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高等数学练习题附答案

第一章 自测题一、填空题(每小题3分,共18分)1. ()3limsin tan ln 12x x xx →=-+ .2. 1x →= . 3.已知212lim 31x x ax bx →-++=+,其中为b a ,常数,则a = ,b = . 4. 若()2sin 2e 1,0,0ax x x f x xa x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在()+∞∞-,上连续,则a = . 5. 曲线21()43x f x x x -=-+的水平渐近线是 ,铅直渐近线是 . 6. 曲线()121e xy x =-的斜渐近线方程为 .二、单项选择题(每小题3分,共18分)1. “对任意给定的()1,0∈ε,总存在整数N ,当N n ≥时,恒有ε2≤-a x n ”是数列{}n x 收敛于a 的 .A. 充分条件但非必要条件B. 必要条件但非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件2. 设()2,02,0x x g x x x -≤⎧=⎨+>⎩,()2,0,x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩则()g f x =⎡⎤⎣⎦ . A. 22,02,0x x x x ⎧+<⎨-≥⎩ B. 22,02,0x x x x ⎧-<⎨+≥⎩ C. 22,02,0x x x x ⎧-<⎨-≥⎩ D. 22,02,0x x x x ⎧+<⎨+≥⎩3. 下列各式中正确的是 .A .01lim 1e x x x +→⎛⎫-= ⎪⎝⎭B.01lim 1e xx x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭ C.1lim 1e x x x →∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ D. -11lim 1e xx x -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭4. 设0→x 时,tan e1x-与n x 是等价无穷小,则正整数n = .A. 1B. 2C. 3D. 45. 曲线221e 1ex x y --+=- .A. 没有渐近线B. 仅有水平渐近线C. 仅有铅直渐近线D. 既有水平渐近线又有铅直渐近线 6.下列函数在给定区间上无界的是 . A.1sin ,(0,1]x x x ∈ B. 1sin ,(0,)x x x ∈+∞ C. 11sin ,(0,1]x x x ∈ D. 1sin ,(0,)x x x∈+∞三、求下列极限(每小题5分,共35分)1.22x →2.()120lim ex xx x -→+3.()1lim 123nn nn →∞++4.21sinlimx x5. 设函数()()1,0≠>=a a a x f x ,求()()()21lim ln 12n f f f n n →∞⎡⎤⎣⎦.6.142e sin lim1exxxxx→⎛⎫+⎪+⎪⎪+⎝⎭7.limx+→四、确定下列极限中含有的参数(每小题5分,共10分)1.2212lim22xax x bx x→-+=-+-2.(lim1 xx→-∞=五、讨论函数,0()(0,0,1,1)0,0x xa bxf x a b a bxx⎧-≠⎪=>>≠≠⎨⎪=⎩在0x=处的连续性,若不连续,指出该间断点的类型.(本题6分)六、设sin sin sin ()lim sin x t xt x t f x x -→⎛⎫= ⎪⎝⎭,求()f x 的间断点并判定类型. (本题7分)七、设()f x 在[0,1]上连续,且(0)(1)f f =.证明:一定存在一点10,2ξ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使得1()2f f ξξ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(本题6分)第二章 自测题一、填空题(每小题3分,共18分)1.设()f x 在0x 可导,且00()0,()1f x f x '==,则01lim h hf x h →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 2.设21cos f x x ⎛⎫=⎪⎝⎭,则()f x '=. 3.d x = . 4.设sin (e )xy f =,其中()f x 可导,则d y = .5.设y =12y ⎛⎫'=⎪⎝⎭. 6.曲线1sin xy x y =+在点1,ππ⎛⎫⎪⎝⎭的切线方程为 . 二、单项选择题(每小题3分,共15分)1.下列函数中,在0x =处可导的是 .A.||y x =B.|sin |y x =C.ln y x =D.|cos |y x =2.设()y f x =在0x 处可导,且0()2f x '=,则000(2)()limx f x x f x x x→+--= .A.6B.6-C.16D.16-3.设函数()f x 在区间(,)δδ-有定义,若当(,)x δδ∈-时恒有2|()|f x x ≤,则0x =是()f x 的 .A.间断点B.连续而不可导的点C.可导的点,且(0)0f '=D.可导的点,且(0)0f '≠4.设2sin ,0(),0x x f x x x <⎧=⎨≥⎩,则在0x =处()f x 的导数 .A.0B.1C.2D.不存在5.设函数()f u 可导,2()y f x =当自变量x 在1x =-处取得增量0.1x =-时,相应的函数增量y 的线性主部为0.1,则(1)f '= .A.1-B.0.1C.1D.0.5三、解答题(共67分)1.求下列函数的导数(每小题4分,共16分)(1)(ln e x y =+(2))11y⎫=⎪⎭(3)aaxa x ay x a a =++(4)cos (sin )xy x =2.求下列函数的微分(每小题4分,共12分) (1)2ln sin y x x x =+ (2)21cot e xy =(3)y x=3.求下列函数的二阶导数(每小题5分,共10分) (1)2cos ln y x x = (2)11xy x-=+4.设e ,1(),1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在1x =可导,试求a 与b .(本题6分)5.设sin ,0()ln(1),0x x f x x x <⎧=⎨+≥⎩,求'()f x .(本题6分)6.设函数()y y x =由方程22ln 1x xy y-=所确定,求d y .(本题6分)7.设()y y x =由参数方程ln tan cos 2sin t x a t y a t⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩,求22d d ,d d y y x x .(本题6分)8.求曲线3213122t x t y t t +⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩在1t =处的切线方程和法线方程.(本题5分)第三章 自测题一、填空题(每小题3分,共15分)1.若0,0a b >>均为常数,则30lim 2x xxx a b →⎛+⎫=⎪⎝⎭. 2.2011lim tan x x x x →⎛⎫-=⎪⎝⎭. 3.3arctan limln(12)x x xx →-=+ . 4.曲线2e xy -=的凹区间 ,凸区间为 .5.若()e x f x x =,则()()n fx 在点x = 处取得极小值.二、单项选择题(每小题3分,共12分)1.设,a b 为方程()0f x =的两根,()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 可导,则()f x '0=在(,)a b .A.只有一个实根B.至少有一个实根C.没有实根D.至少有两个实根2.设()f x 在0x 处连续,在0x 的某去心邻域可导,且0x x ≠时,0()()0x x f x '->,则0()f x 是 .A.极小值B.极大值C.0x 为()f x 的驻点D.0x 不是()f x 的极值点 3.设()f x 具有二阶连续导数,且(0)0f '=,0()lim1||x f x x →''=,则 . A.(0)f 是()f x 的极大值 B.(0)f 是()f x 的极小值C .(0,(0))f 是曲线的拐点D .(0)f 不是()f x 的极值,(0,(0))f 不是曲线的拐点 4.设()f x 连续,且(0)0f '>,则0δ∃>,使 .A.()f x 在(0,)δ单调增加.B.()f x 在(,0)δ-单调减少.C.(0,)x δ∀∈,有()(0)f x f >D.(,0)x δ∀∈-,有()(0)f x f >.三、解答题(共73分)1.已知函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)可导,且(1)0f =,证明在(0,1)至少存在一点ξ使得()()tan f f ξξξ'=-.(本题6分)2.证明下列不等式(每小题9分,共18分) (1)当0a b <<时,ln b a b b ab a a--<<.(2)当02x π<<时,2sin x x x π<<.3.求下列函数的极限(每小题8分,共24分)(1)0e e 2lim sin x x x xx x-→---(2)21sin 0lim(cos )xx x →(3)10(1)elimxx x x→+-4.求下列函数的极值(每小题6分,共12分) (1)1233()(1)f x x x =-(2)2,0()1,0x x x f x x x ⎧>=⎨+<⎩5.求2ln xy x=的极值点、单调区间、凹凸区间和拐点.(本题6分)6.证明方程1ln0ex x+=只有一个实根.(本题7分)第一章自测题一、填空题(每小题3分,共18分)1. 2. 3. , 4.5. 水平渐近线是,铅直渐近线是6.二、单项选择题(每小题3分,共18分)1. C2. D3. D4. A5. D 6.C三、求下列极限(每小题5分,共35分)解:1.. 2..3. ,又.4.. 5.. 6.,,所以,原式.7..四、确定下列极限中含有的参数(每小题5分,共10分)解:1.据题意设,则,令得,令得,故.2.左边,右边故,则.五、解:,故在处不连续,所以为得第一类(可去)间断点.六、解:,而,故,都是的间断点,,故为的第一类(可去)间断点,均为的第二类间断点.七、证明:设,显然在上连续,而,,,故由零点定理知:一定存在一点,使,即.第二章自测题一、填空题(每小题3分,共18分)1. 2. 3. 4.5. 6.或二、单项选择题(每小题3分,共15分)1. D2. A3. C4. D5. D三、解答题(共67分)解:1.(1) .(2).(3).(4) 两边取对数得,两边求导数得,.2.求下列函数的微分(每小题4分,共12分)(1) .(2).(3) .3.求下列函数的二阶导数(每小题5分,共10分)(1),.(2),.4.首先在处连续,故,故,其次,,,由于在处可导,故,故,.5.,,故,由于在,时均可导,故.6.方程可变形为,两边求微分得,故.7.,.8.,故.当时,.故曲线在处的切线方程为,即,法线方程为,即.第三章自测题一、填空题(每小题3分,共15分)1. 2. 3. 4., 5.二、单项选择题(每小题3分,共12分)1.B 2.A3.B,提示:由题意得,,当时,;即当时,,当时,,从而在取得极小值4. C,提示:由定义,由极限的保号性得,当时,,即三、解答题(共73分)证明:1.令,则在上连续,可导,且;由罗尔定理知,至少存在一点,使得,故,即.2.(1)令,则在区间上满足拉格朗日中值定理的条件.由拉格朗日中值定理得,至少存在一点,使得即,又,得到,从而.(2)令,则,从而当时单调递增,即,故;令,则,即当时单调递减,即,故;从而当时,.解:3.(1).(2).(3).4.⑴函数的定义域为;,令得驻点,不可导点;当时,;当时,;当时,;当时,;故为极大值点,极大值为;为极小值点,极小值为.⑵,令得驻点,为不可导点.当时,;当时,;当时,;故为极大值点,极大值为;为极小值点,极小值为.5.定义域为;,,令得驻点,令得;列表得:- - + + +- + + + - 单减凸单减凹极小值点单增凹单增凸拐点6.证明:令,显然,;令得唯一驻点,且;故在上当时取得极小值;当时,,所以方程只有一个实根.。

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