勾股定理培优题型归纳总结一、巧解几何图形折叠问题折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形绕着折线翻折能够完全重合，解答折叠问题就是巧用轴对称及全等的性质解答折叠中的变化规律．利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤：(1)运用折叠图形的性质找出相等的线段或角；(2)在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一线段的长为x，将此直角三角形的三边长用数或含有x的代数式表示出来；(3)利用勾股定理列方程求出x；(4)进行相关计算解决问题．考点1、巧用对称法求折叠中图形的面积1、将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，求△BED面积．来【解析】由题意易知AD∥BC，∴∠2＝∠3.∵△BC′D与△BCD关于直线BD对称，∴∠1＝∠2.∴∠1＝∠3.∴EB＝ED.设EB＝x，则ED＝x，AE＝AD－ED＝8－x.在R t△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，∴42＋(8－x)2＝x2.∴x＝5.∴DE＝5.∴S∴BED＝12DE·AB＝12×5×4＝10.考点2、巧用全等法求折叠中线段的长1、如图①是一直角三角形纸片，∠A＝30°，BC＝4 cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将图②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为()A.83c m B．2 3 c m C．2 2 c m D．3 c m【答案】A考点3、巧用折叠探究线段之间的数量关系1、如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC 于点F，连接CE.(1)求证：AE＝AF＝CE＝CF(2)设AE＝a，ED＝b，DC＝c，请写出一个a，b，c三者之间的数量关系式．(1)证明：由题意知，AF＝CF，AE＝CE，∠AFE＝∠CFE，又四边形ABCD是长方形，故AD∥B C，∴∠AEF＝∠CFE.∴∠AFE＝∠AEF.∴AE＝AF＝EC＝CF.(2)【解析】由题意知，AE＝EC＝a，E D＝b，DC＝c，由∠D＝90°知，ED2＋DC2＝CE2，即b2＋c2＝a2考点4、巧用方程思想求折叠中线段的长1、如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG.(1)求证：△ABG≌△AFG；2)求BG的长．(1)证明：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠D＝∠B＝90°.∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD＝AF，∠D＝∠AFE＝90°.∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°.又∵AG＝AG，∴R t△ABG≌R t△AFG(HL)．(2)【解析】∵△ABG≌△AFG，∴BG＝FG.设BG＝FG＝x，则GC＝6－x，∵E为CD的中点，∴CE＝DE＝EF＝3，∴EG＝3＋x.∴在R t△CEG中，32＋(6－x)2＝(3＋x)2，解得x＝2.∴BG＝2.专题二、勾股定理求最短路径长度问题求最短距离的问题，第一种是通过计算比较解最短问题；第二种是平面图形，将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离)．考点1、通过计算比较解最短问题1、小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在黄石A坐“武黄城际列车”到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB＝80 km，BC＝20 km，∠ABC＝120°.请你帮助小明解决以下问题：(1)求A，C之间的距离．(参考数据：21≈4.6)(2)若客车的平均速度是60 km/h，市内的公共汽车的平均速度为40 km/h，“武黄城际列车”的平均速度为180 km/h，为了在最短时间内到达武昌客运站，小明应选择哪种乘车方案？请说明理由．(不计候车时间)【解析】(1)如图，过点C作AB的垂线，交AB的延长线于点E.∵∠ABC＝120°，∴∠BCE＝30°.在R t△CBE中，∵BC＝20 km，∴BE＝10 km.由勾股定理可得CE＝10 3 km.在R t △ACE 中，∵AC 2＝AE 2＋CE 2＝(AB ＋BE )2＋CE 2＝8 100＋300＝8 400，∴AC ＝2021≈20×4.6＝92(km )．(2)选择乘“武黄城际列车”．理由如下：乘客车所需时间为8060＝113(h )， 乘“武黄城际列车”所需时间约为92180＋2040＝1190(h )．∵113>1190，∴选择乘“武黄城际列车”． 2、如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A 走到B ，为了避免拐角C 走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路(假设2步为1 m )，却踩伤了花草．【答案】4考点2、用平移法求平面中最短问题1、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm ，30 cm ，10 cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只壁虎，它想到B 点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，至少需爬( )A ．13 cmB ．40 cmC ．130 cmD ．169 cm【解析】将台阶面展开，连接AB ，如图，线段AB 即为壁虎所爬的最短路线．因为BC ＝30×3＋10×3＝120(c m )，AC ＝50 c m ，在R t △ABC 中，根据勾股定理， 得AB 2＝AC 2＋BC 2＝16 900，所以AB ＝130 c m .所以壁虎至少爬行130 c m .2、如图，已知∠B ＝∠C ＝∠D ＝∠E ＝90°，且AB ＝CD ＝3，BC ＝4，DE ＝EF ＝2，则AF的长是________．【答案】10考点3、用对称法求平面中最短问题1、如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，求DN＋MN最小值【解析】如图所示，∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点∴连接BN，BD，则直线AC即为BD的垂直平分线，∴BN＝ND.，∴DN＋MN＝BN＋MN. 连接BM交AC于点P，∵点N为AC上的动点，∴由三角形两边之和大于第三边，知当点N运动到点P时，DN＋MN＝BP＋PM＝BM，DN＋MN的最小值为BM的长度．∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD＝8，C M＝8－2＝6，∠B C M＝90°，BM＝BC2＋CM2＝82＋62＝10.即D N＋MN的最小值为10.2、高速公路的同一侧有A，B两城镇，如图，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′＝2 km，BB′＝4 km，A′B′＝8 km.要在高速公路上A′，B′之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小．求这个最短距离．【解析】如图，作点B关于直线MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则点P即为所建的出口．此时A ，B 两城镇到出口P 的距离之和最小，最短距离为AC 的长．作AD ⊥BB ′于点D ，在R t △ADC 中，AD ＝A ′B ′＝8 km ，DC ＝6 km .，∴AC ＝AD 2＋DC 2＝10 km ，∴这个最短距离为10 km .考点4、用展开法求圆柱中的最短问题 如图，已知圆柱体底面圆的半径为2π，高为2，AB ，CD 分别是两底面的直径．若一只小虫从A 点出发，沿圆柱侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是________(结果保留根号)．【解析】将圆柱体的侧面沿AD 剪开并铺平得长方形AA ′D ′D ，连接AC ，如图．线段AC 就是小虫爬行的最短路线．AB ＝2π×2π×12＝2.在R t △ABC 中，由勾股定理得AC 2＝AB 2＋BC 2＝22＋22＝8，∴AC ＝8＝2 2.考点5、用展开法求圆锥中的最短问题已知：如图，观察图形回答下面的问题：(1)此图形的名称为________．(2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS 剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个________．(3)如果点C 是SA 的中点，在A 处有一只蜗牛，在C 处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC 爬到C 处，只能沿此立体图形的表面爬行，你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？(4)SA 的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程．【解析】(1)圆锥(2)扇形(3)把此立体图形的侧面展开，如图所示，AC为蜗牛爬行的最短路线(4)在R t△ASC中，由勾股定理，得AC2＝102＋52＝125，∴AC＝125＝55，故蜗牛爬行的最短路程为5 5.考点6、用展开法求正方体中的最短问题如图，一个正方体木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．(1)请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当正方体木柜的棱长为4时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．【解析】(1)蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC′1和AC1.(2)如图，AC′1＝AC1＝（4＋4）2＋42＝4 5.所以蚂蚁爬过的最短路径的长是4 5.考点7、用展开法求长方体中的最短问题如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12 cm，8 cm，30 cm，在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃，求小虫爬行的最短路程．【解析】分为三种情况：(1)如图①，连接EC ，在R t △EBC 中，EB ＝12＋8＝20(c m )，BC ＝12×30＝15(c m )．由勾股定理， 得EC ＝202＋152＝25(c m )．(2)如图②，连接EC .根据勾股定理同理可求CE ＝673 c m >25 c m .(3)如图③，连接EC ，根据勾股定理可求CE ＝122＋（30＋8＋15）2＝ 2 953(c m )>25 c m . 综上可知，小虫爬行的最短路程是25 c m .。