. . . .1．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．4．三棱锥S﹣ABC的顶点都在同一球面上，且，则该球的体积为（）A．B．C．16πD．64π5．三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，PA=2AB=6，则该球的体积为（）A．16πB．32πC．48πD．64π6．四个顶点都在球O上的四面体ABCD所有棱长都为12，点E、F分别为棱AB、AC的中点，则球O截直线EF所得弦长为（）A．6B．12 C．6D．67．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）A．B．C．D．8．将长宽分别为3和4的长方形ABCD沿对角线AC折起直二面角，得到四面体A﹣BCD，则四面体A﹣BCD的外接球的表面积为（）A．25πB．50πC．5πD．10π9．已知半径为5的球O被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦为4，若其中的一圆的半径为4，则另一圆的半径为（）A．B．C．D．10．在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB 的面积分别为、、，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．2πB．4πC．6πD．24π11．一个四面体A﹣BCD中，AC=BD=3，AD=BC=4，AB=CD=5，那么这个四面体的外接球的表面积为（）12．已知Rt△ABC的顶点都在半径为4的球O面上，且AB=3，BC=2，∠ABC=，则棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．13．在正四棱锥S﹣ABCD中，侧面与底面所成角为，则它的外接球的半径R与内径球半径r的比值为（）A．5 B．C．10 D．14．已知球O的表面积为20π，SC是球O的直径，A、B两点在球面上，且AB=BC=2，，则三棱锥S﹣AOB 的高为（）A．B．C．D．115．如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A．B．3πC．D．2π16．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大（柱体体积=底面积×高）时，其高的值为（）A．B．C．D．17．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于_________ ．18．正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为_________ ．19．设A、B、C、D是半径为2的球面上的四点，且满足AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，则S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值是_________ ．20．已知四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为a的正方形，所有侧棱长相等且等于a，若其外接球的半径为R，则等于_________ ．21．已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC 的距离为_________ ．22．在半径为13的球面上有A，B，C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面ABC的距离为_________ ；（2）过A，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角为（锐角）的正切值为_________ ．23．正三棱锥P﹣ABC的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为2，则正三棱锥的底面边长是_________ ．24．与四面体的一个面及另外三个面的延长面都相切的球称为该四面体的旁切球，则棱长为1的正四面体的旁切球的半径r= _________ ．截面问题一．填空题（共8小题）1．过正三棱锥一侧棱及其半径为R的外接球的球心O所作截面如图，则它的侧面三角形的面积是__ ．2．一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的可能图形为_________ （只填写序号）．3．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是_________ ．4．已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为_________ ．5．如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为_________ ．6．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1内有一个球与正方体的各个面都相切，经过DD1和BB1作一个截面，正确的截面图是_________ ．7．已知空间中动平面α，β与半径为5的定球相交所得的截面的面积为4π与9π，其截面圆心分别为M，N，则线段|MN|的长度最大值为_________ ．8．球O的球面上有三点A，B，C，且BC=3，∠BAC=30°，过A，B，C三点作球O的截面，球心O到截面的距离为4，则该球的体积为_________ ．9．设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并浸入半径为r的一个实心球，使球与水面恰好相切，试求取出球后水面高为多少？1．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）2．一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是（）3．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（）4．三棱锥S﹣ABC的顶点都在同一球面上，且，则该球的体积为（）A．B．C．16πD．64π5．三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△AB C是正三角形，PA⊥平面ABC，PA=2AB=6，则该球的体积为（）6．四个顶点都在球O上的四面体ABCD所有棱长都为12，点E、F分别为棱AB、AC的中点，则球O截直线EF所得弦长为（）点评：本题是基础题，考查空间想象能力，正四面体的外接球转化为正方体外接球，使得问题的难度得到降低，问题得到解决，注意正方体的对角线就是球的直径，也是比较重要的．7．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）8．将长宽分别为3和4的长方形ABCD沿对角线AC折起直二面角，得到四面体A﹣BCD，则四面体A﹣BCD的外接球的表面积为（）9．已知半径为5的球O被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦为4，若其中的一圆的半径为4，则另一圆的半径为（）10．在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB 的面积分别为、、，则该三棱锥外接球的表面积为（）11．一个四面体A﹣BCD中，AC=BD=3，AD=BC=4，AB=CD=5，那么这个四面体的外接球的表面积为（）A．50πB．25πC．D．考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由四面体A﹣BCD相对的棱长度相等，将其放置于长方体中，如图所示．由题意得该长方体的外接球就是四面体A﹣BCD的外接球，因此算出长方体的对角线长得到外接球的直径，利用球的表面积公式加以计算，可得四面体A﹣BCD的外接球的表面积．解答：解：将四面体A﹣BCD放置于长方体中，如图所示．∵四面体A﹣BCD的顶点为长方体八个顶点中的四个，∴长方体的外接球就是四面体A﹣BCD的外接球，∵AC=BD=3，AD=BC=4，AB=CD=5，∴长方体的对角线长为=5，可得外接球的直径2R=5，所以R=因此，外接球的表面积为S=4πR2=25π．故选：B点评：本题给出相对棱长相等的四面体，求它的外接球的表面积．着重考查了长方体的性质、长方体的对角线长公式和球的表面积公式等知识，属于中档题．12．已知Rt△ABC的顶点都在半径为4的球O面上，且AB=3，BC=2，∠ABC=，则棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．考点：球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：先求AC的值，利用△ABC外接圆是球O的截面圆，球心O在平面ABC的射影点为AC的中点O′，求出OO′，即可求得棱锥O﹣ABC的体积．解答：解：∵AB=3，BC=2，∠ABC=，∴AC=△ABC外接圆是球O的截面圆，球心O在平面ABC的射影点为AC的中点O′，此时OO′==∴棱锥O﹣ABC的体积为=故选A．点评：本题考查棱锥体积的计算，考查球的截面圆，属于基础题．13．在正四棱锥S﹣ABCD中，侧面与底面所成角为，则它的外接球的半径R与内径球半径r的比值为（）A．5 B．C．10 D．考点：球内接多面体．专题：计算题；压轴题．分析：由题意通过侧面与底面所成角为，设出正四棱锥的底面边长，求出斜高，侧棱长，求出内切球的半径与正四棱锥底面边长的关系；利用外接球的球心与正四棱锥的高在同一条直线，结合勾股定理求出，外接球的半径与底面边长的关系，即可得到比值．解答：解：由于侧面与底面所成角为，可知底面边长与两个对面斜高构成正三角形，设底面边长为a，则斜高也为a，进而可得侧棱长为，高为四棱锥的内切球半径就是上述正三角形的内切圆半径为，其外接球球心必在顶点与底面中心连线上，半径为R，球心为O，顶点为P，底面中心为O1，底面一个顶点为B，则OB=OP，于是就有：（﹣R）2+（）2=R2解得R=．所以两者的比为：．故选D点评：本题是中档题，考查学生的空间想象能力，计算能力推理能力．求出球的半径与正三棱柱的底面边长的关系，是本题的关键．14．已知球O的表面积为20π，SC是球O的直径，A、B两点在球面上，且AB=BC=2，，则三棱锥S﹣AOB 的高为（）A．B．C．D．1考点：球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；压轴题；空间位置关系与距离．分析：将三棱锥S﹣AOB的高，转化为C到平面AOB的距离，利用等体积法，即可求得结论．解答：解：∵球O的表面积为20π，∴球O的半径为，∵SC是球O的直径，∴三棱锥S﹣AOB的高等于C到平面AOB的距离，设为h∵AB=BC=2，，∴cosA==∴sinA=∴△ABC外接圆半径为=2∴O到平面ABC的距离为1∵，∴∴h=故选C．点评：本题考查三棱锥的高，考查三棱锥的体积公式，考查学生的转化能力，属于中档题．15．如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A．B．3πC．D．2π考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：计算题；压轴题．分析：说明折叠后几何体的特征，求出三棱锥的外接球的半径，然后求出球的体积．解答：解：由题意平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，可知A′B⊥A′C，所以BC 是外接球的直径，所以BC=，球的半径为：；所以球的体积为：=．故选A点评：本题是基础题，考查折叠问题，三棱锥的外接球的体积的求法，考查计算能力，正确球的外接球的半径是解题的关键．16．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大（柱体体积=底面积×高）时，其高的值为（）A．B．C．D．考点：球内接多面体．专题：计算题；压轴题．分析：根据正六棱柱和球的对称性，球心O必然是正六棱柱上下底面中心连线的中点，作出过正六棱柱的对角面的轴截面即可得到正六棱柱的底面边长、高和球的半径的关系，在这个关系下求函数取得最值的条件即可求出所要求的量．解答：解：以正六棱柱的最大对角面作截面，如图．设球心为O，正六棱柱的上下底面中心分别为O，O2，则O是1 O1，O2的中点．设正六棱柱的底面边长为a，高为2h，则a2+h2=9．正六棱柱的体积为，即，则，得极值点，不难知道这个极值点是极大值点，也是最大值点．故当正六棱柱的体积最大，其高为．故选B点评：本题是在空间几何体、导数的应用交汇处命制，解题的关键是建立正六棱柱体积的函数关系式．考生如果对选修系列四的《不等式选讲》较为熟悉的话，求函数的条件可以使用三个正数的均值不等式进行．17．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于20π．考点：球内接多面体．专题：计算题；压轴题．分析：通过已知体积求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．解答：解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得，由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径，故此球的表面积为4πR2=20π故答案为：20π点评：本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．18．正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为4π．考点：球内接多面体．专题：计算题；空间位置关系与距离；球．分析：根据题意，将四面体ABCD放置于如图所示的正方体中，则正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球．因此利用题中数据算出外接球半径R=，过E点的截面到球心的最大距离为，再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值．解答：解：将四面体ABCD放置于正方体中，如图所示可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，∵正四面体ABCD的棱长为4，∴正方体的棱长为，可得外接球半径R满足，解得R=E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，当截面到球心O的距离最大时，截面圆的面积达最小值，此时球心O到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为r==2，得到截面圆的面积最小值为S=πr2=4π．故答案为：4π点评：本题给出正四面体的外接球，求截面圆的面积最小值．着重考查了正方体的性质、球内接多面体和球的截面圆性质等知识，属于中档题．19．设A、B、C、D是半径为2的球面上的四点，且满足AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，则S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值是8 ．考点：球内接多面体．分析：根据题意，以AB、AC、AD为长、宽、高作长方体，可得长方体与三棱锥D﹣ABC有相同的外接球．从而算出长方体的对角线长为4，得AB2+AC2+AD2=16．再利用基本不等式求最值即可算出S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值．解答：解：∵AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，∴以AB、AC、AD为长、宽、高，作长方体如图所示可得长方体的外接球就是三棱锥D﹣ABC的外接球∵球的半径为2，可得直径为4∴长方体的对角线长为4，得AB2+AC2+AD2=16∵S△ABC=AB•AC，S△ABD=AB•AD，S△ACD=AC•AD∴S△ABC+S△ABD+S△ACD=（AB•AC+AB•AD+AC•AD）∵AB•AC+AB•AD+AC•AD≤AB2+AC2+AD2=16当且仅当AB=AC=AD时，等号成立∴当且仅当AB=AC=AD时，S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值为8故答案为：8点评：本题求内接于球的三棱锥的侧面积的最大值，着重考查了球内接多面体、长方体的性质和基本不等式求最值等知识，属于中档题．20．已知四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为a的正方形，所有侧棱长相等且等于a，若其外接球的半径为R，则等于．考点：球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：画出图形，求出外接球的半径即可求出结果．解答：解：底面ABCD外接圆的半径是，即AO=．则PO===，∴四棱锥的外接球的半径为：，即R=，∴=．故答案为：．点评：本题考查几何体的外接球的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．21．已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC 的距离为．考点：球内接多面体．专题：计算题；压轴题．分析：先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算解答：解：∵正三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直，∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接圆O，∵圆O的半径为，∴正方体的边长为2，即PA=PB=PC=2球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P﹣ABC的体积V=S△ABC×h=S△PAB×PC=××2×2×2=2△ABC为边长为2的正三角形，S△ABC=×∴h==∴正方体中心O到截面ABC的距离为﹣=故答案为点评：本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，点到面的距离问题的解决技巧，有一定难度，属中档题22．在半径为13的球面上有A，B，C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面ABC的距离为12 ；（2）过A，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角为（锐角）的正切值为 3 ．考点：球内接多面体．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由题意说明△ABC是直角三角形，平面ABC是小圆，圆心在AC的中点，利用勾股定理直接求出球心到平面ABC的距离．（2）如图作出过A，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角，直接求出它的正切值即可．解答：解：（1）AB=6，BC=8，CA=10，△ABC是直角三角形，平面ABC是小圆，圆心在AC的中点D，AO=13，AD=5，球心到圆心的距离就是球心到平面ABC的距离，即：OD=12（2）过D作DE垂直AB于E，连接OE则∠OED就是过A，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角．易得DE=4所以tan∠OED==3故答案为：（1）12；（2）3．点评：本题是基础题，考查球的截面问题，二面角的求法，考查空间想象能力，计算能力，能够正确作出图形是解好本题个前提，也是空间想象能力的具体体现．23．正三棱锥P﹣ABC的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为2，则正三棱锥的底面边长是3 ．考点：球内接多面体；棱锥的结构特征．专题：计算题；作图题；压轴题．分析：画出正三棱锥的图形，设出底面边长，利用三角形相似求出AE，求出底面三角形的高，设出底面边长，然后求出正三棱锥的底面边长．解答：解：由题意画出正三棱锥的图形如图，三角形ABC的中心为E，连接PE，球的球心O，在PE上，连接OA，取PA的中点F连接OF，则PO=2=OA，PF=，OF=1△PFO∽△PAE所以，AE=，底面三角形的高为：底面三角形的边长为：aa=3故答案为：3点评：本题考查球内接多面体，棱锥的结构特征，考查作图能力，计算能力，是基础题．24．与四面体的一个面及另外三个面的延长面都相切的球称为该四面体的旁切球，则棱长为1的正四面体的旁切球的半径r= ．考点：球内接多面体．专题：计算题；压轴题；新定义．分析：先根据题意作出图形，如图所示，圆O是棱长为1的正四面体ABCD的旁切球的大圆，AF是正四面体ABCD 的高，F是底面三角形BCD的中心，AG是大圆O的切线，G为切点，设大圆的半径为R，在三角形ABC中，求出AE，在直角三角形AEF中，求出AF，再利用△AOG∽△AEF，得出关于R的方程即可求出答案．解答：解：根据题意作出图形，如图所示，圆O是棱长为1的正四面体ABCD的旁切球的大圆，AF是正四面体A﹣BCD的高，F是底面三角形BCD的中心，AE是侧面上的中线，AG是大圆O的切线，G为切点，设大圆的半径为R，在三角形ABC中，AE==ED，在直角三角形AEF中，EF=ED=×=，∴AF==，在三角形AOG和三角形AEF中，∵∠OAG=∠EAF，∠AGO=∠AFE=90°，∴△AOG∽△AEF，∴即，∴R=．故答案为：．点评：本小题主要考查球内接多面体、棱锥的几何特征、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力．属于基础题．参考答案与试题解析一．填空题（共8小题）1．过正三棱锥一侧棱及其半径为R的外接球的球心O所作截面如图，则它的侧面三角形的面积是．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：底面正三角形在球的大圆上，且圆心是正三角形的中心，从而求出底和高．解答：解：由图可知，底面正三角形在球的大圆上，则正三角形的高为，边长为=R．正三棱锥的高为R．则侧面三角形的底边长为R，高为=；则S=•R•R=．点评：考查了学生的空间想象力，及组合体中面积，体积的求法．2．一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的可能图形为①②③（只填写序号）．考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：当截面的角度和方向不同时，球的截面不相同，应分情况考虑．解答：解：当截面与正方体的一面平行时，截面图形如③，当截面不与正方体的一面平行，截面图形如①②．故答案为：①②③．点评：截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．3．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是．考点：球内接多面体；棱锥的结构特征．专题：作图题；证明题．分析：将截面图转化为立体图，求三角形面积就是求正四面体中的△ABD的面积．解答：解：如图球的截面图就是正四面体中的△ABD，已知正四面体棱长为2所以AD=，AC=1所以CD=截面面积是：故答案为：点评：本题考查球内接多面体以及棱锥的特征，考查空间想象能力，是中档题．4．已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为．考点：球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题；压轴题．分析：根据图示，这个截面三角形图由原正三棱锥的一条棱，一个侧面三角形的中线和底面正三角形的中线围成，正三棱锥的外接球的球心在底面正三角形的重心上，从而可求得侧面的底边长与高，故可求．解答：解：根据图示，这个截面三角形图由原正三棱锥的一条棱，一个侧面三角形的中线和底面正三角形的中线围成，正三棱锥的外接球的球心在底面正三角形的重心上，于是有半径R=底面中线长设BC的中点为D，连接SO∵R=6∴AD=9，∴OD=3，SD==，BC=，∴三棱锥的侧面积=×=．故答案为：点评：本题考查空间想象能力，关键是要抓住这个截面三角形图由原正三棱锥的一条棱，一个侧面三角形的中线和底面正三角形的中线围成，正三棱锥的外接球的球心在底面正三角形的重心上．5．（2012•桂林模拟）如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；数形结合．分析：根据正方体和球的结构特征，判断出平面ACD是正三角形，求出它的边长，再通过图求出它的内切圆的半1径，最后求出内切圆的面积解答：解：根据题意知，平面ACD是边长为的正三角形，且球与以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形1ACD1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△ACD1内切圆的半径是×tan30°=，则所求的截面圆的面积是π××=．故选A．点评：本题考查了正方体和它的内接球的几何结构特征，关键是想象出截面图的形状，考查了空间想象能力，数形结合的思想6．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1内有一个球与正方体的各个面都相切，经过DD1和BB1作一个截面，正确的截面图是（2）．考点：棱柱的结构特征．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由正方体ABCD﹣AB1C1D1内有一个球与正方体的各个面都相切，知经过DD1和BB1作一个截面，得到的截面1是一个长方形，里面包含一个圆，且这个圆的直径与长方形的宽相等，圆心是长方形的对角线的交点．解答：解：∵正方体ABCD﹣AB1C1D1内有一个球与正方体的各个面都相切，1经过DD1和BB1作一个截面，∴得到的截面是一个长方形，里面包含一个圆，且这个圆的直径与长方形的宽相等，圆心是长方形的对角线的交点，∴正确的截面图是（2）．故答案为：（2）．点评：本题考查棱柱的结构特征及其应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．7．已知空间中动平面α，β与半径为5的定球相交所得的截面的面积为4π与9π，其截面圆心分别为M，N，则线段|MN|的长度最大值为．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离；球．分析：画出图形，利用两个截面圆的圆心距与截面圆的圆心与球的球心的距离的关系，判断MN的距离的最大值的位置，求出距离即可．解答：解：由题意可知几何体的图形如图，截面圆的圆心与球的球心三点中，MO，NO是定值，当三点共线时，MN 距离最大，空间中动平面α，β与半径为5的定球相交所得的截面的面积为4π与9π，OM==，ON==4，MN的最大距离为：．故答案为：．点评：本题考查球的截面圆的位置关系，考查空间想象能力以及计算能力．8．球O的球面上有三点A，B，C，且BC=3，∠BAC=30°，过A，B，C三点作球O的截面，球心O到截面的距离为4，则该球的体积为．考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据正弦定理，求出△ABC的外接圆半径r，进而根据球心O到截面的距离d=4，结合R=求出球的半径，代入球的体积公式，可得答案．解答：解：∵△ABC中BC=3，∠BAC=30°，∴△ABC的外接圆半径r满足：2r==6．故r=3．又∵球心O到截面的距离d=4，∴球的半径R==5．故球的体积V==，故答案为：点评：本题主要考查球的球面面积，涉及到截面圆圆心与球心的连垂直于截面，这是求得相关量的关键．二．解答题（共1小题）9．（2014•上海二模）设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并浸入半径为r的一个实心球，使球与水面恰好相切，试求取出球后水面高为多少？。