第二ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ人寿保险的精算 现值
2020年4月23日星期四
人身保险是以人的寿命和身体为保险标的的保险。
人寿保险是人身保险的一种。
人寿保险转嫁的是被保险人的生存或者死亡的风险 。它起源于古代的互助团体，其原理是通过集合具 有同质风险的大量被保险人，通过在这些被保险人 之间进行风险分散——即由所有的被保险人共同出 资给遭遇风险的少数被保险人——来达到降低突发 风险事故对遭遇风险事故的个体造成的财务冲击。
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第二章 人寿保险的精算现值
• 解 : 设 Zj 表示第 j 个被保险人的死亡给付在投保时的现值随机变量 , 则
勇于开始，才能找到成 功的路
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第二章 人寿保险的精算现值
设该项基金在最初时的数额至少是 h 元 , 依题意 , 则
勇于开始，才能找到成 功的路
即该项基金在最初时的数额至少要有 449.35 元 , 比所收取的 建缴纯保费建立的初始基金 400(=100 × 4) 元多出 49.35 元 , 即超过歪缴纯保费基金的 12.34% 。这说明 , 最初基 金 需有风险附加费 ( 即安全附加费 ) 的存在 , 即该基金超过保费 总额的那部分 (49.35 元 ) 是 安全附加基金。
1. 按算术数列续年递增的终身寿险 按算术数列{n} 续年递增的连续型的终身寿险 , 可分
称现值函数随机变量Z的数学期望为保险的精算现值，也是趸缴纯保费额
于是
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第二章 人寿保险的精算现值
则连续型的保险金额为 1 个单位的 n 年定期寿险
现值随机变量 ZT 的方差是
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第二章 人寿保险的精算现值
一般情况下，统称bt为保额函数。相应地，用vt记贴现函数， 即将bt贴现到保险开始时的函数。通常假设贴现因子中的利率 为常数。
对于一份新发行的保单，因为保险事故发生的时间由随机变量 T(x)来描述，而保险利益的支付时间及其价值均与T(x)有关， 所以，可以定义相应的现值随机变量如下：
Z= bTvT
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第二章 人寿保险的精算现值
等额保险
• 本节讨论的寿险模型 , 其保险金是在被保险人的未来寿命 T= T(x) 时给付 , 即在被保险人死亡时立即给付。在寿险实务中 几乎所有保险都是如此。这 就是所谓的连续型的人寿保险 模型
• 死亡保险:
勇于开始，才能找到成
功的路
假设被保险人在投保 ( 或签单 ) 时的年龄为x 岁 , 保险金
[ 例] 设有 100 个相互独立的年龄都是 x 岁的被保险 人均投保保险金额为 10 元的连续型终身寿险 , 死力为 =0.04, 保险金将从按利力 =0.06 计息的投资基金 中支付。 试计算该项基金在最初 (t=0) 时 , 其数额至 少有多大 , 才能保证从该项基金中足以支付每 个被保 险人死亡保险金的概率近似为 95%。
• 例，设(x) 的未来寿命T=T(x)的密度函数是
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解 : 依题意 , 则有
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保险金给付现值的随机变量 ZT 的方差 , 对于 考虑经营该险种业务的财务稳定性具有重要的 指导意义。
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• 表示连续型的保险金额为 1 个单位的延期 h 年的 n 年 期定期寿险和延期 h 年的 n 年期两全保险的趸缴纯保 费分别为
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第二章 人寿保险的精算现值
• 例考察保险金额为 1 个单位的延期 5 年的终身寿险 , 设年 龄为 x岁的被保险人 , 其死力为常值μ =0.04, 利力 =0.10,Z 表示给付现值随机变量。试求 :
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等额保险
所谓等额保险，是指保险利益的金额在保险开始时 就已经固定，只是支付的时间不确定而已，支付时 间与保险事故发生的时间有关。
定期死亡保险 终身寿险 生存和两全保险 延期保险
定期死亡保险：考虑n年期定期死亡保险，这种保 险只有被保险人在保险开始后n年内死亡，保险公 司才对被保险人进行支付。
在被保险人未来寿命 T= T(x) 时的给付金额为 bt, 而 vt 是
在时刻 t 时给付 1 个单位金额在签单时的利息贴现系
数 ,ZT 是给付金额在签单时的现值。则现值随机变量
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第二章 人寿保险的精算现值
死亡保险
• 对于 (x) 投保连续型的保险金额为 1 单位的 n 年期定期寿险 , 其有关函数是
期望值 E(Z);(2) 方差 Var(Z);(3)中位数
解 : 依题意可知 , 未来寿命 T=T(x)的密度函数是
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第二章 人寿保险的精算现值
变额保险
对于连续型的非均衡给付保险 , 本文仅讨论递增非均衡 给付和递减非均衡给付中的两种特殊情形:1. 按算术数 列续年递增的终身寿险 ; 2. 按算术数列续年递减的终 身寿险。
本章的目的就是讨论各种人寿保险的模型和方法。
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第二章 人寿保险的精算现值
§2.1 连续型保险
所谓连续型保险，指的是在保险事故出现后立即支付保险利益 的保险，因为人寿保险一般以被保险人的死亡为保险事故，所 以有时又叫做在死亡即刻支付的保险。
在保险事故出现后，保险公司向被保险人（或其收益人）支付 的保险金为保险利益，保险利益一般为从保险开始（保单生效 ）后到保险事故出现之间的时间长度的函数，根据上一章的记 号，用t来记时间变量，相应的保险利益记为bt。
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第二章 人寿保险的精算现值
两全保险与延期寿险
• 对于 (x) 投保连续型的保险金额为 1 个单位的 n 年期两全保险 , 其给 付现值的随机变量
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第二章 人寿保险的精算现值
延期寿险
• 对于 (x) 投保连续型的保险金额为 1 个单位的延期 h 年的终身寿 险 , 其给付现值的随机变量是