必修五-不等式知识点
汇总
不等式总结
一、不等式的主要性质：
(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>； d b c a d c b a +>+⇒>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,
bd ac d c b a >⇒>>>>0,0
(5)倒数法则：b
a a
b b a 110,<⇒
>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且
二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法
0>∆
0=∆
0<∆ 二次函数
c bx ax y ++=2
（0>a ）的图象
)
)((212x x x x a c
bx ax y --=++=
)
)((212x x x x a c bx ax y --=++=
c bx ax y ++=2
一元二次方程
()的根
00
2>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x <
有两相等实根
a
b x x 221-
== 无实根
的解集)0(02>>++a c bx ax
{}21x x x x x
><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2
R
的解集
)0(02><++a c bx ax
{}21x x x x
<<
∅
∅
注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 三、均值不等式
1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么
).""(2
号时取当且仅当==≥+b a ab b
a
2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等
3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数），即
2
11
2
a b
a b
+
≥
+
（当a = b时取等）
四、含有绝对值的不等式
1．绝对值的几何意义：||x是指数轴上点x到原点的距离；
12
||
x x
-是指数轴上
12
,x x两点间的距离
2、则不等式：
如果,0
>
a
a
x
a
x
a
x-
<
>
<=>
>或
|
|a
x
a
x
a
x-
≤
≥
<=>
≥或
|
|
a
x
a
a
x<
<
-
<=>
<|
|a
x
a
a
x≤
≤
-
<=>
≤|
|
3．当0
c>时，||
ax b c ax b c
+>⇔+>或ax b c
+<-，
||
ax b c c ax b c
+<⇔-<+<；
当0
c<时，||
ax b c x R
+>⇔∈，||
ax b c xφ
+<⇔∈．
4、解含有绝对值不等式的主要方法：
①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；
②去掉绝对值的主要方法有：
（1）公式法：|| (0)
x a a a x a
<>⇔-<<，|| (0)
x a a x a
>>⇔>或x a
<-．（2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．
五、其他常见不等式形式总结：
①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
()()0
()()
0()()0;0
()0
()()
f x
g x
f x f x
f x
g x
g x
g x g x
≥
⎧
>⇔>≥⇔⎨
≠
⎩
②无理不等式：转化为有理不等式求解
()0
()0
()()
f x
g x
f x
g x
⎧≥⎫
⇒
⎪⎬
≥
⎨⎭
⎪>
⎩
定义域
⎩
⎨
⎧
<
≥
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
>
≥
≥
⇔
>0
)
(
)
(
)]
(
[
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f或
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
<
≥
≥
⇔
<
2
)]
(
[
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
③指数不等式：转化为代数不等式
()()()()
()
(1)()();(01)()()
(0,0)()lg lg
f x
g x f x g x
f x
a a a f x g x a a a f x g x
a b a b f x a b
>>⇔>><<⇔<
>>>⇔⋅>
④对数不等式：转化为代数不等式
()0()0 log()log()(1)()0;log()log()(01)()0
()()()()
a a a a
f x f x
f x
g x a g x f x g x a g x
f x
g x f x g x
>>
⎧⎧
⎪⎪
>>⇔>><<⇔>
⎨⎨
⎪⎪
><
⎩⎩
六、三角不等式：|b|
|a|
|b
a|
|b|-|a|+
≤
+
≤
七、不等式证明的几种常用方法
比较法（做差法、做商法）、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法。

八、数轴穿跟法:奇穿，偶不穿
例题：不等式0
3
)4
)(
2
3
(2
2
≤
+
-
+
-
x
x
x
x的解为（）
A．－1<x≤1或x≥2 B．x<－3或1≤x≤2
C．x=4或－3<x≤1或x≥2 D．x=4或x<－3或1≤x≤2
九、零点分段法
例题：求解不等式：|21||2|4
x x
++->．
十、练习试题
1．下列各式中，最小值等于2的是（ ）
A ．x y y x +
B ．4
522++x x C ．1tan tan θθ+ D ．22x x -+
2．若,x y R ∈且满足32x y +=，则3271x y ++的最小值是（ ）
A ．．1+．6 D ．7 3．设0,0,1x y
x y A x y
+>>=
++, 11x y B x y =+++，则,A B 的大小关系是（ ） A ．A B = B ．A B < C ．A B ≤ D ．A B >
4．函数46y x x =-+-的最小值为（ ） A ．2 B ．4 D ．6 5．不等式3529x ≤-<的解集为（ ）
A ．[2,1)[4,7)-U
B ．(2,1](4,7]-U
C ．(2,1][4,7)--U
D ．(2,1][4,7)-U 6．若0a b >>，则1
()
a b a b +
-的最小值是_____________。

7．若0,0,0a b m n >>>>，则
b a , a b , m a m b ++, n
b n a ++按由小到大的顺序排列为 8．已知,0x y >，且221x y +=，则x y +的最大值等于_____________。

9．设10101011
1111
2212221
A =
++++++-L L ，则A 与1的大小关系是_____________。

10．函数2
12
()3(0)f x x x x =+
>的最小值为_____________。

11．求证：221a b ab a b +≥++-。