(0) (0) ( x)dx E1(1) n ( x)* H n 0 a
1 2V1 2 a / 3 2 x 3 sin dx V1 。 a a/3 a 3 2
二、（共 30 分） 粒子在势场 V ( x) 中运动并处于束缚定态 n ( x) 中。 试证明粒子所受势 场作用力的平均值为零。 ˆ为 解：粒子所受势场作用力的算符 F 1 ˆ d V ( x) 1 [ p ˆ]， ˆ x , V ( x)] [ p ˆx, H F dx i i ˆ 1 [p ˆ ] 1 * ( x)[ p ˆ ] ( x)dx 0 。 ˆx, H 于是， F n n ˆx, H i i 三、（共 30 分）
1 ( x1 )2 ( x2 ) 00 1 ( x1 )2 ( x2 ) 1s ，有 8 重简并。 ( ) ( ) 00 x x 2 1 1 2 2 ( x1 )1 ( x2 ) 1s 1 b) 自旋 的二个全同粒子，总波函数必须是对称的。故基态：总能量为 2 E1 ，波 2 函数为 1 ( x1 )1 ( x2 ) 00 ，非简并。 1 ( x ) ( x ) 1 ( x2 )2 ( x1 ) 00 2 1 1 2 2 第一激发态：总能量为 E1 E2 ，其波函数为 ， 1 ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) 1s 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 n x sin , (0 x a ) n 2 2 2 (0) 4 重简并。 其中 n ( x) a ，En ，n 1, 2,3 。 a 2ma 2 0, ( x 0, x a ) 00 代表二粒子自旋单态， 1s ( s 0, 1) 代表自旋三重态。
1 ˆy Bs ˆz 的本征值及归一化的 ˆ2 , s ˆz 表象中求算符 As a) 考虑自旋为 的系统。 试在 s 2 ˆy , s ˆz 是角动量算符，而 A, B 为实常数。 本征态。其中 s ˆy 得到结果为 的概率。 b) 假定此系统处于以上算符的一个本征态上，求测量 s 2 解： ˆ As ˆ B iB 。 ˆy Bs ˆz ，则在 s ˆ2 ， s ˆz 表象中有 T a) 设 T 2 iA B a 设本征值为 ，有 A2 B 2 。设 为归一化的本征态， a 2 b 2 1 ， 2 b
参考答案：2007 量子力学 A
第2页
共3页
五、（共 30 分）一个质量为 m 的粒子被限制在 r＝a 和 r＝b 的两个不可穿透的同心球 面之间运动。不存在其它势，求粒子的基态能量和归一化波函数。 解： u (r ) 波函数可设为， (r ) R(r )Y ( , ) ，设 R (r ) ， 。 r d 2 u 2m l (l 1) u (r ) 0 ， 则 u (r ) 满足约化径向方程 2 E V (r ) 2 dr r2 r a , r b 其中 V (r ) 。 0 ar b
中国科学院研究生院 2007 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 参考答案：量子力学 A 卷
考生须知：
1. 2. 本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、（共 30 分）在一维无限深方势阱（ 0 x a ）中运动的粒子受到微扰 0, 0 x a / 3, 2a / 3 x a H ( x) a / 3 x 2a / 3 V1 , 作用。试求基态能量的一级修正。 n 2 2 2 (0) ， n 1, 2,3 。相应的能量本征函数为 解：能级 En 2ma 2 2 n x sin , (0 x a) (0) n ( x) a 。 a 0, ( x 0, x a) 因此基态能级的一级修正为
其中 k
又由归一化条件 R 2 (r )r 2 dr u 2 (r )dr 1 ，得 A
0 0径向波函数为 2 1 sin( )(r a), ar b R1 ( x) b a r 。 ba 0, 0 r a, r b 1 又由 Y00 ( , ) ，最后求得归一化的总波函数为 4 2 1 sin (r a ) , ar b 。 100 (r ) 2 (b a) r b a 0, 0 r a, r b
u(r ) k 2u (r ) 0, a r b 对于基态 l 0 ，则方程变为 u |r a u |r b 0 , u (r ) 0, r a, r b
2mE 。其通解为 u (r ) A sin(kr ) ， a r b 。由边界条件可以定解。由 2 n u |r a 0 得 ka ；由 u |r b 0 得 k ， n 1, 2 。 ba 2 2 2k 2 2 n 2 2 E 故 En ， 。因此基态能量 。 n 1, 2 1 2m 2m(b a ) 2 2m(b a ) 2
iA


。 A2 B 2
ˆy P s
2
2
2 2 1 B A A B 。 2 A2 B A 2 B 2



1 1 ˆy 的概率为 ，故发现 s 2 2 i
2

四、（共 30 分）两个无相互作用的粒子置于一维无限深方势阱（ 0 x a ）中，对下列 两种情况写出两粒子体系可具有的两个最低总能量，相应的简并度以及上述能级对 应的所有二粒子波函数。 1 a) 两个自旋为 的可区分粒子； 2 1 b) 两个自旋为 的全同粒子。 2 解： 1 a) 对于自旋 的二个可区分粒子，波函数不必对称化。 2 ( x ) ( x ) 00 ( s 0, 1) ，有 4 重简并。 其基态：总能量为 2 E1 ，而波函数为 1 1 1 2 ( ) ( ) 1 x x s 1 1 1 2 第一激发态：总能量为 E1 E2 ，其波函数为
参考答案：2007 量子力学 A
第1页
共3页
B iB a a 则有本征方程 iA B b b 1 A2 B A2 B 2
1
解得本征态为
2 2 B ˆ2 ， s ˆz 表象中， s ˆy 的本征态为 s ˆy b) 在 s 2
参考答案：2007 量子力学 A
第3页
共3页