（1） 概念微分方程：一般，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量的之间关系的方程。

微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。

如： 一阶：2dyx dx= 二阶：220.4d sdt=-三阶：32243x y x y xy x ''''''+-= 四阶：()4410125sin 2yy y y y x ''''''-+-+=一般n 阶微分方程的形式：()(),,,,0n F x y y y '=。

这里的()ny 是必须出现。

（2）微分方程的解设函数()y x ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，()()()(),,0n F x x x x ϕϕϕ⎡⎤'≡⎢⎥⎣⎦则()y x ϕ=称为微分方程()(),,,,0n F x y y y '=的解。

注：一个函数有n 阶连续导数→该函数的n 阶导函数也是连续的。

函数连续→函数的图像时连在一起的，中间没有断开（即没有间断点）。

导数→导函数简称导数，导数表示原函数在该点的斜率大小。

导函数连续→原函数的斜率时连续变化的，而并没有在某点发生突变。

函数连续定义：设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义，如果()()00lim x x f x f x →=则称函数()f x 在点0x 连续。

左连续：()()()000lim x x f x f x f x --→== 左极限存在且等于该点的函数值。

右连续：()()()000lim x x f x f x f x ++→== 右极限存在且等于该点的函数值。

在区间上每一个点都连续的函数，叫做函数在该区间上连续。

如果是闭区间，包括端点，是指函数在右端点左连续，在左端点右连续。

函数在0x 点连续⇔()()()()00lim lim lim x x x x x x f x f x f x f x -+→→→=== 1、()f x 在点0x 有定义 2、()0lim x x f x →极限存在3、()()00lim x x f x f x →=（3）微分方程的通解如果微分方程中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫微分注：任意常数是相互独立的：它们不能合并使得任意常数的个数减少。

补充：设()()()12,,n y x y x y x 是定义在区间I 上的n 个函数，若存在n 个不全为零的常数（强调存在性，找到一组常数即可）12,,,n k k k ，使得当对∀x I ∈时有恒等式：()11223()()0n k y x k y x k y x +++≡成立。

则称这n 个函数在区间I仅当12,,,n k k k 全等于零该等式才恒成立。

则这n 个函数在区间I例：函数221,sin ,cos x x 在整个数轴上线性相关。

221sin cos 0x x --≡恒成立。

函数21,,x x在任何区间(),a b →线性无关21230k k x k x ++≡要使恒成立，则1230k k k === 否则：若123,,k k k 不同时等于零，则21230k k x k x ++≡最多只有两个x 的值能是该式恒成立。

对x 不具有普遍性。

对两个函数()()12,y x y x 而言：()()12(y x c y x =常数）→线性相关()()()12(y x x y x ϕ=函数）→线性无关：微分方程的通解中含有任意常数，实际情况→提出确定这些常数的条件。

通解→特解一阶微分方程定解条件一般为：00x x y y == 二阶微分方程定解条件一般为：000,x x x x y y y y ==''== 其中000,,x y y '都是给定的值。

微分方程的解→()y x ϕ=求微分方程(,y f x y '=）满足初始条件00x x yy ==00(,x x y f x y y y ='=⎧⎪⎨=⎪⎩）()00,x y 的那条积分曲线。

()0000,,,x x x x y f x y y y y y y =='''⎧=⎪⎨''==⎪⎩()00,x y 且在该点斜率为0y '的那条积分曲线。

（4）几种常见的微分方程 1、可分离变量的微分方程一般形式形式：(,y f x y '=）对称形式：()(),,0p x y dx q x y dy +=（,x y 都可以看做函数，另一个为自变量）即：()()(),(,0),p x y dy q x y dx q x y =-≠或()()(),(,0),q x y dxp x y dy p x y =-≠可分离变量：如果一阶微分方程能写成()()g y dy f x dx =的形式。

特点：一端只含y 的函数和dy ，另一端只含x 的函数和dx 。

这样微分方程称为可分离变量的微分方程。

例：求解2dyxy dx=的通解。

解：12dy xdx y=→12dy xdx y =⎰⎰→21ln y x c =+→通解：221x c x y e ce +=±=2、齐次微分方程一阶微分方程可以化成dy y f dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的形式。

求解：dy y f dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭y u x=→y ux =， dy du x u dx dx =+→()dux u f u dx+=→()11du dx f u u x =-（可分离变量）→通解 例：解方程22dy dyy xxy dx dx+=22dy dy y x xy dx dx +=→2y dy y dyx dx x dx ⎛⎫+=⎪⎝⎭→2du du u x u u x u dx dx ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭ →()1du x u u dx -=→111du dx u x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭→111du dx u x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰⎰1ln ln u u x c →-=+→122ln ,ln yuxy ux u c ux c e y ux y c e y c x=-→=→==→=+ 3、一阶线性微分方程若()0dyp x y dx +=，称为一阶齐次线性微分方程。

若()()dy p x y q x dx+=（()0q x ≠），称为一阶非齐次线性微分方程。

解()0dyp x y dx+=的通解如下：可分离变量的一阶微分方程 ()()()110ln dy p x y dy p x dx y p x dx c dx y+=→=-→=-+⎰()2p x dx y c e -⎰→= ()p x dxy ce -⎰→=（齐次方程通解）采用积分因子法求()()dyp x y q x dx+=()()()()()()()()()p x dx p x dx p x dx p x dx dy dy p x y q x e p x y q x e e y q x e dx dx '⎡⎤⎡⎤⎰⎰⎰⎰+=→+=→=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()p x dxp x dxe y q x e dx c ⎰⎰=+⎰()()()p x dx p x dx y e q x e dx c -⎡⎤⎰⎰→=+⎢⎥⎣⎦⎰例：求解()52211dy yx dx x -=++的通解齐次通解：()()52122110ln 2ln 111212dy y dy y dy dx x y x c dx x dx x y x -=+→-=→=→=+++++ ()1ln 22ln 12y x c →=++()()222ln 2ln 1ln 2ln 2ln 21y x c y c x →=++→=+ ()21y c x →=+非齐次特解：()()()2222555111122221111dx dx dx dx x x x x dy y x e y e x e y e x dx dx x ----++++'⎡⎤⎰⎰⎰⎰-=+→=+→=+⎢⎥+⎣⎦⎰ ()()()()()5122ln 12ln 122111x x ey ex dx x y x dx --+-+→=+→+=+⎰⎰→()()12211x y x dx -+=+→⎰()()32212113y x x c ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦通解：()()3222113y x x c⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦4、伯努利方程形如：()()n dyp x y q x y dx+= 当0n =时，()()dyp x y q x dx += 一阶线性微分方程（公式法）当1n =时，()()dy p x y q x y dx +=()()dyq x p x y dx→=-⎡⎤⎣⎦ 可分离变量微分方程 求通解过程：()()()()1n n n dy dy p x y q x y y p x y q x dx dx--+=→+=()()()()1111n n y n p x y n q x --'⎡⎤→+-=-⎣⎦ ()()()()111n dzn p x y n q x dx-→+-=-（积分因子公式法）例：求解()2ln dy y a x y dx x +=5二阶线性微分方程形如：()()()22d y dyp x q x y f x dx dx++= 若()0f x ≡时，()()220d y dyp x q x y dx dx ++=称为：二阶线性齐次微分方程。

若()0f x ≠时，()()()22d y dyp x q x y f x dx dx++=称为：二阶非齐次微分方程。

推广：n 阶线性微分方程()()()()()()111n n n n ya x y a x y a x y f x --'++++=线性微分方程解的结构：对()()220d y dyp x q x y dx dx++=证明：()()()()11221122+y c y x c y x c y x c y x ''''''''=+=⎡⎤⎣⎦()1y x 是原方程的解，则：()()()()()1110y x p x y x q x y x '''++= ()()()()()1111110c y x p x c y x q x c y x '''∴++=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 同理()()()()()2222220c y x p x c y x q x c y x '''++=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()1122112211220c y x c y x p x c y x c y x q x c y x c y x '''+++++=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦、得证：()()1122y c y x c y x =+是()()220d y dyp x q x y dx dx++=的解。