第三章 不等式
§3.1 不等关系与不等式
1．比较实数a ，b 的大小 (1)文字叙述
如果a －b 是正数，那么a >b ； 如果a －b 等于0，那么a ＝b ；
如果a －b 是负数，那么a <b ，反之也成立． (2)符号表示 a －b >0⇔a >b ； a －b ＝0⇔a ＝b ； a －b <0⇔a <b .
2．常用的不等式的基本性质 (1)a >b ⇔b <a (对称性)；
(2)a >b ，b >c ⇒a >c (传递性)； (3)a >b ⇒a ＋c >b ＋c (可加性)；
(4)a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ； (5)a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (6)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；
(7)a >b >0，n ∈N ，n ≥2⇒a n >b n ；
(8)a >b >0，n ∈N ，n ≥2⇒
1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了． a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b . 2．作差法比较的一般步骤 第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论) 最后得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．
3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然．
§3.2 一元二次不等式及其解法(一)
1．一元一次不等式
一元一次不等式经过变形，可以化成ax >b (a ≠0)的形式．
(1)若a >0，解集为⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫x |x >b a ；
(2)若a <0，解集为⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫x |x <b a .
2．一元二次不等式
一元二次不等式经过变形，可以化成下列两种标准形式：
(1)ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)；(2)ax 2＋bx ＋c <0 (a >0).3.一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系如下表所示：
1．解一元二次不等式可按照“一看，二算，三写”的步骤完成，但应注意，当二次项系数为负数时，一般先化为正数再求解，一元二次不等式的解集是一个集合，要写成集合的形式．
2．一元二次不等式解集的端点值一般是对应的一元二次方程的根． 3．含参数的一元二次不等式的求解往往要分类讨论，分类标准要明确，表达要有层次，讨论结束后要进行总结．
§3.2 一元二次不等式及其解法(二)
1．一元二次不等式的解集： (1)f (x )g (x )
>0⇔f (x )·g (x )>0； (2)f (x )
g (x )≤0⇔⎩
⎪⎨⎪⎧
f (x )·
g (x )≤0g (x )≠0； (3)f (x )
g (x )≥a ⇔f (x )－ag (x )g (x )
≥0. 3．处理不等式恒成立问题的常用方法：
(1)一元二次不等式恒成立的情况：
ax 2＋bx ＋c >0 (a ≠0)恒成立⇔⎩⎨⎧
a >0
Δ<0；
ax 2
＋bx ＋c ≤0 (a ≠0)恒成立⇔⎩
⎪⎨⎪⎧
a <0Δ≤0.
(2)一般地，若函数y ＝f (x )，x ∈D 既存在最大值，也存在最小值，则： a >f (x )，x ∈D 恒成立⇔a >f (x )max ； a <f (x )，x ∈D 恒成立⇔a <f (x )min .
1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．若不等式含有等号时，分母不为零．
2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .
§3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
1．二元一次不等式(组)的概念
含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做二元一次不等式． 由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组． 2．二元一次不等式表示的平面区域
在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界．
不等式Ax ＋By ＋C ≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线． 3．二元一次不等式(组)表示平面区域的确定
(1)直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点的坐标(x ，y )代入Ax ＋By ＋C 所得的符号都相同．
(2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0的一侧取某个特殊点(x 0，y 0)，由Ax 0＋By 0＋C 的符号可以断定Ax ＋By ＋C >0表示的是直线Ax ＋By ＋C ＝0
1．二元一次不等式(组)的解集对应着坐标平面的一个区域，该区域内每一个点的坐标均满足不等式(组)．常用特殊点法确定二元一次不等式表示的是直线哪一侧的部分．
2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．
3．求平面区域内的整点个数时，要有一个明确的思路不可马虎大意，常先确定x 的范围，再逐一代入不等式组，求出y 的范围最后确定整数解的个数．
3．3.2 简单的线性规划问题(一)
线性目标函数
关于x ，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域 所有可行解组成的集合
最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
1．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．
2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．
3．3.2 简单的线性规划问题(二)
1．用图解法解线性规划问题的步骤： (1)分析并将已知数据列出表格； (2)确定线性约束条件； (3)确定线性目标函数； (4)画出可行域；
(5)利用线性目标函数(直线)求出最优解；
根据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)．
2．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．
1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．
2．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析．
§3.4 基本不等式：ab ≤a ＋b
2
(一)
1．如果a ，b ∈R ，那么a 2
＋b 2
≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”号)．
2．若a ，b 都为正数，那么a ＋b
2
≥ab 当且仅当a ＝b 时，等号成立)，称上述不等式为
基本不等式，其中a ＋b
2
称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数．
3．基本不等式的常用推论
(1)ab ≤
⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22 (a ，b ∈R)；
(2)当x >0时，x ＋1x ≥2；当x <0时，x ＋1
x ≤－2.
(3)当ab >0时，b a ＋a b ≥2；当ab <0时，b a ＋a
b
≤－2.
(4)a 2＋b 2＋c 2
≥ab ＋bc ＋ca ，(a ，b ，c ∈R)．
§3.4 基本不等式：ab ≤a ＋b
2
(二)
1．设x ，y 为正实数
(1)若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 2
4
.
(2)若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p . 2．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足： (1)x ，y 必须是正数；
(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值．
(3)等号成立的条件是否满足．
利用基本不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、三相等”．
1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．
2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解．
3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义．。