数环和数域
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1．5 数环和数域
1． 证明，如果一个数环{}0≠S ,那么S 有无限多个元素。
证明：法一（正面证明）： {}0≠S
0,≠∈∃∴a S a
S 为数环 ∴加法具有封闭性
∴S na a a ∈,,,,2, 且为两两不同的数 （否则，可以推出0=a ）
∴
S 有无限多个元素
法二（反证法）：
假设S 有有限多个元素 不妨设为k 个
{}0≠S
0,≠∈∃∴a S a
S 为数环 ∴加法具有封闭性
∴,,,,2, ka a a 为两两不同的数且为S 中元，矛盾
∴
假设不正确，即：
S 有无限多个元素
2． 证明：{}
Q b a bi a F ∈+=,是数域。
证明： Q b a bi a ∈+,, 令0==b a ∴
Q bi a ∈=+0
∴
F 为复数集C 的非空子集
又对F di c bi a ∈++∀,有：
F i d b c a di c bi a ∈±+±=+±+)()()()( F i ad bc bd ac di c bi a ∈++-=++)()())((
∴
F 为数环
又对0,,≠+∈++∀di c F di c bi a 有：
022≠+d c 及
F i d c ad
bc d c bd ac di c bi a ∈+-+++=++2
222
数环和数域
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所以F 的除法封闭 所以F 为数域。
3． 证明：⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧∈=Z n m m S n
,2是一个数环。
S 不是一个数域。
证明：（1）S 为数环的证明：
S ∈=
02
1
1 ∴
S 为复数集的非空子集
又对任意的
2,1,,,2,22
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1=∈∈i Z n m S m m i i n n 有： S m m m m n n n n n n ∈±=
±
+2
11
22
1
222222121
S m m m m n n n n ∈=⋅+21212222
121 ∴
S 为数环
（2）S 不是数域的证明： S ∈==
2
2
1
5,1
1
但S ∉5
1
∴S 对除法不具封闭性 ∴
S 不是数域
4． 证明：两个数环的交还是一个数环；两个数域的交还是一个数域。
两个
数环的并是不是数环？
证明：（1）两个数环的交还是数环： 任取两个数环21,S S
∴
10S ∈，20S ∈ 令21S S S ⋂=
数环和数域
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∴S ∈0
∴
S 为复数集C 的非空子集
对任意的S b a ∈,有： 1,S b a ∈2,S b a ∈ 1S 为数环
∴
1,S ab b a ∈±
同理：2,S ab b a ∈±
∴S ab b a ∈±, ∴S 为数环
（2）两个数域的交还是一个数域 任取两个数环21,F F
令21F F F ⋂=
根据（1）知F 是一个数环 对任意的0,,≠∈b F b a 有
1,F b a ∈2,F b a ∈
1F 是数域
∴1F b a ∈
同理2F b a
∈
∴F b
a
∈，即： F 为数域
（3）两个数环的并不一定是数环
取数环：{}Z n n Z ∈=33，{}
Z k k Z ∈=22 令⋃=Z S 3Z 2 Z 33∈，Z 22∈
∴
S ∈3,2
但S ∉+=325
即S 的加法不封闭 ∴
S 不是数环
5． 设n 是一整数，令：
{}
Z z nz nZ ∈=
由例1，nZ 是一个数环。
设Z n m ∈,，记：
数环和数域
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{}
Z y x ny mx nZ mZ ∈+=+, 证明：（i ）nZ mZ +是一个数环。
证明： nZ mZ n m +∈+
∴nZ mZ +是复数集的非空子集
∴对任意的nZ mZ nz mz nz mz +∈++2211, 有：
nZ mZ z z n z z m nz mz nz mz +∈±+±=+±+)()()()(21212211
nZ
mZ z nz n z z n m m nz mz nz mz +∈++=++)()2(()
)((21212211
∴nZ mZ +对加，乘，减运算具有封闭性
∴nZ mZ +为数环。
（ii ）m n nZ mZ ⇔⊆
证明：充分性： m n
∴st Z d ,∈∃ dn m =
对任意的mZ b ∈ （1） st Z f ,∈∃ )(fd n fm b == ∴nZ b ∈ （2） 由（1）、（2）知： nZ mZ ⊆ 必要性：
nZ mZ mZ m ⊆∈, ∴nZ m ∈
∴st Z d ,∈∃
dn m =
∴m n
（iii ）),(,n m d dZ nZ mZ ==+这里是n m ,的最大公因数
分析：本题实际上是证明集合相等，只要证明相互包含即可。
证明：先证dZ nZ mZ ⊆+
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),(n m d =
∴st b a Z b a ,1),(,,=∈∃ bd n ad m ==,
对任意的Z y x nZ mZ ny mx ∈+∈+,,有： dZ d by ax bdy adx ny mx ∈+=+=+)( ∴dZ nZ mZ ⊆+ 再证：dZ nZ mZ ⊇+ ),(n m d =
∴st Z b a ,,∈∃
d bn am =+ （1） 又对任意的dZ f ∈ （2）
dh f st Z h =∈∃:, （3）
由（1）、（3）知：
nZ mZ bh n ah m f +∈+=)()( （4）
由（2）、（4）知
dZ nZ mZ ⊇+
综合两个方面的证明，dZ nZ mZ =+
（iv ）),(1n m Z nZ mZ =⇔=+ 证明：由（iii ）知：
),(n m d dZ nZ mZ =⇔=+
),(1n m =
∴),(1n m Z nZ mZ =⇔=+
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广东陶粒，广东陶粒厂 Up3ICj4stBs1
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