第3章 习 题3.1 图3.9.1所示是时间t = 0时电压和电流的相量图。

已知U = 220 V ，I 1=10A ，I 2 = 52 A ，试分别用三角函数式及相量式表示各正弦量，并指出哪个超前？哪个滞后？ 解： 根据相量图和已知条件，可直接写出三角函数式为)u t ω=V190)i t ω︒=+ A 210sin(45)i t ω︒=- A则相量式为oo12220/0V10/90A 5A •U I I ∙===由上述可见，1I 超前U （90o ），U 超前I 2（45o ）。

3.2 已知正弦量0305j e I—= A 和4030j U-= V ，试分别用三角函数式、正弦波形及相量图来表示。

解：三角函数式为s i n (30)i t ω︒=-A53.1)u t ω︒=-V正弦波形图如下图（a ）所示，相量图如下图（b ）所示。

IU301.53(a) 正弦波形 (b) 相量图3.3 在图3.9.2所示电路中，已知通过t i L 314sin 210=A ，t u C 314sin 2220=V ，L = 70 mH ，C =64μF ，试分别计算在t =T/6，t=T/4和t=T/2瞬间的电流、电压及电动势的大小。

(a) (b)图3.9.1 习题3.1电路 图3.9.2 习题3.3电路解：在图（a）中，根据L i t =A ，则电感上的电压为 sin()m diu L LI t dtωωϕ==+ 代入数据，则o31490)u t -3=⨯70⨯10+= 90)t ︒+电感上电动势的参考方向与电压参考方向相反，因此90)L e u t ︒=-=-V当6Tt =时，A i =≈12.2，V u =≈156，156V L e =- 当4Tt =时，A i =≈14.1，0u =，0=L e当2Tt =时，0i =，V u =-≈-311，311V L e =在图（b）中，c V u t = 根据 o sin(90)Cm dui CCU t dtωω==+得到31490)i t -6︒=⨯64⨯10+ 则o 90)A i t ≈+当6Tt =时，V u =≈269，2211.2=i 12A .3≈ 当4Tt =时，V u =≈311，0i =当2Tt =时， 0u =，≈-=2421.4i 6.252AL ii C u3.4 在图3.9.3所示电路中，除A 0和V 0外，其余电流表和电压表的读数都在图上标出，试求各电流表A 0或各电压表V 0的读数，并画出它们的相量图(可以自己设一个基准相量)。

（a ） (b)(c) (d)图3.9.3习题3.4电路解：图（a）中，电路并联，则0A 8A ===图（b ）中，CL 并联，因两路电流方向相反，则2A =A -A 1046A =-=图（c ）中，RC 串联，因V 1滞后电流，则40V == 图（d ）中，RL 串联，则0V =相量图如下3.5 如果将36V 、10W 白炽灯接在50Hz 、220V 的正弦交流电源上工作，需要通过串联电阻、电感或电容的方法来降压。

试计算采用各种降压方法时所需的元件规格(即元件数值、额定功率及额定电压或额定电流)。

解：（1）白炽灯的额定电流为10W0.28A 36VP I U === 串联电阻后总阻抗为 220V 785.70.28AU Z I ===Ω 白炽灯的电阻为22(36V)129.610WU R P ===Ω灯 U RLA 图(a) U LC A 2A 1 A 0 图(b)I RCV 图(c)I RLV 图(d)所以在220V 电压下工作 ，应串联的电阻值及瓦数分别为 1785.7129.6656.1R Z R =-=Ω-Ω=Ω1210.280.28656.151.4W R P I R ==⨯⨯≈故选取的电阻规格为1656R ≈Ω、N 0.28A I =、152W R P ≥ （2）串入电感后的总阻抗为1Z 1220V785.70.28AU Z I ===Ω 所以应串电感量为L 774.9X ===Ω774.92.47H 2250L X L f ππ===⨯ 此时电路的有功功率仍为10W 。

（3）电容的容抗C X 对交流电流有阻碍作用，从理论上可以采用串联电容方式来给白炽灯降压。

但根据电容器电压不能跃变原理可知，在接入220V 电压的瞬间，由于电容器上的初始电压为零，使电源电压全降在白炽灯上，此时电流为220 1.7A 129.6U I R ===灯 此电流远超过白炽灯的额定电流，因此白炽灯会因发热过度而烧坏。

3.6 在图3.9.4(a)电路中，1和2元件相串联，经实验得到1u 和2u 的波形如图3.9.4(b)所示，已知屏幕横坐标为5ms/格，纵坐标为10V/格。

设1u 的初相位为零，(1)试写出1u 、2u 的瞬时表达式；(2)求电源电压u ，并画出所有电压的相量图。

(a) (b)图3.9.4 习题3.6电路和波形解：（1）由图（b ）可得T ＝20ms ，322100rad /s 2010T ππωπ-===⨯ 而 1u 幅值为30V ，o10ϕ=；2u 幅值为13V ，o 290ϕ=。

所以130sin(100)V u t π=1u 2u213s i n (10090)Vu t π=+（2） 由上述的电压瞬时表达式得到1U ∙=2U ∙=则1223/23.4V U U U ∙∙∙=+== 所以23.4)V u t π=+相量图如下：∙1U2∙U ∙U4.233.7日光灯管与镇流器串联接到交流电压上，可看作为一个RL 串联电路。

已知40W 日光灯的额定电压为220V ，灯管电压为75V ，若不考虑镇流器的功率损耗，试计算日光灯正常发光后电路的电流及功率因数。

解：正常发光时电流400.53A 75R P I U ==≈ 功率因数40cos =0.342200.53P UI ϕ=≈⨯3.8 将CJ0-10 A 交流接触器直接接到交流电压为380 V 的电源上，已知线圈电流为30 mA ，线圈电阻为1.6 k Ω，试求线圈电感(电源频率为50 Hz)。

解：接触器线圈可等效为电阻与电感串联的电路。

总阻抗为N L 3N 380j 12.7k 3010U Z R X I -||=|+|==≈Ω⨯其中， L X =L 2X fL π= 故电感量为40H L ==≈3.9 在RC 串联电路中，电源电压为u ，电阻和电容上的电压分别为u R 和u c ，已知电路阻抗模为22k Ω，频率为1kHz ，并设u 与i 之间的相位差为45º，试求：(1)R 和C ；(2)电源电压u 和电路电流i 。

解：（1）利用阻抗三角形与电压三角形相似关系，设以电流I 为基准相量，则可画出两个三角形如下图所示。

R∙RU |Z|C X ∙U∙CU45由上图可知3210R ===⨯Ω30210C X ===⨯Ω则电容量为110.08μF 210002000C C X ωπ==≈⨯⨯ （2）因为0R R U U ∙︒=∠，/90C C U U ∙=-，所以U∙=V 则 os i n (200045)V u t π=-/0/45UI I Z ∙∙====-A 2000A i t π=3.10 图3.9.5电路是由两个元件串联组成的无源二端网络，输入端的电压和电流为 ）（030314sin 2220-=t u V ）（015314sin 210+=t i A试求这两个元件的参数值，并求此二端网络的功率因数及输入的有功功率和无功功率。

解：先将电压及电流作相量变换为220/30V ,10/15AU I ∙∙=-=则二端网络的等效阻抗为220/3022/4510/15UZ I∙∙-===-Ω15.6j 15.6≈-Ω则参数为15.6R =Ω，感抗15.6L X =Ω。

则由电感定义得到电感量为12L L X fπ=，于是15.60.113H 138.16L =≈故该二端网络的等效电路为RL 串联电路。

功率因数 15.6cos 0.722R Z ϕ==≈ L 15.6X =Ω 因此有功功率 c o s 220100.7154P U Iϕ==⨯⨯= 无功功率 22L sin 1015.61560W Q UI I X ϕ===⨯=3.11 在图3.9.6所示电路中，电流表A 1和A 2的读数分别为I 1＝6A ，I 2＝8A 。

(1)设Z 1＝R ，Z 2＝一j X c ，则电流表A 0的读数应为多少？(2)设Z 1＝R ，问Z 2为何种参数才能使电流表A 0的读数最大，且读数为多少？(3)设Z 1＝j X L ，问Z 2为何种参数才能使电流表A 0的读数最小，且读数为多少？图3.9.5 习题3.10电路 图3.9.6 习题3.11电路解：120A I I ∙∙=+()016j810A A =+=(2)当2Z 为电阻时，06814A A =+=为最大。

(3)当2Z 为C j X -时，0j6j82A A =-+=为最小。

3.12 图3.9.7所示为RC 移相电路。

如果C =0.1 uF ，输入电压t u 2000sin 221=V ，今欲使输出电压u 2在相位上后移30°，此时应配多大的电阻R ？且U 2的有效值为多少？解：电容与电阻串联的等效阻抗为j C Z R X =-由题意得知阻抗角为30ϕ=，故tan CX Rϕ=，所以 6118660tan 20000.110tan 30R C ωϕ-==≈Ω⨯⨯⨯将电容和电阻看作两个阻抗串联，则由分压公式得到电容上分压2u 为6C 21C61j2/0j 20000.110/60j 866020000.110X U U R X j∙∙---⨯-⨯⨯=⨯==---⨯⨯V 所以输出电压的有效值21V U =。

3.13 图3.9.8所示为桥式移相电路。

当改变电阻R 时，可改变控制电压u g 与电源电u 之间的相位差θ，但电压u g 的有效值是不变的，试证明之(Tr 为变压器，是电感性元件)。

图3.9.7 习题3.12电路 图3.9.8 习题3.13电路 解：由KVL 定律：R C2U U U ∙∙∙+=，且R U ∙与C U ∙相差90 相位。

由于R U ∙，C U ∙，2U ∙都是交变电压，所以R C 22U U U U ∙∙∙+===所以()222R C 2U U U +=即满足相量图上，R U 与C U 的公共点在以2U 为直径的圆上。

由KVL 定律：g R U U U ∙∙∙=-，则如下图所示。

在相量图中θ为g U ∙相位，显然g U U ∙∙=，但相位可以改变。

3.14 在图3.9.9(a)、(b)电路中，试用频域法的传递函数证明图(a)为低通滤波器和图(b)为高通滤波器，其中ω0＝LR 。