椭圆练习题(经典归纳)标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII初步圆锥曲线感受：已知圆O 以坐标原点为圆心且过点12⎛ ⎝⎭,,M N 为平面上关于原点对称的两点,已知N 的坐标为0,⎛⎝⎭,过N 作直线交圆于,A B 两点 （1）求圆O 的方程; （2）求ABM ∆面积的取值范围二. 曲线方程和方程曲线（1）曲线上点的坐标都是方程的解； （2）方程的解为坐标的点都在曲线上. 三. 轨迹方程例题：教材 A 组.T3 T4 B 组 T2练习1.设一动点P 到直线:3l x =的距离到它到点()1,0A 的距离之比为3，则动点P 的轨迹方程是____练习2.已知两定点的坐标分别为()()1,0,2,0A B -，动点满足条件2MBA MAB ∠=∠，则动点M 的轨迹方程为___________ 总结：求点轨迹方程的步骤： （1）建立直角坐标系（2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示） （3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程 （4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围 四. 设直线方程设直线方程：若直线方程未给出，应先假设.（1）若已知直线过点00(,)x y ，则假设方程为00()yy k x x ；（2）若已知直线恒过y 轴上一点()t ，0，则假设方程为t kx y +=； （3）若仅仅知道是直线，则假设方程为b kx y +=【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论；（4）若已知直线恒过x 轴上一点(,0)t ，且水平线不满足条件（斜率为0），可以假设直线为x my t 。
【反斜截式，1mk】不含垂直于y 轴的情况（水平线） 例题：圆C 的方程为：.0222=-+y x（1）若直线过点）（4,0且与圆C 相交于A,B 两点，且2=AB ,求直线方程. （2）若直线过点）（3,1且与圆C 相切，求直线方程. （3）若直线过点）（0,4且与圆C 相切，求直线方程. 附加：4)4(3:22=-+-y x C ）（. 若直线过点）（0,1且与圆C 相交于P 、Q 两点，求CPQ S ∆最大时的直线方程.椭 圆1、椭圆概念平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离c 2叫椭圆的焦距。
若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=.注意：212F F a >表示椭圆；212F F a =表示线段21F F ；212F F a <没有轨迹； 2、椭圆标准方程椭圆方程为122222=-+c a y a x ，设22c a b -=，则化为()012222>>=+b a by a x 这就是焦点在x 轴上的椭圆的标准方程,这里焦点分别是1F ()0,c -，2F ()0,c ，且22c a b -=.类比：写出焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆的标准方程()222210y x a b a b+=>>．椭圆标准方程：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或12222=+bx a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。
注：（1）以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222b a c =-；（2）要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小，“谁大焦点在谁上”一、求解椭圆方程1已知方程12322=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为__________.2.椭圆63222=+y x 的焦距是（ ）A ．2B ．)23(2-C ．52D ．)23(2+3.若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 （ ）A ．14822=+x y B ．161022=+x y C ．18422=+x y D ．161022=+y x4.过点(3, －2)且与椭圆4x 2+9y 2=36有相同焦点的椭圆的方程是 （ ）A.2211510x y += B.221510x y += C.2211015x y += D.2212510x y += 5.椭圆的两个焦点是F 1(－1, 0), F 2(1, 0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则该椭圆方程是. ( ) A. 16x 2＋9y 2＝1 B. 16x 2＋12y 2＝1 C. 4x 2＋3y 2＝1 D. 3x 2＋4y 2＝1二、椭圆定义的应用1.椭圆1162522=+y x 上的一点P,到椭圆一个焦点的距离为３,则P 到另一焦点距离为 ( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．72．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段3．过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是（ ）A ． 22B ． 2C ． 2D ． 14．椭圆221259x y +=上的点M 到焦点F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，则|ON |为 （ ） A. 4 B . 2 C. 8 D .235．椭圆131222=+y x 的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的A ．4倍B ．5倍C ．7倍D ．3倍三、求椭圆轨迹方程1．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是 A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆2.设A ，B 的坐标分别为()5,0-，()5,0．直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为49-，求点M 的轨迹方程 3.已知圆Q A y x C ),0,1(25)1(:22及点=++为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，则点M 的轨迹方程为是椭圆5922y x +=1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线，垂足为M ，则PM 中点的轨迹方程为 A 、159422=+y x B 、154922=+y x C 、120922=+y x D 、53622y x +=15.动圆与圆O ：122=+y x 外切，与圆C ：08622=+-+x y x 内切，那么动圆的圆心M 的轨迹是：A.抛物线B.圆C.椭 圆D.双曲线一支 6.设(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线l ：254x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹方程．四、焦点三角形1．椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（ ）A ．9B ．12C ．10D ．82．21,F F 是椭圆17922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则Δ12AF F 的面积为 A ．7 B ．47 C ．27D ．2573．若点P 在椭圆1222=+y x 上，1F 、2F 分别是椭圆的两焦点，且 9021=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是A. 2B. 1C.23 D. 214.若P 为椭圆22143x y +=上的一点，12,F F 为左右焦点，若123F PF π∠=，求点P 到x 轴的距离 . 5．设P 是椭圆2214x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF 的最大值为 . 6. 若P 在椭圆2221(50)25x y b b +=>>上的一点，12,F F 为左右焦点，若12F PF ∠的最大值为2π，则椭圆的方程为 .7. P 为椭圆22194x y +=上一点, 12,F F 为焦点，满足1290F PF ︒∠=的点的个数为 .五、椭圆的简单几何性质①范围；②对称；③顶点； ④离心率：（10<<e ），刻画椭圆的扁平程度.把椭圆的焦距与长轴的比c e a =()10<<e 叫椭圆的离心率。
2222221⎪⎭⎫⎝⎛-=-===a b a b a a c a c e1. 椭圆10025422=+y x 的长轴长等于____________,短半轴长等于____________,焦距_________,左焦点坐标____________,离心率________，顶点坐标_________.求离心率（构造a c ，的齐次式，解出e ）1.已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为31，长轴长为12，则椭圆方程为（ ）A ．112814422=+y x 或114412822=+y x B ． 14622=+y x C ．1323622=+y x 或1363222=+y x D ． 16422=+y x 或14622=+y x2.已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为e =m = ． 3.已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是4.若椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 短轴端点为P 满足21PF PF ⊥，则椭圆的离心率为=e ．5.已知)0.0(121>>=+n m nm 则当mn 取得最小值时，椭圆12222=+n y m x 的离心率为=e ．6.椭圆12222=+by a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F 到直线AB 的距离等于21∣AF∣，则椭圆的离心率为=e ．7.以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，则椭圆的离心率为=e ．8.设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为=e ．9.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 ．10.设12F F ，分别是椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是 ．六、直线与椭圆的位置关系联立直线与椭圆方程，消参数，得关于x 或y 的一个一元二次方程； （1）相交：0∆>，直线与椭圆有两个交点； （2）相切：0∆=，直线与椭圆有一个交点；（3）相离：0∆<，直线与椭圆无交点；弦长公式：若直线:l y kx m =+与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于,P Q 两点，求弦长||PQ 的步骤： 设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立方程组（将直线方程代入椭圆方程）：222222,,y kx m b x a y a b =+⎧⎨+=⎩消去y 整理成关于x 的一元二次方程：20Ax Bx C ++=， 则12,x x 是上式的两个根，240B AC ∆=->；由韦达定理得：12,B x x A +=-12,C x x A= 又,P Q 两点在直线l 上，故1122,y kx m y kx m =+=+，则2121()y y k x x -=-，从而||PQ ====【注意：如果联立方程组消去x 整理成关于y 的一元二次方程：20Ay By C ，则||PQ ==1.已知椭圆方程为1222=+y x 与直线方程21:+=x y l 相交于A 、B 两点，求AB=____________. 2.设抛物线x y 42=截直线m x y +=2所得的弦长AB 长为53，求m =___________.3.椭圆方程为1222=+y x ,通径=__________. 4.椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22D ．10点差法1．椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为 ．2.过椭圆M :2222by a x +=1(a ＞b ＞0)右焦点的直线03=-+y x 交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为21. 求M 的方程 ． 综合问题1.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线(注：左右准线方程为ca x 2±=)间的距离为4（1）求椭圆的方程；（2）直线l 过点P(0,2)且与椭圆相交于A 、B 两点，当ΔAOB 面积取得最大值时，求直线l 的方程.2.已知椭圆G ：2214x y +=，过点（m ，0）作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点。