第一讲一元二次方程的解法（一）【基础知识精讲】1．一元二次方程的定义：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax2＋bx+c=0 (a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。

（三个条件缺一不可）2．一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是ax2＋bx+c=0 (a、b、c为常数，a≠0）。

其中ax2是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

3．一元二次方程的解法：⑴ 直接开平方法：如果方程 (x+m）2= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解。

(2) 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；② 移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③ 配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；④ 化原方程为(x+m ）2=n 的形式；⑤ 如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n ＜0，则原方程无解．注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2=3（x ＋4）中，不能随便约去（x ＋4）.②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．【例题巧解点拨】（一）一元二次方程的定义： 例1：1、方程①13122=-x x ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次方程是 .A. ①和②；B.②和③ ；C. ③和④；D. ①和③2、要使方程（a-3）x 2+（b+1）x+c=0是关于x 的一元二次方程，则__________.A ．a ≠0B ．a ≠3C ．a ≠1且b ≠-1D ．a ≠3且b ≠-1且c ≠03、若（m+1）(2)1m m x +-+2mx-1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________．（二）一元二次方程的一般形式：例2：一元二次方程)1(2)2)(1(2-=+-x x x 的一般形式是 ；二次项系数是 ；一次项系数是；常数项是 。

（三）一元二次方程的解法:例3:判断下列括号里的数哪个是方程的解。

（1）)0,2,1(232x x = (2))4,5,5(0252-=-x例4:若1-=x 是关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的一个根， 求代数式）（c b a +-2008的值。

例5:解方程：用直接开平方法解一元二次方程：（1）0252=-x （2） 900)12(16002=-x（3）32=y （4）08)12(212=--x ） 用配方法解一元二次方程：（1）（2012 荆州）0342=+-x x （2）015122=-+x x（3）161442=++x x （4）1622=+x x例6:（开放题）关于x 的方程1322-=+x bx ax 一定是一元二次方程吗？若是，写出一个符合条件的a 值。

【随堂练习】A 组一、填空题:1.在4(1)(2)5x x -+=,221x y +=,25100x -=,2280x x +=，0,213x x=+,22=a ，223213x x x +=-，22)12)(3(x x x =-+中，是一元二次方程有_________个 。

2.关于x 的方程是(m 2–1)x 2+(m –1)x –2=0，那么当m 时，方程为一元二次方程；当m 时，方程为一元一次方程.3.把方程9)2)(2()1(3+-+=-x x x x 化成一般式为____________________.二次项系数是_____、一次项系数是_______、常数项是是_________.4．关于的x 的一元二次方程方程(a-1)x 2+x+a 2-1=0的一个根是0, 则a 的值是___________.5.223____(_____)x x x -+=-; 2226____2(_____)x x x -+=-6. 一元二次方程20ax bx c ++=若有两根1和－1,那么a b c ++=________,a b c -+= 。

二、按要求解下列方程:1.223)52(=-a （直接开平方法）2.0362=+-x x (配方法)B 组一、填空题:1.当_____m =时, 关于x 的方程2(80m m x mx -+=是一元二次方程.2.如果关于x 的方程（k 2－1）x 2+2kx+1=0中，当k=±1时方程为____________方程．3.已知256y x x =-+,当x=_______时,y=0; 当y=_______时,x=0.4.当220b c ++=时,则20ax bx c ++=的解为____________________.5. 方程2230x x --=的解是_______________________二、用配方法解下列方程:1.(1)(3)12x x -+= 2．01)32(2)32(2=++-+x x3．01442=--x x 4.04)12()12(22=+++-a x a x 三、解答题。

1．（2012 昆明）已知a 是方程0120042=+-x x 的一个根，试求12004200322++-a a a 的值。

2．（学科内综合题）一元二次方程02=++c bx ax 的一个根是1，且a,b 满足等式122--+-=a a b ，求此一元二次方程。

家庭作业校区： 姓名：_________科目： 数学 第 1 次课 作业等级：______第一部分：1．（2012教材1+1）下列方程，是一元二次方程的是（ ）A. 08692=--x xB. 065=+aC. 01742=+-y xD. 0862=--x x2.（2007，广州）方程8652-=a a 化为一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A. 5,6,-8B. 5，-6，-8C. 5，-6,8D. 6,5，-8第二部分：3.（2012，哈尔滨）若关于x 的方程012122=-++-k x x k ）（的一个根是0，则 k= 。

4.(2011，山西)请你写出一个有一根为1的一元二次方程： 。

5.（2009，丽水）用配方法解方程542=-x x 时，方程的两边同加上 ，使得方程左边配成一个完全平方式。

第三部分：6.解下列方程：（1）22)6()2(x x -=-(直接开平方法) （2）（2012，义乌）2220x x --=（用配方法）（3）（2011，兰州）用配方法解次方程：x x 3122=+7.（2012，潮州）当a 为何值时，关于x 的方程036132=-++ax x a ）（是一元一次方程？当a 为何值时，原方程是一元二次方程？第二讲 一元二次方程的解法（二）【基础知识精讲】一元二次方程的解法：⑴ 直接开平方法：(2) 配方法：⑶ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的． 一元二次方程的求根公式是a ac b b x 242-±-= (b 2－4ac≥0)应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a 、b 、c 的值；③求出b 2－4ac 的值；④若b 2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x 1 ,x 2．若b 2－4a ＜0，则方程无解．(4) 因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2=3（x ＋4）中，不能随便约去（x ＋4）②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．(5)换元法：【例题巧解点拨】（一）知识回顾例1：对于关于x 的方程,)(2n m x =+它的解的正确表达式是（ ）A.用直接开平方法，解得n x ±=B.当0≥n 时，n m x ±=C ．当0≥n 时，m n x -±= D.当0≥n 时，m n x -±= 例2 ：用配方法解方程：)0(02≠=++a c bx ax （探索求根公式）（二）用公式法解一元二次方程例3：用公式法解方程：（1）0232=--x x （2）52)2)(1(+=++x x x 练习：（1）0822=--x x （2）02722=+-x x（三）用因式分解法解一元二次方程例4：利用因式分解解方程：（1）0232=+-x x (2) 01762=+-x x 练习：(1) x x 32= (2) 0822=--x x 例5：用适当的方法解下列方程：（1）0442=++y y （2）)5(2)5(32x x -=- （310)1)(2(=-+x x ） （4）0222=--x x【同步达纲练习】A 组一、按要求解下列方程: 1. 816435-2=）（x （直接开平方法） 2. 0672=+-x x (因式分解法)3. 0362=+-x x (配方法)4. 2230x x +-= (求根公式法)二、用适当的方法解下列各题:5．(1)(3)12x x -+= 6．x x -=-6)2(27．2(23)3(23)40x x +-+-= 8.0825702=+-x x三、填空题:1. 方程:①230x -=, ②291210x x --=, ③2121225x x += ,④22(51)3(51)x x -=-,较简便的解法_________。

A .依次为直接开平方法,配方法,公式法和因式分解法B.①用直接开平方法,②用公式法,③④用因式分解法C. 依次为因式分解法,公式法,配方法和直接开平方法D. ①用直接开平方法,②③用公式法,④用因式分解法2.(2009 云南) 一元二次方程0252=-x x 的解是_____________________。

3．（2012东营）设b a ,是一个直角三角形两条直角边的长，且12)1)((2222=+++b a b a ，则这个直角三角形的斜边长为 。

4．已知三角形的两边长分别是3和4,笫三边的长是方程x 2－6x+5=0的根,三角形的形状为_________。