jθ
(j = −1 为虚数单位)
指数式 o
θ
a 三角函数式 Re
F =| F | e =| F | (cosθ + j sinθ) = a + jb
jθ
F =| F | ejθ =| F | ∠θ
极坐标式
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几种表示法的关系： 几种表示法的关系：
Im b |F| F
F = a + jb
F =| F | e =| F | ∠θ
jθ
2 2
θ
o a Re
| F |= a + b b 或 a =| F | cosθ θ = arctan a b =| F | sinθ
2. 复数运算 ①加减运算 —— 采用代数式
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若 则 Im F2
F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2) F1+F2
1
i2 (t) = −3cos( π t + 300 ) 100
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周期性电流、 4. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变， 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为 了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。 了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。 周期电流、 周期电流、电压有效值定义 物 理 意 义 直流I 直流 R 交流 i R
F(t) = 2Ie e
jωt
& jωt = 2Ie
i(t ) = 2I cos(ω t + Ψ ) ⇔ I = I∠Ψ
注意
相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位
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•
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系： 同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
u(t) = 2U cos( t + θ ) ⇔ U =U∠θ ω 例1 已知 i =141.4cos(314t + 30o )A
1. 问题的提出
电路方程是微分方程： 电路方程是微分方程：
2
+ -
R
u
iL
L
+
uC
- C
d uC duC LC + RC + uC = u(t) dt dt
两个正弦量的相加： 方程运算： 两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算： 方程运算
i1 = 2 I1 cos(ω t +ψ1) i2 = 2 I2 cos(ω t +ψ2 )
f (t ) = ∑ Ak cos(kωt + θ k )
k =1
n
结论
对正弦电路的分析研究具有重要的理 论价值和实际意义。 论价值和实际意义。
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2. 正弦量的三要素
i(t)=Imcos(ω t+ψ)
(1) 幅值 (振幅、最大值)Im 振幅、最大值) 反映正弦量变化幅度的大小。 反映正弦量变化幅度的大小。 (2) 角频率ω 相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。 相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。
(3) 初相位ψ
ω = 2π f = 2πT
单位： 弧度/ 单位： rad/s ，弧度/秒
反映正弦量的计时起点，常用角度表示。 反映正弦量的计时起点，常用角度表示。
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3. 同频率正弦量的相位差
设 u(t)=Umcos(ω t+ψ u), i(t)=Imcos(ω t+ψ i) 相位差 ：ϕ = (ω t+ψ u)- (ω t+ψ i)= ψ u-ψ i
Im
F
π θ= , 2 π π e = cos + jsin = + j 2 2
j π 2
0
Re
− jF
π j− π π π 2 θ = − , e = cos(− ) + jsin(− ) = −j 2 2 2
−F
θ = ±π , e = cos(±π) + jsin(±π) = −1
j±π
注意 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。 都可以看成旋转因子。
1 T 2 2 I= ∫0 Im cos ( ω t +Ψ ) dt T T T 1+ cos2 ω t +Ψ ) ( 2 dt Q ∫0 cos ( ω t +Ψ ) dt = ∫0
2 1 1 = t = T 2 0 2
T
Im = 2I
1 2 T Im ∴ I= Im ⋅ = = 0.707Im T 2 2
u = 311.1cos(314t − 60o )V
试用相量表示i, u . 解
•
I =100∠30 A,
o
•
•
U = 220∠− 60o V
o
•
例2
解
15 已知 I = 50∠ A, f = 50Hz .
规定： |ϕ | ≤π (180°) 规定：
等于初相位之差
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ϕ >0， u超前 ϕ 角，或i 滞后 u ϕ 角, (u 比 i 先 超前i ， 超前
到达最大值) 到达最大值)；
ϕ <0， i 超前 u ϕ 角，或u 滞后 i ϕ 角, i 比 u 先 ，
到达最大值）。 到达最大值）。 u, i u i o
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iu, i 1
角频率 有效值 初相位
i2
i1 i2 ω I2
i1+i2 →i3
ω
I1 o
ω
ωI t
3
i3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量， 结论 同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量， 所以，只需确定初相位和有效值。因此采用 所以，只需确定初相位和有效值。 正弦量 复数 变换的思想
(1) i1(t) =10cos( π t + 3π 4) 100 i2 (t) =10cos( π t − π 2) 100
结论
两个正弦量 进行相位比 0 (2) iϕt= 3π 4cos(π 2π= 5π 4 > 0 ( ) =10 − (− ) t + 30 ) 100 1 较时应满足 0 ϕ = 5π 4 − 2t = − ) i2 (t) =10sin(100π π−153π 4 同频率、 同频率、同 0 (3)i (ti2t(t==cos(100ππt−1050 ) 函数、同符 u1) =) 10cos( 100 t + 300 ) ) 函数、 ω ( ) 10 3cos( πt −150 100 0 ω1 ≠ 2 2 0 0 ϕ = −30 − (−150 + 450 ) 号，且在主 u2 (t) =10cos(200π t ) =120不能比较相位差 ϕ = 300 − (−1050 ) =1350 值范围比较。 值范围比较。 (4) i (t) = 5cos( π t − 300 ) 100
优 ①正弦函数是周期函数，其加、减、求导、 正弦函数是周期函数，其加、 求导、 点 积分运算后仍是同频率的正弦函数； 积分运算后仍是同频率的正弦函数；
②正弦信号容易产生、传送和使用。 正弦信号容易产生、传送和使用。
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2.正弦信号是一种基本信号， 2.正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信 正弦信号是一种基本信号 号可以分解为按正弦规律变化的分量。 号可以分解为按正弦规律变化的分量。
ψu
ωt ψi ϕ
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特殊相位关系
ϕ =±π (±180 ) ，反相
o
ϕ ＝ 0， 同相
u i o o
u i ωt u
ωt
ϕ= π/2：u 领先 i π/2
i o
ωt
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。 同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
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例
解
计算下列两正弦量的相位差。 计算下列两正弦量的相位差。
W = RI T
2
W = ∫0 R (t)dt i
2
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T
均方根值
I =
def
def
1 T
∫
T
0
i (t )d t
2
定义电压有效值： 定义电压有效值：
1 U= T
设
∫
T
0
u (t ) d t
2
正弦电流、 正弦电流、电压的有效值
i(t)=Imcos(ω t+Ψ )
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结论 任意一个正弦时间函数都
有唯一与其对应的复数函数。 有唯一与其对应的复数函数。
i = 2Icos(ω t +Ψ ) ↔ F(t) = 2Ie
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F(t) 还可以写成
复常数
jψ
F(t) 包含了三要素：I、 Ψ 、ω， 正弦量对 复常数包含了两个要素： 复常数包含了两个要素：Ι , Ψ 。 应的相量
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无物理意义
j(ω t +Ψ )
F(t) = 2Ie
= 2Icos(ωt +Ψ ) + j 2Isin(ωt +Ψ )
对 F(t) 取实部 Re[ F(t)] = 2Icos(ω t +Ψ ) = i(t)
是一个正弦量 有物理意义
j(ω t+Ψ )
=180.2 + j126.2 + 2.238 + j6.329