第三章 流体运动学3－1 已知流体质点的运动，由拉格朗日变数表示为 x =ae kt，y =be -kt，z =c ，式中k 是不为零的常数。

试求流体质点的迹线、速度和加速度。

解：（1）由题给条件知，流体质点在z=c 的平面上运动，消去时间t 后，得xy =ab上式表示流体质点的迹线是一双曲线族：对于某一给定的（a ，b ）,则为一确定的双曲线。

（2）0kt kt x y z x y z u kae u kbe u t t t-∂∂∂====-==∂∂∂，， （3）220y ktkt x z x y z u u u a k ae a k be a t t t-∂∂∂======∂∂∂，， 3－2 已知流体运动，由欧拉变数表示为u x =kx ，u y =－ky ，u z =0，式中k 是不为零的常数。

试求流场的加速度。

解：2d d x x x x x x x y z u u u u ua u u u k x t t x y z ∂∂∂∂==+++=∂∂∂∂ 2d d y y u a k y t ==，d 0d z z ua t==3－3 已知u x =yzt ，u y =zxt ，u z =0，试求t =1时流体质点在（1，2，1）处的加速度。

解：2()3m/s x x x x x x y z u u u ua u u u yz zxt zt t x y z ∂∂∂∂=+++=+=∂∂∂∂ 2()3m/s y y y y y x y z u u u ua u u u zx yzt zt t x y z ∂∂∂∂=+++=+=∂∂∂∂0z z z z z x y z u u u ua u u u t x y z∂∂∂∂=+++=∂∂∂∂3－4 已知平面不可压缩液体的流速分量为u x =1－y ，u y =t 。

试求（1）t =0时，过（0，0）点的迹线方程；（2）t =1时，过（0，0）点的流线方程。

解：（1）迹线的微分方程式为d d d d d d d d d d y x y x yx y x yt t t y u t t t u u u u ======，，，， 积分上式得：122C t y +=，当t=0时，y=0，C 1=0，所以22t y =(1)2d d (1)d (1)d 2x t x u t y t t ==-=-，积分上式得：236C t t x +-=当t =0时，x =0，C 2=0，所以63t t x -=(2)消去（1）、（2）两式中的t，得x =有理化后得 023492223=-+-x y y y（2）流线的微分方程式为d d d d d (1)d 1===--，即，x y x y x y t x y y u u y t，积分上式得 C y y tx +-=)2(2当t =1时，x =y =0，C =0，所以可得：)2(12y y t x -=（为非恒定流） 3－5 已知u x ＝x ＋t ，u y ＝－y ＋t ，u z ＝0，试求t ＝2时，通过点A （－1，－1）的流线，并与例3－3相比较。

解：由例3－3可得：()()x t y t C +-+=当t =2，x =－1，y =－1，C =3。

因此，通过点A （－1，－1）的流线为 3)2)(2(=+-+y x上式不同于例3－3，即当t =0时通过A 点的流线为xy ＝1，说明不同时刻的流线不同。

3－6 试求例3－6流体运动的流线方程和流体质点通过点A （1，0）流线的形状。

解：例3－6流体运动如题3-6图所示 22yx ky u x +-=，22y x kxu y += 流线方程：2222d ()d ()x x y y x y ky kx -++=2222d ()d ()0kx x x y ky y x y +++= 2222d()()02k x y x y +?=积分，得122)(2C y x k =+，222)(C y x =+圆心（0，0），半径2C R =。

当x =1，y =0，代入上式得C 2=1。

（22y x +）=1， 为一圆，因是恒定流，不同时间为同一圆。

3－7 已知22y x kyt u x +-=，22y x kxtu y+=，z u =0，式中k 是不为零的常数。

试求：（1）流线方程，（2）t =1时，通过点A （1，0）流线的形状，（3）将求得的流线方程与习题3－6求得的流线方程相比较，它们有什么异同。

解：z u =0，为平面（二维）流动。

（1）流线方程 d d x y x y u u = 将x u 、y u 代入上式，得 2222()d d x y x y x y kyt kxt-++= 2222()d ()d x y x kxtx y y kyt -+?+?2222()d ()d 0x y kxt x x y kyt y +++=22()(d d )0kt x y x xy y +?=，22221()d()02kt x y x y ++=积分得221()2kt x y C +=，流线方程一般形式：222()x y t C +=。

（2）t=1，x=1，y=0，代入上式，得C 2=1；流线为22y x +=1，流线的形状为一圆。

题3-6图（3）因是非恒定流，不同时间为不同的圆，如t=2，x=1，y=0，C 2=2，222(2)x y +=3－8 试证明下列不可压缩均质流体运动中，哪些满足连续性方程，哪些不满足连续性方程。

（1）u x ＝－ky ，u y ＝kx ，u z ＝0；（2）u x ＝kx ，u y ＝－ky ，u z ＝0；（3）u x ＝22yx y+-， u y ＝22y x x+，u z ＝0；（4）u x ＝ay ，u y ＝u z ＝0；（5）u x ＝4，u y ＝ u z ＝0；（6）u x ＝1，u y ＝2；（7）u x ＝4x ，u y ＝0；（8）u x ＝4xy ，u y ＝0。

解：平面流动中，不可压缩均质流体的连续性方程为0=∂∂+∂∂yu x u yx （1）0＋0＝0；（2）k －k =0；（3）0)(2)(2222222=+-+y x xyy x xy ；（4）0＋0＝0； （5）0＋0＝0，（6）0＋0＝0；（7）4＋0≠0，（8）4y ＋0≠0。

（1）~(6)的流体运动满足连续性方程；（7）、（8）的流体运动不满足连续性方程，实际上流动是不能实现的。

3－9 已知水平圆管过流断面上的流速分布为2max 01()r u u r 轾犏=-犏臌，u max 为管轴处最大流速，r 0为圆管半径，r 为点流速u 距管轴的径距。

试求断面平均速度v 。

解：02max 20001112d π⎡⎤⎛⎫⎢⎥==- ⎪π⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰r A r v udA u r r A r r0222max max 00max 2220000022πd d 0.5ππ24⎡⎤⎡⎤π=-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰r r u u r r r r r r r u r r r 3－10 已知水平圆管过流断面上的流速分布为71max )(r yu u x =，u max 为管轴处最大流速，0r 为圆管半径，y 为点流速u x 距管壁的距离。

试求断面平均流速v 。

解：017max00d 2π()()d r xAyQ u A u r y y r ==-⎰⎰087157max 01702π77815ru r y y r =-2max 049π60u r = 2max 0max max 2049149π0.8176060Q v u r u u A r p ====。

3－11 设一有压管流经圆管进入圆锥形的收敛管嘴，如图所示。

已知圆管直径d A ＝0.2m ，流量Q ＝0.014m 3/s ；d B ＝0.1m 。

试求经过圆管内点A 和收敛管嘴内点B 的过流断面的平均流速v A 、v B 。

注：经过点B 的过流断面面积，可近似地视为球缺或球冠表面积，为2πRh （不包括底面面积）。

解：Av=AQA=22440.014m/s0.45m/sππ0.2⨯==⨯AQd经过点B的过流断面面积，可近似地视为球缺面积A B＝2πRh，式中h＝（0.05－0.05cos450）m =0.015m，Ｒ＝0.05m。

因此0.014m/s 2.97m/s20.050.015BBQvAπ===⨯⨯3－12 送风管的断面面积为50 cm×50cm，通过a、b、c、d四个送风口向室内输送空气，如图所示。

已知送风口断面面积均为40 cm×40cm，气体平均速度均为5m/s，试求通过送风管过流断面1－1、2－2、3－3的流量和流速。

解：Q=vA=5330.40.4m/s0.8m/s⨯⨯=331330.8m/s 2.4m/sQ Q==⨯=，1112.4m/s9.6m/s0.50.5QvA===⨯332220.8m/s 1.6m/sQ Q==⨯=，2221.6m/s 6.4m/s0.50.5QvA===⨯330.8m/sQ Q==，3330.8m/s 3.2m/s0.50.5QvA===⨯3－13 蒸汽管道如图所示。

已知蒸汽干管前段的直径d0＝50mm，流速v0 ＝25m/s，蒸汽密度ρ0 ＝2.62kg/m3；后段的直径d1＝45mm，蒸汽密度ρ1 ＝2.24kg/m3。

接出的支管直径d2 ＝40mm，蒸汽密度ρ2 ＝2.30kg/m3；试求分叉后的两管末端的断面平均流速ν1、ν2为多大，才能保证该两管的质量流量相等。

解：000111222v A v A v Aρρρ=+（1）111222v A v Aρρ=（2）联立解（1）、（2）两式，可得20012112.62250.05m/s18.05m/s22 2.240.045v AvAρρ⨯⨯===⨯⨯200022222.62250.05m/s22.25m/s22 2.30.04v AvAρρ⨯⨯===⨯⨯3－14 空气以标准状态（温度t0 =15℃，密度ρ0 =1.225 kg/m3，压强p0 =1.013×105Pa）进入压气机，流量Q v为20m3/min；流出时温度t为60℃，绝对压强p为800×103Pa；如果压气机出口处流速ν限制为20m/s。

试求压气机的出口管径d。

解：由状态方程000p PT Tr r=，计算压气机出口处的气体密度ρ，即3330050(27315)800101.225kg/m8.37kg/m (27360) 1.01310T p Tp r r +创==?+创由连续性方程求出口管径d ，因 204v Q v d p r r =，044 1.22520m 0.056m π8.372060v Q d v r r p 创===创?。