材料力学_第二版_范钦珊_第4章习题答案第4章 弹性杆件横截面上的切应力分析4－1 扭转切应力公式p /)(I M x ρρτ=的应用范围有以下几种，试判断哪一种是正确的。

（A ）等截面圆轴，弹性范围内加载； （B ）等截面圆轴；（C ）等截面圆轴与椭圆轴；（D ）等截面圆轴与椭圆轴，弹性范围内加载。

*正确答案是 A 。

解：p )(I M x ρρτ=在推导时利用了等截面圆轴受扭后，其横截面保持平面的假设，同时推导过程中还应用了剪切胡克定律，要求在线弹性范围加载。

4－2 两根长度相等、直径不等的圆轴受扭后，轴表面上母线转过相同的角度。

设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大切应力分别为max 1τ和max 2τ，切变模量分别为G 1和G 2。

试判断下列结论的正确性。

（A ）max 1τ＞max 2τ； （B ）max 1τ＜max 2τ；（C ）若G 1＞G 2，则有max 1τ＞max 2τ； （D ）若G 1＞G 2，则有max 1τ＜max 2τ。

正确答案是 C 。

-解：因两圆轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应变相同，即γγγ==21由剪切胡克定律γτG =知21G G >时，max 2max 1ττ>。

4－3 承受相同扭矩且长度相等的直径为d 1的实心圆轴与内、外径分别为d 2、)/(222D d D =α的空心圆轴，二者横截面上的最大切应力相等。

关于二者重之比（W 1/W 2）有如下结论，试判断哪一种是正确的。

（A ）34)1(α-； （B ）)1()1(2234αα--； （C ）)1)(1(24αα--； （D ）)1/()1(2324αα--。

正确答案是 D 。

解：由max 2max 1ττ=得)1(π16π1643231α-=d M d M xx 即 31421)1(α-=D d（1）@)1(222212121α-==D d A A W W （2）（1）代入（2），得 2324211)1(αα--=W W4－4 由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G 1和G 2，且G 1 = 2G 2。

圆轴尺寸如图所示。

圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。

关于横截面上的切应力分布，有图中所示的四种结论，试判断哪一种是正确的。

正确答案是 C 。

解：因内、外层间无相对滑动，所以交界面上切应变相等21γγ=，因212G G =，由剪切胡克定律得交界面上：212ττ=。

…习题8-4图习题4-5图习题4-6图4－5 等截面圆轴材料的切应力－切应变关系如图中所示。

圆轴受扭后，已知横截面上点)4/(d a a =ρ的切应变s γγ=a ，若扭转时截面依然保持平面，则根据图示的γτ-关系，可以推知横截面上的切应力分布。

试判断图中所示的四种切应力分布哪一种是正确的。

正确答案是 A 。

4－6图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T = 3kN ·m 。

试求： 1．轴横截面上的最大切应力； …2．轴横截面上半径r = 15mm 以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比； 3．去掉r = 15mm 以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比。

解：1．7.7006.0π1610316π333P P max 1=⨯⨯⨯====d T W T W M x τMPa2． 4π2d π2d 4p p 01r I M I M A M x x r A r ⋅=⋅⋅=⋅=⎰⎰ρρρρτρ ∴ %25.6161)6015(161632π4π24π244444p 4==⨯==⋅==dr d r I r M M x r 3． ⎪⎭⎫⎝⎛-==43p max 2)21(116πd TW M x τ%67.6151)21(1)21(14444max 1max 1max 2==-=-=-=∆αατττττ 4－7 图示芯轴AB 与轴套CD 的轴线重合，二者在B 、C 处连成一体；在D 处无接触。

已知芯轴直径d = 66mm ；轴套的外径D = 80mm ，壁厚δ= 6mm 。

若二者材料相同，所能承受的最大切应力不得超过60MPa 。

试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩T 。

解：6311p max 106016π⨯≤==dT W M x 轴τ 3387101666π10609361=⨯⨯⨯⨯≤-T N ·m 64322p max 1060)8068(116π⨯≤⎪⎭⎫⎝⎛-==d T W M x 套τ 2883)2017(1101680π106049362=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯⨯≤-T N ·m ∴ 28832max =≤T T N ·m 31088.2⨯=N ·m4－8 由同一材料制成的实心和空心圆轴，二者长度和质量均相等。

设实心轴半径为R 0，空心圆轴的内、外半径分别为R 1和R 2，且R 1/R 2 = n ，二者所承受的外扭转力偶矩分别为T s 和T h 。

若二者横截面上的最大切应力相等，试证明：% 22h s 11n n T T +-=解：由已知长度和质量相等得面积相等：)(ππ212220R R R -= （1）2π16π30s3s max R T d T ⋅==τ（2）;)1(16)2(π432hmax n R T -=τ （3）由（2）、（3）式)1(4323h s n R R T T -= （4）由（1） 212220R R R -=代入（4）∴ 22222324232432232122h s 11)1)(1()1(1)1()1()(n n n n n n n n R R R T T +-=+--=--=--= .4－9 图示开口和闭口薄壁圆管横截面的平均直径均为D 、壁厚均为δ，横截面上的扭矩均为T = M x 。

试：1．证明闭口圆管受扭时横截面上最大切应力2max π2D M xδτ≈2．证明开口圆管受扭时横截面上最大切应力DMx π32max δτ≈3．画出两种情形下，切应力沿壁厚方向的分布。

解：1．δττD DA D M A x π2d 2⋅⋅=⋅=⎰∴ 2π82DM x =τ 即：2max π2D M x δτ= 2．由课本（8－18）式DM D M hb M xx x π3π32222max δδτ=⋅==4－10 矩形和正方形截面杆下端固定，上端承受外扭转力偶作用，如图所示。

若已知T = 400N ·m ，试分别确定二杆横截面上的最大切应力。

解：4.151********.04009221max a =⨯⨯⨯==-hb c M x τMPa 0.19103570246.04009221max b =⨯⨯⨯==-hb c M x τMPa：4－11 图示三杆受相同的外扭转力偶作用。

已知T = 30N ·m ，且最大切应力均不能超过60MPa 。

试确定杆的横截面尺寸；若三者长度相等，试比较三者的重量。

解：63max a 106016π⨯≤=d M xτ 4.2910π60300161060π163636a =⨯⨯=⨯⨯≥Td mm63b3b 121maxa 1060208.0⨯≤===d M d c M hbc M x x x τ 9.28m 02886.01060208.030036b ==⨯⨯≥d mm 63c21maxc 10602246.0300⨯≤⨯==d hb c M x τ 习题4-9图(a)^习题4-10图习题4-11图习题4-12图(a)66.21m 02166.01060246.0230036c ==⨯⨯⨯≥d mm、三者长度相同，重量之比即为面积之比。

816.0)02886.002942.0(4π4π22b2a b a ===d d A A 724.0)02166.002942.0(8π)(8π24π22c a 2c 2ac a ====d d d d A A ∴ 724.0:816.0:1::c b a =A A A4－12 直径d = 25mm 的钢轴上焊有两凸台，凸台上套有外径D = 75mm 、壁厚δ=的薄壁管，当杆承受外扭转力遇矩T = ·m 时，将薄壁管与凸台焊在一起，然后再卸去外力偶。

假定凸台不变形，薄壁管与轴的材料相同，切变模量G = 40MPa 。

试：1．分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力，二者如何平衡 2．确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力。

：解：设轴受T = ·m 时，相对扭转角为0ϕ 且1p 0d d GI Tx =ϕ （1）T 撤消后，管受相对扭转角2ϕ，则轴受相对扭转角201ϕϕϕ-=，此时轴、管受扭矩大小相等，方向相反，整个系统平衡。

021ϕϕϕ=+ （2）2p 1p 1p GI lM GI l M GI Tl x x '+= （3） x x M M '= （4）∴ T I I I M x p21p 2p +=（5）》2p2p12p 2p p2p12p max h DI I T W T I I T W M x ⋅+=⋅+==τ （6）1212441p 105.3834910)25(32π32π--⨯=⨯==d I 12124444p21039392210)755.72(13275π)2(132π--⨯=⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=D D D I δm 4将I p1、I p2值代入（6）得管：38.610)3939225.38349(102756.73123max h =⨯+⨯⨯=--τMPa轴：86.21105.38349)3939225.38349(103939222256.732d )(2d 1232p 1p 1p 2p 1p maxs =⨯⨯+⨯⨯⨯=⋅+⋅=⋅=--I I I T I I M x τ MPa4－13 由钢芯（直径30mm ）和铝壳（外径40mm 、内径30mm ）组成的复合材料圆轴，一端固定，另一端承受外加力偶，如图所示。

已知铝壳中的最大切应力60max a =τMPa ，切变模量G a = 27GPa ，钢的切变模量G s = 80GPa 。

试求钢芯横截面上的最大切应力max s τ。

$解：复合材料圆轴交界面上剪应变相同γγγ==a s （r = 15mm ）paamax a W M =τ a a paaa )(γτG rI M r ==习题4-13图rI G M apa a a γ=∴ rI G W apa a pa max a γτ=⋅1332027156080)(a max a s pa a pa max a s a s s s ps smax s =⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅====R G r G I G r W G G G W M r ττγγτMPa 4－14 若在圆轴表面上画一小圆，试分析圆轴受扭后小圆将变成什么形状使小圆产生如此变形的是什么应力答：小圆变形成椭圆，由切应力引起。