δ12 =
δ 21 = δ 12
1 ⎛ 1 l3 ⎞ l l l − × × = − ⎟ EI ⎜ 2 EI ⎝ 2 ⎠
1 ⎛1 2 ⎞ l3 δ13 = ⎜ l × l × l ⎟ = 3 ⎠ 3EI EI ⎝ 2
Δ1F =
P
⎞ ql 4 1 ⎛ 1 ql 2 × × × l l ⎜ ⎟= EI ⎝ 3 2 ⎠ 6 EI
F ， MA = MB =0。 2
（D） FNA = FQA = FNB = FQB =
解：从铰链处拆开，根据铰链的约束性质，应该有两个约束力－水平方向与铅垂方向， 但是根据对称性，只能有对称的约束力，这表明铅垂方向约束力必须等于零。 再应用水平方向的平衡条件，A、C 二处水平方向的约束力与外力平衡，同时应用对称 性，这二处的约束力大小相等、方向相同。于是，拆开后的半圆环的受力如图 b 所示。
正确答案是 A 。 解：这是平面结构承受平面外载荷作用的情形，在结构平面内没有外载荷作用，所以
结构平面内的所有内力分量均为零。 AE、BD，AE 为对称面，从 A、B 二处将结构截出三分之一，如图所示。 应用力偶矩矢量判断力偶的对称性：两力偶矩矢量若为反对称，其对应的的力偶则相 互对称；反之，如果两力偶矩矢量是对称的，其所对应的力偶则是反对称的。 据此，作用在截开部分上的外力偶 M，可以分为两大小相等方向相同的两个力偶（Ｍ ／２）这两个力偶矩矢量是反对称的，所以两个力偶（M／２）是对称的。 应用对称性， 在对称面 A、 B 上只有对称的内力分量即弯矩， 二者大小相等，M A = M B ， 矢量方向如图所示（力偶矩矢反对称） ，应用力矩矢量平衡条件，有
F ，FQA、FNB、MB 需求解超静定才能确定； 2
F F F F F F ，MA = ， FNB = ， FQB = ， M B = ( − )R ； π π 2 2 π π
（C） FNA =
F FR F ， FQA = 0 ， M A = 0 ， FNB = 0 ， FQB = ， M B = ； 2 2 2
2M A sin 60° = M ，
MA = MB = 3 M。 3
12－5 三根长度为 l、横截面面积为 A、材料均为线弹性的直杆，在 A、B、C、D 四处 铰结成图示的结构，F、l、E、A 等已知。试用卡氏定理确定各杆的拉力。
(a)
(b) 习题 12－5 图
解：解除 B 处的约束，使结构变成静定的，即静定基本系统；然后，在解除约束处加 上多余约束力 FRB ，应用对称性，由
第 12 章 简单的静不定系统
12－1 关于求解图 a 所示的超静定结构，解除多余约束有图 b、c、d、e 所示四种选择， 试判断下列结论中哪一种是正确的。 （A）b、c、d 都正确； （B）b、d 正确； （C）b、c、e 正确； （D）仅 e 是正确的。
习题 12－1 图
解：正确答案是
D
。
12－2 两个弯由刚度 EI 相同、半径为 R 的半圆环，在 A、C 两处铰链连接，加力方式 如图所示。关于 A、B 两处截面上的内力分量的绝对值，有如下四种结论，试分析哪一种是 正确的。
= 0 ， FNB =
FR F ，MB = 。 2 2
解：从铰链处拆开，根据铰链的约束性质，应该有两个约束力－水平方向与铅垂方向， 但是根据对称性，只能有对称的约束力，这表明水平约束力必须等于零。 再应用铅垂方向的平衡条件，因为铅垂方向没有外力作用，所以，铅垂方向的约束力也 变形等于零。 于是，拆开后的半圆环的受力如图 b 所示。A、B 截面的内力分量分别为： F M A = 0 ， FQA = 2 ∑ Fx = 0 ， F FNB = FQA = 2 ∑MB = 0，
(a) 习题 12－6 图
(b)
解：此为一次静不定结构，解除 D 处的约束，使之变成静定的，即静定基本系统，如 图 b 所示。分段写弯矩方程并对多余约束力求偏导数
M 1 ( x1 ) = FRD x1 ，
∂M 1 = x1 ∂FRD
∂M 2 =l ∂FRD
M 2 ( x 2 ) = FRD l ，
M 3 ( x 3 ) = FRD x3 − FP (l − x3 ) ，
ΔBx = 0 X 1δ11 + Δ1FP = 0
2 1 2 2l 3 l ⋅l ⋅ l = EI 2 3 3EI
（a）
利用图乘法求其中的位移，作用在静定基本系统上的载荷（图 c）以及沿这多余约束力 方向施加的单位力（图 e）所产生的弯矩图分别如图 d 和 f 所示。据此，可以求得：
δ 11 =
Δ 1F
ql 2 1 3 3 11 2 M =− + × ql × l = ql 28 2 7 7 196
最大弯矩发生在固定端处横截面上
M max = −
ql 2 1 3 3 3 2 + × ql × l = ql 28 2 7 7 28
题（c）解：此为 1 次静不定问题，将 B 处的水平约束作为多余约束，解除多余约束，
∑F
x
=0，
FNA + FNC − F = 0 , FNA = FNC =
于是，A、B 截面的内力分量分别为：
F 2
FNA =
F ， FQ A = 0 ， M A = 0 2
F F ，MB = R 。 2 2
FN B = 0 ， FQB =
所以，正确答案是 C 。
12－4 闭口圆环在三个等分点 C、D、E 处，承受环绕杆轴线转动的外力偶如图所示。关 于 A、B 两截面上内力分量数值，有以下四种结论，试分析哪一种是正确的。
∑ Fy = 0 ，
FN1 = FN 3 = ( F − FRB ) 2 ， FN 2 2
= FRB
∂FN 2 ∂FN1 ∂FN 3 2 =− =1 = ， 2 ∂FRB ∂FRB ∂FRB
应用卡氏定理（内力分量形式）建立变形协调条件
∂Vε =0 ∂FRB
l F l F l F ∂Vε ∂F ∂F ∂F = ∫ N1 N1 dx + ∫ N3 N3 dx + ∫ N2 N2 dx 0 EA ∂F 0 EA ∂F 0 EA ∂F ∂FRB RB RB RB
=
l l 1 ⎡ l 2 2 F x x F l x d d + + 2 ∫ 0 ( FRD x3 − FP ( l − x3 ) ) x3dx3 ⎤ ⎥ ⎣ ∫ 0 RD 1 1 ∫ 0 RD ⎦ EI ⎢ 1 ⎛5 1 ⎞ FRD l 3 − FP l 3 ⎟ = 0 = ⎜ EI ⎝ 3 6 ⎠
到静定基本系统。在静定基本系统上加上载荷以及多余约束力，得到相当系统如图 b 所示。 为了使两个系统完全相当，必须使相当系统在 A 处的水平位移以及 B 处的铅垂位移都 等于零。于是，变形协调条件为
(a)
(b) 习题 13 图(b)-1
X 1δ11 + X 2δ12 + Δ1FP = 0 ⎪ ⎫ ⎬ X 1δ 21 + X 2δ 22 + Δ2 FP = 0 ⎪ ⎭
3 1 ⎛1 2 ⎞ 4l δ11 = ⎜ l × l × l + l × l × l ⎟ = EI ⎝ 2 3 ⎠ 3EI
（a）
利用图乘法求其中的位移，作用在静定基本系统上的载荷（图 c）以及沿多余约束力 X1 和 X2 方向施加的单位力（图 e 和 g）所产生的弯矩图分别如图 f 和 h 所示。据此，可以求得：
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) 习题 12－7(a)图
(f)
题（a） 解：此为 1 次静不定问题，将 B 处的水平约束作为多余约束，解除多余约束， 得到静定基本系统。 在静定基本系统上加上载荷以及多余约束力， 得到相当系统如图 b 所示。 为了使两个系统完全相当，必须使相当系统在 B 处的水平位移等于零。于是，变形协 调条件为
Δ2 F
P
1 ⎛ 1 ql 2 3 ⎞ ql 4 = ×l × l ⎟ = − ⎜− × EI ⎝ 3 2 4 ⎠ 8 EI
将上述位移代入变形协调方程，解得 A、B 二处的多余约束力：
X1 =
X2 =
ql （←） 28
3 ql （↑） 7
(c)
(d)
(e)
(f)
(g) 习题 13 图(b)-2
(h)
（a）
（b） 习题 12－4 图
（A） FQA = FQB = 0 ， FNA = FNB = 0 ， M A = M B = 3( M / 3) ； （B）需解超静定才能确定； （C） FQA = FQB = 0 ， FNA
= FNB = 0 ，MA 、MB 需解超静定才能确定；
M 。 2
（D） FQA = FQB = FNA = FNB ，但需解超静定才能确定具体数值， M A = M B =
MB = F ⋅R 2
所以，正确答案是
D
。
12－3 两个弯曲刚度 EI 相同，半径为 R 的半圆环，在 A、C 两处铰接。关于在图示受 力情形下 A、B 两处截面上的内力分量数值有以下四种结论，试分析哪一种是正确的。
(a) 习题 12－3 图
(b)
（A） FNA = F / 2 ， M A = 0 ， FNB = （B） FNA = F / 2 ， FQA =
再以相当系统作为平衡对象，即可求得全部约束力：
FCx =
FCy =
ql （→） 28
4 ql （↑） 7 ql 2 3 MC = − − l × X 1 + l × X 2 = − ql 2 （顺时针方向） 2 28
(i) 习题 13 图(b)-3
(j)
据此，可以画出剪力图和弯矩图，分别如图 i 和 j 所示。极值点弯矩
（b）
FBy =
7 ql （↑） 16