z =+-+=得 即2213410,,.22y z y y z +-+===故 …………3分于是133333(1,,),(1,,),(1,,)222222S AS BS =--=-, 13(0,,),0,0.22DS DS AS DS BS =⋅=⋅=故,,,DS AD DS BS AS BS S ⊥⊥=又所以SD ⊥平面SAB 。
(II )设平面SBC 的法向量(,,)a m n p =,则,,0,0.a BS a CB a BS a CB ⊥⊥⋅=⋅=又33(1,,),(0,2,0),22BS CB =-=故330,2220.m n p n ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩…………9分取p=2得(3,0,2),(2,0,0)a AB =-=-又。
21cos ,.7||||AB a AB a AB a ⋅==⋅故AB 与平面SBC 所成的角为21arcsin.721.解:(I )2'()3636.f x x ax a =++-…………2分由(0)124,'(0)36f a f a =-=-得曲线()0y f x x ==在处的切线方程为 由此知曲线()0y f x x ==在处的切线过点(2,2)…………6分(II )由2'()02120.f x x ax a =++-=得 (i )当2121,()a f x --≤≤-时没有极小值;(ii )当2121,'()0a a f x >-<--=或时由得221221,21,x a a a x a a a =--+-=-++-故02.x x =由题设知2121 3.a a a <-++-< 当21a >-时,不等式21213a a a <-++-<无解。