近世代数练习题题库 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020§1 第一章 基础知识1 判断题：1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。

（ ）1.2 A ×B = B ×A （ ）1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。

（ ）1.4 如果ϕ是A 到A 的一一映射,则ϕ[ϕ(a)]=a 。

( )1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。

（ ）1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。

（ ）1.7 在整数集Z 上，定义“ ”：a b=ab(a,b ∈Z)，则“ ”是Z 的一个二元运算。

（ ）1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。

( )2 填空题：2.1 若A={0,1} , 则A ⨯A= __________________________________。

2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。

2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ⨯B=_______。

2.4 设A={1,2}, 则A ⨯A=_____________________。

2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B 。

2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 。

2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有 个。

2.8 设A 、B 是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义 个从A 到B 的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。

2.9 设A 是n 元集，B 是m 元集，那么A 到B 的映射共有____________个.2.10设A={a,b,c}，则A 到A 的一一映射共有__________个. 2.11设A={a,b,c,d,e}，则A 的一一变换共有______个. 2.12 集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件：_____________________________________________。

2.13 设A =｛a , b, c ｝，那么A 的所有不同的等价关系的个数为______________。

2.14 设～是集合A 的元间的一个等价关系，它决定A 的一个分类：[][]b a ,是两个等价类。

则[][]⇔=b a ______________。

2.15 设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么=j i A A ______________。

2.16 设A =｛1, 2, 3, 4, 5, 6｝，规定A 的等价关系～如下：a ～ b ⇔2|a-b ，那么A 的所有不同的等价类是______________ 。

2.17 设M 是实数域R 上的全体对称矩阵的集合，～是M 上的合同关系，则由～给出M 的所有不同的等价类的个数是______________。

2.18 在数域F 上的所有n 阶方阵的集合M n （F ）中，规定等价关系~:A~B ⇔秩(A)=秩(B)，则这个等价关系决定的等价类有________个。

2.19 设M 100 (F)是数域F 上的所有100阶方阵的集合,在M 100 (F)中规定等价关系~如下：A~B ⇔秩(A)=秩(B)，则这个等价关系所决定的等价类共有_______个。

2.20 若 M={有理数域上的所有3级方阵},A,B ∈M,定义A~B ⇔秩(A)=秩(B),则由”~”确定的等价类有_____________________个。

3 证明题：3.1 设φ是集合A 到B 的一个映射，对于A b a ∈,，规定关系“~”：)()(~b a b a φφ=⇔．证明：“~”是A 的一个等价关系．3.2 在复数集C 中规定关系“~”：||||~b a b a =⇔．证明：“~”是C 的一个等价关系．3.3 在n 阶矩阵的集合)(F M n 中规定关系“~”：||||~B A B A =⇔．证明：“~”是)(F M n 的一个等价关系．3.4 设“~”是集合A 的一个关系，且满足：（1）对任意A a ∈，有a a ~；（2）对任意A c b a ∈,,，若,~,~c a b a 就有c b ~．证明：“~”是A 的一个等价关系．3.5 设G 是一个群，在G 中规定关系“~”：⇔b a ~存在于G g ∈，使得ag g b 1-=．证明：“~”是G 的一个等价关系．第二章 群论1 判断题：§ 群的定义.1.1 设非空集合G 关于一个乘法运算满足以下四条：(A) G 对于这个乘法运算都是封闭的；(B)∀a,b,cG ，都有(ab)c=a(bc)成立；(C) 存在G ，使得∀aG ，都有ea=a 成立；(D)∀aG ，都存在aG ，使得aa=e 成立。

则G 关于这个乘法运算构成一个群。

( )1.2 设非空集合G 关于一个乘法运算满足以下四条：A ）G 对于这个乘法运算是封闭的；B ）∀a,b,c ∈G ，都有（ab ）c=a(bc)成立；C ）存在e r ∈G ，使得∀a ∈G ，都有ae r =a 成立；D ）∀a ∈G ，都存在a 1-∈G ，使得a 1-a=e r 成立。

则G 关于这个乘法运算构成一个群。

（ ）1.3 设G 是一个非空集合,在G 中定义了一个代数运算,称为乘法,如果(1)G 对乘法运算是封闭的(2)G 对乘法适合结合律(3)G 对乘法适合消去律,则G 构成群。

( )1.4 设G 是一个有限非空集合,G 中定义了一个代数运算称为乘法,如果(1). G 对乘法运算是封闭的;(2). 乘法适合结合律与消去律,则G 对所给的乘法构成一个群。

( )1.5 实数集R 关于数的乘法成群。

（ ）1.6 若G 是一个n 阶群,aG,|a|表示a 的阶,则|a|。

( )1.7 若 |a|=2,|b|=7,ab=ba,则|ab|=14。

1.8 设Q 为有理数集，在Q 上定义二元运算“ ”，a b=a+b+ab(),(,, Q Qb a 则∈∀)构成一个群。

（ ）§ 变换群、置换群、循环群1.9 一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。

（ ）1.10一个集合A的所有变换作成一个变换群G.( )1.11集合A的所有的一一变换作成一个变换群。

（）1.12素数阶群都是交换群。

（）1.13 p（p为质数）阶群G是循环群．（）1.14素数阶的群G一定是循环群.( )1.15 3次对称群3S是循环群。

（）1.16任意群都同构于一个变换群．（）1.17有限群都同构于一个置换群。

( )1.18任何一个有限群都与一个循环群同构。

（）1.19在5次对称群5S中，(15)(234)的阶是6.( )1.20在4次对称群S4中，（12）（324）的阶为6。

（）1.21在5S中，(12)(345)的阶是3。

( )1.22任意有限群都与一个交换群同构。

（）1.23因为22阶群是交换群，所以62阶群也为交换群。

（）1.24 6阶群是交换群。

（）。

1.25 4阶群一定是交换群。

（）1.26 4阶群一定是循环群。

（）1.27循环群一定是交换群。

（）1.28设G是群，a, b∈G, |a|=2, |b|=3, 则|ab|=6。

（）1.29 14阶交换群一定是循环群。

（）1.30如果循环群()aG=中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。

（）1.31有理数加群Q是循环群。

（）1.32若一个循环群G的生成元的个数为2，则G为无限循环群。

（）§子群、不变子群。

1.33若H是群G的一个非空子集，且∀a,b∈H都有ab∈H成立，则H 是G的一个子群。

（）1.34若H是群G的一个非空有限子集，且∀a,b∈H都有ab∈H成立，则H是G的一个子群。

（）1.35循环群的子群也是循环群。

（）1.36如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。

（）1.37一个阶是11的群只有两个子群。

（）1.38有限群G中每个元素a的阶都整除群G的阶。

（）1.39设G是一个n阶群，m|n，则G中一定有m阶子群存在。

（）1.40若G是60阶群,则G有14阶子群。

( )1.41设G是60 阶群，则G有40阶子群。

（）1.42阶为100的群一定含25阶元。

（）1.43阶为100的群一定含25阶子群。

（）1.44阶为81的群G中，一定含有3阶元。

（）1.45设H 是群G 的一个非空子集，则H H H G H =⋅⇔≤-1。

（ ）1.46设H 是群G 的一个非空子集，则H H H G H ⊇⋅⇔≤-1。

（ ）1.47 群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,。

（ ）1.48群G 的一个子群H 元素个数与H 的每一个左陪集aH 的个数相等. （ ）1.49指数为2的子群不是不变子群。

（ ） 1.50若N ∆H,H ∆G ，则N ∆G 。

( ) 1.51若N 是群G 的不变子群,N 是群N 的不变子群,则N 是G 的不变子群。

( )1.52设H ≤G ，K ≤G ，则HK ≤G 。

（ ） 1.53若N N ，H G 那么NH G 。

（ ）§ 商群、群的同态定理。

1.54群之间的同态关系是等价关系。

（ ） 1.55循环群的商群是循环群。

（ ） 1.56 设f ：G G →是群G 到群G 的同态满射，a ∈G ，则a 与f (a)的阶相同。

（ ）1.57 设G 是有限群，H ≤G ， 则||||||H G HG =。

（ ）1.58 若ϕ是群G 到G 的同态满射，N 是G 的一个不变子群，则ϕ（N ）是G 的不变子群，且N G ≅)(N G ϕ 。

( ) 1.59设f 是群G 到群-G 的同态映射，H ∆G ，则 f(H) ∆-G 。

（ ）1.60设f 是群G 到群-G 的同态映射， H ≤G 则 f(H)≤-G 。

（ ）1.61 若是群G 到的一个同态满射,N 是G 的一个不变子群,则(N)是的不变子群,且~。

1.62 若是群G 到的同态满射,是的一个不变子群,()表示N 的原象,则()是G 不变子群,且≅。

( )1.63设G 和G 都是群，G ϕ≅G , G N ∆, N=1-ϕ(N )，则N ∆G,且--≅N G N G //。

（ ）2 填空题：2.1 在群G 中，a ，b ∈G ，a 2 = e ，a －1ba = b 2，则|b|=_________________。