§3 状态空间模型
线性系统的两 种基本数学描 述及其特点
外部变量
u1 u2 up
x1, x2 ⋯ xn
⋮
(内部变量)
⋮
y1 y2 yq
输入-输出描述 输入 输出描述（微分方程描述或传递函数描述）：将系统看成一个“黑 输出描述 箱”，只反映系统外部输入变量与输出变量之间的因果关系，不去表征 系统的内部结构和内部变量。它是一种不完全的描述，具有完全不同内 部结构的两个系统也可能具有机同的外部特性。 内部描述（状态空间描述）：是一种对系统的完全的描述，能完全表征 内部描述 系统的所有动力学特征。它实现了各种不同的系统（单变量，多变量， 时变，时不变，线性，非线性等）描述形式的统一。适合描述复杂的动 态系统。它的出现，推动了控制理论的发展，实现了由古典控制理论向 现代控制理论的过渡。
C = [b0 b1 ] = [− 23 3],
状态模型为：
1 x1 (t ) 0 d x1 (t ) 0 = x (t ) − 5 − 1 x (t ) + 1u (t ) dt 2 2 x (t ) y (t ) = [− 23 3] 1 + 4u (t ) x2 (t )
的状态模型表示。 解：1） m=1,n=2且 a0 = 2, a1 = 3, b0 = −3, b1 = 1.
0 A= − a0 1 0 1 0 B = , = , − a1 − 2 − 3 1 C = [b0 b1 ] = [− 3 1], D = 0
10 先讨论简单情形，设输入-输出微分方程为
y ( n ) + an−1 y ( n−1) + ⋯ + a1 y '+ a0 y = u
这时令： 得状态方 程：
（4）
x1 = y, x2 = y ' ,⋯, xn = y ( n −1)
dx1 dt = y ' = x2 dx 2 = y ' ' = x3 dt ⋯ dxn−1 = y ( n−1) = xn dt dx (n) n = y = − a0 x1 − a1x2 − ⋯ − an −1xn + u dt
−1
代入公式(3)得
s − 1 − 1 1 2s 2 + 2s − 3 G ( s ) = [1 − 1] − 1 + 2 = s + 1 s2 −1 0
则其输入-输出方程为:
y ' '− y = 2u ' '+2u '−3u
(2) 化输入—输出模型为状态模型(仅 讨论单输入-单输出情形)
y = bm ~ ( m ) + bm−1 ~ ( m−1) + ⋯ + b0 ~ y y y = b0 x1 + b1x2 + ⋯ + bm xm+1
这就是要求的输出方程。 所以，当 m < n 时，系统的状态模型中 A, B, D同10 （不变），而 C 变为：
C = [b0 b1 ⋯ bm 0 ⋯ 0]
T
几点说明： 几点说明： 状态向量 X (t )在 t ≥ t0 的值完全由 X (t0 ) 和输入 u (t ), t ≥ t0 所唯一确定， 而与 t0 时刻以前的状态值无关。 对于一个给定系统，状态变量的选取不是唯一的。 实际工作中总是尽量选择一些易测的量作为状态向量中的某些分 量，以便用来作为反馈控制的直接依据。
状态模型为：
1 x1 (t ) 0 d x1 (t ) 0 = + u (t ) dt x2 (t ) − 2 − 3 x2 (t ) 1 x1 (t ) y (t ) = [− 3 1] x2 (t )
这时，状态方程不变（同上），而输出方程变为：
y (t ) = [b0 − bn a0 , b1 − bn a1, ⋯, bn −1 − bn an −1 ]X (t ) + bnu (t )
Example
分别求传递函数
和 2）
4 s 2 + 3s − 3 G(s) = 2 s + 7s + 5
s −3 G(s) = 2 1） s + 3s + 2
（输出-输入矩阵）
状态模型的矩阵表示为：
d X (t ) = AX (t ) + BU (t ), X (0) = X 0 dt
显然，该系统完全由矩阵 A, B, C , D 所确定。以后我们以{ A, B, C , D }形 式来简记该系统。 系统 {A, B, C , D} 称为线性定常系统 线性定常系统；如果各矩阵诸元素为时间 t 的函数， 线性定常系统 则系统 {A(t ), B(t ), C (t ), D(t )} 称为线性时变系统 线性时变系统。 线性时变系统
改写为：
Y (s) U ( s) = n m m −1 bm s + bm −1s + ⋯ + b1s + b0 s + an−1s n −1 + ⋯ + a1s + a0
（5）
令
~ Y ( s) =
Y ( s) bm s m + bm−1s m −1 + ⋯ + b1s + b0
（6）
由（5）得：
（1）
输出方程 描述由状态和输入所决定的输出，为一代数方程组，
y1 = c11x1 + c12 x2 ⋯ + c1n xn + d11u1 + d12u2 ⋯ + d1 pu p y = c x + c x ⋯+ c x + d u + d u ⋯+ d u 2 21 1 22 2 2n n 21 1 22 2 2p p ⋮ yq = cq1x1 + cq 2 x2 ⋯ + cqn xn + d q1u1 + d q 2u2 ⋯ + d qpu p
和输出方程： y = x1
0 0 得： A= ⋮ 0 − a0
1 0
0 1
⋯ ⋯
⋮ ⋮ 0 0 − a1 − a2
0 0 ⋱ ⋮ ⋯ 1 ⋯ − an −1
0 0 B = ⋮ 0 1
C = [1 0 ⋯ 0]
D=0
20 一般情形，设输入-输出微分方程为
y ( n ) + an −1 y ( n−1) + ⋯ + a1 y '+ a0 y = bmu ( m ) + bm−1u ( m−1) + ⋯ + b0u (m ≥ 1)
在零初始条件下两边取拉氏变换得：
( s n + an −1s n−1 + ⋯ + a1s + a0 )Y ( s ) = (bm s m + bm−1s m−1 + ⋯ + b1s + b0 )U ( s )
s →∞
sY ( s ) s →∞ b s m + b s m −1 + ⋯b0 m m −1
= lim
1 lim sY ( s ) m −1 s →∞ b s m + b s →∞ + ⋯b0 m m −1s
= 0 ⋅ y (0) = 0
同理又有 同时,在附加条件 m < n 后,可得
即,当 m < n 时,有: 于是(6)的拉氏反变换为:
状态变量
能够完全表征系统动力学特征的一组独立的变量称为系统的状态变量 状态变量。 状态变量 它是系统的内部变量. 由状态变量构成的列向量 X (t ) = [ x1 (t ), x2 (t ),⋯ xn (t )] 称为状态向量 状态向量。状态 状态向量 向量取值的空间称为状态空间 状态空间。 状态空间
（输入矩阵）
c11 c12 ⋯ c1n c 21 c22 ⋯ c2 n C= ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ cq1 cq 2 ⋯ cqn
（输出矩阵）
d11 d12 ⋯ d1 p d 21 d 22 ⋯ d 2 p D= ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ d q1 d q 2 ⋯ d qp
解：2）
4s 2 + 7 s − 3 3s − 23 G(s) = 2 = 4+ 2 s +s+5 s +s+5
所以
D=4
a0 = 5, a1 = 1, b0 = −23, b1 = 3.
所以
0 A= − a0
1 0 1 = , − a1 − 5 − 1
0 B = , 1
(2)
记
a11 a12 ⋯ a1n a 21 a22 ⋯ a2 n A= ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ an1 an 2 ⋯ ann
（状态矩阵）
b11 b12 ⋯ b1 p b 21 b22 ⋯ b2 p B= ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ bn1 bn 2 ⋯ bnp
y1 (t ) y (t ) 2 Y (t ) = ⋮ yq (t )
状态模型=状态方程+输出方程 状态方程
组， 描述输入作用引起状态变化的运动过程，为一一阶线性微分方程
dx1 dt = a11x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn + b11u1 + b12u2 + ⋯b1 pu p dx 2 = a21x1 + a22 x2 + ⋯ + a2 n xn + b21u1 + b22u2 + ⋯b2 pu p dt ⋮ dxn = an1x1 + an 2 x2 + ⋯ + ann xn + bn1u1 + bn 2u2 + ⋯bnpu p dt